变化率与导数学案95012

1、1.1 变化率与导数学案1.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.教学过程： (一)问题提出问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 (2)当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出： 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率

2、是多少? 问题2 高台跳水hto 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算: 和的平均速度探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率.2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)则平均变化率为思考: 观察函数的图象平均变化率表示什么?三、典例分析例1 已知函数的图象上的一点及临近一

3、点则 .解: 例2 求在附近的平均变化率.解: 四、课堂练习1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.3.过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率.五、课堂反馈1 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）ABCD2 一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为（）A4B8C6D63 将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的表面积增加等于（）ABCD4 在曲线的图象上取一点（1,2）及附近一点，则为（）ABCD1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,

4、体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.学习过程：一、创设情景hto (一)平均变化率：(二)探究探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:思考: 当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？结论: 小结: 2.导数

5、的概念从函数在处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数,记作或即说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率; (2),当时,所以.三、典例分析例1 (1)求函数在处的导数.(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求,再求,最后求.解: (1) (2) 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 注: 一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.2.求曲线在时的导数.五、课堂反馈1自变量由变到

6、时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）A 在区间上的平均变化率 B 在处的变化率C 在处的变化率D 在区间上的导数2下列各式中正确的是（ ）A B C D 3设，若，则的值（ ）A 2 B . 2C 3 D 34任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是（ ）A 0 B 3C 2 D 5函数， 在处的导数是 6，当时 ， 7设圆的面积为A，半径为，求面积A关于半径的变化率。8（1）已知在处的导数为,求及的值。（2）若,求的值.1.1.3 导数的几何意义学习目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何

7、意义,并会用导数的几何意义解题.教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.教学难点：导数的几何意义.学习过程：一、创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？二、学习新知(一)曲线的切线及切线的斜率如图,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？我们发现:问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？ (2)切线的斜率为多少？说明: (1)设切线的倾斜角为,那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质

8、函数在处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出点的坐标;求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;利用点斜式求切线方程.(三)导函数由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.记作:或,即.注: 在不致发生混淆时,导函数也

9、简称导数.(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.三、典例分析例1 (1)求曲线在点处的切线方程.(2)求函数在点处的导数.解: 例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、附近的变化情况.解: 四、课堂练习1.求曲线在点处的切线.2.求曲线在点处的切线.五、课堂反馈1曲线在处的（ ）A 切线斜率为1 B 切线方程为 C 没有切线 D 切线方程为2已知曲线上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（ ）A 4 B 16 C 8 D 23函数在处的导数的几何意义是（ ）A 在点处的函数值 B 在点处的切线与轴所夹锐角的正切值C 曲线在点处的切线的斜率 D 点与点（0，0）连线的斜率4已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为（ ）A 1 B 1 C 2 D 25若，则（ ）A 3 B 6 C 9 D 126设为可导函数，且满足条件，则曲线在点（1，1）处的切线的斜率为（ ）A 2 B 1 C D