受非对称集中荷载及弹性拱大变形分析欧阳稳根修改稿oy

1、垂直集中力作用下弹性圆拱大变形理论解欧阳稳根（武汉大学工程力学系，武汉 430072）XYJ:整体修改要求（1） 全文采用统一公式编号，如（1），（2）.等。注意：并非所有文中公式都需要编号。有些公式是过渡性，以便读者理解或出于全文交代性、可读性需要，可以不编号。因此，自己在全文中前面出现、后面需要引用的公式，都必须编号；而文后中那些没有引用的公式，可以或尽量不编号。（2） 节1“引言”部分还要修改。引言一般包括两部分：第一部分是向读者交代介绍相关研究工作。必须写清楚引用文献中的主要工作、进展和创造性贡献，当然篇幅局限，介绍必须简明扼要，突出重点。另外考虑到文章将优先考虑给引用文献作者作为本文

2、的审稿人，所以，介绍他们工作要肯定为主，不足不要提，避免反感。第二部分可以简要介绍本文研究工作内容和论文中的组成。（3） 节2标题修改为“圆拱大变形分析及分段微分方程”，这样节3、节4是否可以考虑合并成为一节，节中可用（1）、（2）、分段写（4） 节5“定解条件与迭代解法”中重点是介绍如何求解方程，需要交代清楚哪些是已知量或初始量、哪些是待求量。另外，非线性方程是如何迭代的？迭代格式？收敛条件或标准？这些都需要交代清楚。（5） 节6“数值算例与讨论”中的数值算例设计一定要说明问题，如计算的准确性？与参考文献的比较，是否一致？不一致要有原因分析或解释。算例计算参数可以用一个表来表示，简单清楚。插

3、图一律用绘图工具软件“Origin”完成。插图中的线型、图例、标示、字体、字号都需要仔细设计下，应该美观、清晰。另外，失稳曲线将是反对称的，你的曲线是对称的，需分析原因。（6） 节7“结论”必须是自己研究内容的总结，不要总结别人的研究工作。本文总结包括（1）方程推导的正确性、完整性；（2）数值迭代计算方法的正确性、有效性；（3）以前研究工作忽略了一些项对结果影响及局限性等主要部分。（4）交代一下有关非对称力作用的研究结果将另文介绍，避免审稿人要求我们补充非对称算例。（7） 参考文献按照力学学报或固体力学学报的格式修改，全部都要校对，不能出现错误。可能还需要找些文献，方法是：从参考文献中的参考文

4、献中选取（看别的作者引用哪些文献），特别是外文文献。摘要：本文对非对称垂直集中力作用下的弹性圆拱进行了非线性分析，得到了固定支承条件下圆拱的以椭圆积分表示的大变形封闭解，给出了求翻转临界荷载和临界拱顶位移的非线性方程组，并在对称情况下给出了数值算例。关键词：圆拱、屈曲、大变形、椭圆积分、临界荷载因子、临界位移因子引 言许多学者对平面弹性拱的面内失稳问题进行了研究1-6，文献2-3通过对拱的应变的非线性并结合虚功方程求得了拱屈曲的控制方程，在一定的边界条件下求得了弹性拱面内屈曲的临界荷载。文献4-5用数值渐近方法求得了圆拱大变形情况下的各种失稳模式。文献1把拱在集中荷载作用下的非线性对称变形分析

5、归结为两点边值问题，得到了以椭圆积分来表示的逐段闭合解，给出了发生失稳的临界荷载和临界拱顶位移。本文在文1的基础上，研究了平面弹性拱在非对称集中荷载作用下的大变形问题，得到了该问题的控制微分方程,并根据圆拱的变形特点获得了椭圆积分形式的封闭解答。本文还就对称情形给出了数值算例，同样给出了在对称荷载作用下，圆拱发生翻转失稳的临界荷载和临界拱顶位移。并与文1作了比较。因文1问题属本文特例，故利用本文解答可讨论文1中求解过程中某些简化假定的局限性。本文的结果具有一定的应用价值。1 圆拱大变形的计算模型图1 平面圆拱计算简图（图中符号约定：垂直作用力用F表示、支座水平反力分别用HA、HB表示；支座垂直

6、反力分别用VA、VB表示；支座弯距分别用MA、MB表示）考虑图1所示两端固定支座、半径为、中心角为的平面弹性圆拱，受跨间铅垂集中力，且偏离圆拱对称轴的距离为。假定圆拱横截面为等截面图形，面积为A，面内弯曲刚度为。为简化讨论,做出如下假设：（1）忽略拱的轴向变形（XYJ：有问题？忽略拱轴向变形的条件？）；Pi和Trahair6（1998）用有限元方法研究了拱的屈曲，他们的结果表明，对浅拱而言,轴向位移比弯曲位移小得多，因而可以忽略拱的轴向变形。（2）假设圆拱在整个变形过程中，始终处于弹性阶段。（3）圆拱可看作小曲率梁,截面变形满足欧拉伯努利假定，弯矩和曲率改变的关系为7（XYJ：式1如何来的？提

