圆锥曲线与平面向量交汇问题

1、圆锥曲线与平面向量交汇问题热点透视由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何（有向线段）表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体。圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一，这类问题往往与向量、函数、方程、不等式、数列等知识相融合，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，能有效考查学生的思维水平和综合能力。下面结合近几年的部分高考题，介绍高考对这类问题考查的六大热点，供复习参考。热点1求圆锥曲线的方程例1如图1，A,B,C是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心，ACBC，|BC|=2|AC|，求椭圆的方程。xyACBO 思路：建系，设点C

2、的坐标，将向量间的关系（垂直关系、长度关系）转化为代数表达式，从而确定椭圆的方程。 解：建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0)，椭圆方程为。设点C的坐标为(m,n)，则点B的坐标为(m,n).ACBC，AC .BC=0，即(m2, n) (2m,2n)=0， 图1m22m+n2=0(*)|BC|=2|AC|，|CO|=|AC|，即将m=1代入(*)得，n=1，C(1,1). 将x=1，y=1代入椭圆方程得，. 故椭圆方程为例2已知OFQ的面积S=2, 且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q， ，当取得最小值时，求此双曲线方程。思路：设点Q的坐标，将向量的数量积、长度转化为代数表达式，再求目

3、标函数的最小值，从而确定双曲线的方程。解：设双曲线方程为， Q（x0, y0）。 ， SOFQ=，。 =c(x0c)=。当且仅当，所以。类型2求待定字母的值例3设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。 解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)PA= x1=.联立消去y并整理得，(1a2)x2+2a2x2a2=0(*)A、B是不同的两点，0<a<且a1. 于是x1+x2= 且x1 x2=，即，消去x2得，=，a=，0<

4、;a<且a1，a=。类型3求动点的轨迹例4如图2 ，动直线与y轴交于点A，与抛物交于不同的两点B和C, 且满足BP=PC， AB=AC，其中。求POA的重心Q的轨迹。思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。ABCOPxy解：由得，k2x2+(2k1)x+4=0.由设P(x,y)，B(x1，y1)，C(x2,y2)， （图2）则x1+x2=, x1.x2=.由= = 由 =。 消去k得， x2 y6=0 (*) 设重心Q(x,y)，则，代入(*)式得，3x6y4=0。因为故点Q的轨迹方程是3x6y4=0（），其

5、轨迹是直线3x6y4=0上且不包括点的线段AB。类型4证明定值问题例5已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。设M为椭圆上任意一点，且，其中证明：为定值。思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。解：设椭圆方程为 则直线AB的方程为代入椭圆方程中，化简得，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由 与共线，得，。又而于是。因此椭圆方程为设M(x, y), 由得，因M为椭圆上一点，所以 即 又，则 而代入得，=1，为定值。类型5探索点、线的存在性例6在

6、ABC中，已知B(2, 0), C(2, 0), ADBC于D，ABC的垂心H分有向线段AD 设P(1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H，使成等差数列，为什么？思路：先将ACBH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知H为垂心 ACBH，整理得，动点H的轨迹方程为 。 ， ， 。假设成等差数列，则 即 H在椭圆上 a=2, b=, c=1，P、Q是焦点，即 由得， 联立、可得，显然满足H点的轨迹方程，故存在点H（0，±），使成等差数列。类型6求相关量的取值范围 例7

7、给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且，求l在轴上截距的变化范围。思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得，即 由得， 。 联立、得，。而当直线l垂直于轴时，不符合题意。因此直线l的方程为或直线l在轴上的截距为或由知，在上递减的，所以 于是直线l在轴上截距的变化范围是由上可见，解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是：设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、乘、数乘向量）或运算律或数量积的意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行、和差、