7、供参考文献）(1)式中：为弧坐标，为截面处的弯矩,规定使曲率增大弯矩为正，反之为负；为变形后拱轴线的切线与轴的夹角。是圆拱变形后的曲率，是其变形前的曲率。2 圆拱大变形分析及分段微分方程根据圆拱整体平衡条件（力的平衡）可知：拱上任意截面的内力的垂直分量和水平分量之比为一个常数。考虑铅垂集中荷载作用部位关于圆拱的非对称性，集中力作用点将圆拱轴线AB分为AP（）和BP（）两个区间（图1）。不妨设这两段中与之比分别为(2)式（2）中，为集中力作用点处的弧坐标为圆拱轴线弧长。设处的弯矩为，处的弯矩为，以弯矩外侧受拉为正，对圆拱AP段（）取平衡条件，则有(3a)同理，对BP段（）取平衡条件，则有(3b)

8、利用直角坐标与弧坐标的转换关系、，代入式（1）（4）后整理可得平衡微分方程组如下 (4a) (4b)对任意，引入新变量 (5a)则可将式（5a）化简为(6a)式中(7a)类似地，对任意，引入新变量 (5b)则可将式（5b）化简为(6b)以及(7b)再令，则式(6)可进一步化简记为 (8)式中(9)分析拱的变形曲线可知对于浅拱，不超过，在垂直力作用下，更容易发生图1所示的失稳。 在力的作用点处，变形曲线的纵坐标取得极小值，设变形曲线的方程为，则有，观察此种情况下的变形曲线，可以知道：在力作用点的两端分别有一个极大值，故在AP段的某点有，假设变形曲线的方程是充分光滑的函数，则对在区间上对应用Rol

9、l定理可得由曲率的直角坐标表达式有于是在处有，又，所以，同理可得，综上有(10)此两点即曲线的拐点，并且(11)为方便分析，将式（8）无量纲化，为此引入无量纲变量(12)代入(8)式,为简单起见，仍将仍记为，于是(8)化为(13)式中(14)(15)而(16)以上各量均为无量纲量。而将(13)代入(10)可得 (17)式中和。显然，上式有实数解的条件是及分析圆拱变形,因为在力的作用点处，变形曲线的纵坐标取得极小值，,即此处的切线与x轴平行，所以有,故由(5)式可得:(18)3 圆拱变形分析显然，由于集中荷载不是对称地作用在圆拱上的，记力的作用点为P，我们可以将圆拱曲线分为AP和BP两段。AP和

10、BP的方程虽然不同，但推求的方法和AP段完全类似，下面先考虑AP段的变形，此时弧坐标的范围是，根据前面的分析，在AP段上存在一点P1，在P1两侧变号（在P1处为零），所以下面分为两种情况来求解微分方程，并用在P1处的连接条件来求相应的曲线的参数方程(1) AP段变形(a) ,由(11)式知，由(13)式可得(19)两边积分有(20)式中为Legendre第一类椭圆积分8。圆拱变形后，记拱轴线上任一点直角坐标为，则(21)令(22)式中，为圆拱跨长，为拱高。将(19)式代入(20)式并利用(22)式可得(23)式中(24)而为Legendre第二类椭圆积分。（b）,由(11)式知，同上可得(25

11、)(26)式中(27)(2) BP段变形同理，这一段也分为两种情况，结果分别为：(a),由(11)式知，(28)(29)式中：(30)(b),由(11)式知, (31)(32)(33)5 定解条件与迭代求解方法(1) 平衡条件由水平方向力的平衡条件，即，可得由垂直方向力的平衡条件，即，可得所以，称为荷载因子,注意到(14)式，可得(34a)对A点列力矩平衡方程，有利用(14)式和(16)式，可将上式化为令，则上式可写为(34b)式中的物理意义是，集中力偏离圆拱中轴线的距离与圆拱半跨长之比。由(14)式可得 (34c)(2) 连接条件处，弧长和位移满足连续性条件,即(35a)和(35b)将上两式

12、展开并整理可得： (34d)(34e)(34f)再(34)式即是本问题的全部边界条件。待定的参数有六个：，正好由上面六个方程决定。也就是说，只要确定圆拱的，在给定的外荷载（包括集中力大小及偏心距）作用下，拱的变形曲线将唯一确定。设为力作用点处的位移，引入无量纲化参数(36)称为位移因子,于是，我们可将(34d)和(34e)式用分别表示如下(37a)(37b)根据上述式子，每给定一个位移，就可以确定拱的变形曲线以及荷载大小。6 数值算例与讨论先考虑特殊情况，即，圆拱对称变形。此时，根据对称性有(38)此时，式(34a)-(34c)将自动满足。而(34d)-(34e)退化为(39)解这个非线性方程

13、组就可以确定各个参量，进而确定拱的变形曲线。由于这是一个非线性方程组，而式中各个参量都有范围，所以用普通迭代法(例如拟牛顿迭代法)求解时，由于对初值敏感，若初值选取不当，很容易导致发散。现在转换一下思路:方程组(39)的未知数可取为,其余的量可以通过这三个量来表示，方程组可记为，构造函数，显然的最小值为零，设时，达到其最小值，此时有，故即为方程组(39)的解。于是可把求解非线性方程组的问题转化为求一个函数的极值问题，这是一个有标准算法的问题,求解变得相对简单。事先给定，相应于每一个有一个近似解。求解步骤如下：(1) 第一次求解时，为了获得较精确的初值，采用蒙特卡洛方法，让各参量在各自定义域内随

14、机取值，事先设定条件，这样就可以选得较好的初值，然后采用最优化算法进行迭代计算(用的是Matlab的最优化工具箱里的lsqnonlin函数)，得到更精确的近似值，迭代终止条件是.这样就可以求得(39)的一个近似解。(2) 增大,用(1)求得的近似解作为初始值进行迭代,求得本步近似解.(3) 重复步骤(2),直到发现荷载因子开始减小,以上若干步中最大的就是临界荷载因子.在下面的计算中取，。数值结果如下表：表1:不同中心角时的和中心角临界拱顶位移0.800.410.560.490.40临界荷载因子19.6016.7712.5510.728.87时，达到临界荷载，此时、即、圆拱的变形曲线和荷载位移曲

15、线如图。图 2：不同拱顶位移的变形曲线图 3：荷载-位移曲线7 结论由(39)式可看出，和仅和角度有关，每一个对应有一个临界荷载因子。也就是说，当一定时，拱的高跨比不变，此时临界荷载因子将是唯一确定的。由表1可看出，随着中心角的增大，临界荷载因子逐渐减小，也就是拱的高跨比的越小，临界荷载因子就越小。图3中将本文的荷载位移曲线与用文献1的公式计算所得到的荷载位移曲线做了比较。从图3可看出，本文和文献1的结果相差不大。临界荷载对应的位移均为，仅大小有区别。产生差异的原因如下：(1) 文1的(18)式中的的表达式为与本文的(27)和(33)式中的和比较即可知道,文1的(18)式中的少了一项;(2)

16、由文1中的(19)式(相当于本文的)并结合本文(15-17)可得到，即,也就是说,不管加在圆拱上的力有多大,始终不变，这显然是不大合理的。而用本文的方法，则不需要这一假定，而把作为一待求的量，有求解结果知道，在某些情况下，接近1，有时则与1的差距较大。需要说明的是，因为实际的荷载是逐渐增加的,并不会减小，当达到拱顶临界位移时(时，)，圆拱发生翻转，达到新的平衡位置。对应拱顶临界位移以后的荷载是不可能达到的,所以后一直到达到新的平衡位置前的变形曲线都是不可稳定存在的。本文通过一些简化假设，得到了圆拱在垂直集中力作用下大变形的分析解，将求临界荷载最终转化为一个解非线性方程组，并进而简化为一个求函数

17、的极小值的问题，最终求得了在对称集中力作用下，具有不同中心角的圆拱翻转失稳的临界荷载(见表1)，通过表1知道，随着圆拱高跨比的减小，临界荷载也随之减小。本文的结果有一定的应用价值。因为在非对称集中力作用下还有很多值得讨论的问题，限于篇幅，非对称的情况将另撰文发表。参考文献（XYJ：中文的参考文献要有对应的英文翻译）1 魏德敏. 弹性扁圆拱在集中荷载作用下的非线性分析，太原工业大学学报J，1994,25(1):（31-36）（wei Demin，Nonlinear Deformation Analysis of elastic circular Arches under a concentrat

18、ed force.journal of taiyuan university of technology.vol.25 no.1 mar.1994,31-36（in Chinese）2 M. A. Bradford, M.ASCE1,B. Uy, M.ASCE,et al,In-Plane elastic stability of arches under a central concentrated load,Journal of Engineering Mechanics，710-719.3 Y.-L.Pi,M.A. Bradford,B.Uy, In-plane stability of

19、 arches. International Journal of Solids and Structures, 2002(39):105-125.4 E.H. Boutyoura, H. Zahrounib, M. Potier-Ferryb,et al. Asymptotic-numerical method for buckling analysis of shell structures with large rotations.Journal of Computational and Applied Mathematics,2004, 168:77-85.5H. Lahmam1, J. M. Cadou, H. Za