理论力学第三章刚体力学-2

1、第三章第三章 刚体力学刚体力学 刚体运动方程与平衡方程 刚体的定轴转动 刚体的平面平行运动 刚体的定点转动3.3 3.3 刚体的平动与绕固定轴的转动刚体的平动与绕固定轴的转动 一、一、 刚体的平动刚体的平动运动分析：各点运动情况相同，自由度为运动分析：各点运动情况相同，自由度为3。 结论：结论：由于各质点运动情况相同由于各质点运动情况相同(位移、速度和加速度位移、速度和加速度)， 所以可用一点（常用质心）的运动代表刚体的整所以可用一点（常用质心）的运动代表刚体的整 体运动，由质心运动定理体运动，由质心运动定理(固定坐标系中固定坐标系中) ceirmF xoyzxzyo平动平动xoyzxzyo转

2、动转动 二、二、 刚体定轴转动刚体定轴转动 刚体上每一点都在与转轴的垂直平面内做圆周运动。刚体上每一点都在与转轴的垂直平面内做圆周运动。 每个质点的线位移、线速度和线加速度不同，每个质点的线位移、线速度和线加速度不同， 但有相同的角位移、角速度和角加速度。但有相同的角位移、角速度和角加速度。2、速度，加速度、速度，加速度速度：速度：iiriiiiRrsin一个自由度，用角坐标一个自由度，用角坐标 描述刚体位置很方便。描述刚体位置很方便。1、运动分析、运动分析动坐标系动坐标系oxyz加速度加速度()()iiiiiiiiiddrddarrdtdtdtdtrrr 其中其中:是角加速度是角加速度定义：

3、定义：iiiarR切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度22()iniiiiiarRRB CB C AC B AA 其中， 3、动量矩、动量矩在普通物理力学中学过，刚体绕定轴转动的动量矩：在普通物理力学中学过，刚体绕定轴转动的动量矩：zzzIJ 是沿转轴方向，为了进一步了解定轴转动的实质，并是沿转轴方向，为了进一步了解定轴转动的实质，并同时向定点转动过渡，我们从普遍意义上导出定轴转同时向定点转动过渡，我们从普遍意义上导出定轴转动刚体的动量矩。动刚体的动量矩。第第i个质点的位矢：个质点的位矢：)()(111iniiiiiniiiiniiorrmrmrmrJkzjyixriiii设：刚体绕设：刚

4、体绕oz轴转动，则：轴转动，则：k则刚体对点则刚体对点o o的动量矩为：的动量矩为：)( )()()()(1221222121niiiiiiiiniiiiiiiiiiiniiiiniiiokyxjzyizxmkzjyixzkzyxmrrrmrrmJBCB C AC B AA 其中， zzniiiiozniiiioniiiioIyxmJzymJzxmJ1221y1x)(kJJoz结论：结论：刚体对转轴上刚体对转轴上o点的动量矩一般并不沿转轴方向，点的动量矩一般并不沿转轴方向，zzzIJ 仅为仅为 在转轴方向的分量。在转轴方向的分量。oJ4、动能，势能及机械能守恒、动能，势能及机械能守恒动能：动能

5、：2222222121)sin(21)(2121zziiiiiiiiiiIdmrmrrmmT势能：势能：ciimgygymV（刚体的势能等于质心的势能）（刚体的势能等于质心的势能）若作用在刚体上的外力均为保守力，或有非保守若作用在刚体上的外力均为保守力，或有非保守 力但不做功，则机械能守恒力但不做功，则机械能守恒EVIzz2215 、运动微分方程、运动微分方程zzzzzMdtIdMdtdJ)(zzzMdtdI即：即：zzzMIzzI而为而为 常量，有常量，有刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律解：解：刚体受重力和轴的支撑力作刚体受重力和轴的支撑力作用，重力对用，重力对oz轴的力矩为：轴

6、的力矩为：sinmglMz根据定轴转动的转动定律根据定轴转动的转动定律 zzzImglMsin对微小振动，对微小振动， 很小，从而很小，从而 ，得，得sin0zzImgl 复摆作简谐振动复摆作简谐振动支撑力通过转轴支撑力通过转轴y【例例4】一复摆如图所示，物体在重力作用下绕过一复摆如图所示，物体在重力作用下绕过o点的轴摆动，设刚体对点的轴摆动，设刚体对oz轴的转动惯量为轴的转动惯量为Izz, 质心为质心为C, 对质心转动惯量对质心转动惯量Icz, ,求复摆的周期。求复摆的周期。lOC 运动学方程为运动学方程为00costImglAzz振动周期为振动周期为mglITzz22分析：分析： 单摆小角

7、度运动微分方程：单摆小角度运动微分方程：000:cos():,zzzzgLgAtLImglgLILml其解为令得yLOOO由平行轴定理：由平行轴定理：2,zzczIIml代入上式2cz()czImlILlllOOmlml 等值单摆长 由上式可知，如果把复摆的全部质量都集中到由上式可知，如果把复摆的全部质量都集中到O 点，这样一个单摆和复摆的运动规律一样，称点，这样一个单摆和复摆的运动规律一样，称O 为振为振动中心。动中心。复摆复摆OO单摆单摆yO 说明：说明：（1）用复摆测量重力加速度，由于悬点）用复摆测量重力加速度，由于悬点O和和O 可可 以互换，而不改变复摆的运动规律，利用此以互换，而不改

8、变复摆的运动规律，利用此 关系可以准确测定重力加速度。关系可以准确测定重力加速度。（2） O 点为打击中心，冲力点为打击中心，冲力 对对O点无冲击点无冲击 效应。效应。 F t注意：只要找到具有相同周期的两点注意：只要找到具有相同周期的两点O和和O ，就，就可测得等值单摆长可测得等值单摆长L，然后用下式计算重力加速度，然后用下式计算重力加速度224LgT作业作业-2定轴转动定轴转动P175 3.10；3.11；3.123.4 3.4 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动: : 刚体运动时，刚体内每个点的轨迹都是一条平面曲线，各曲线所在平面都某一固定平面平行

9、。一、刚体平面平行运动学一、刚体平面平行运动学 1、什么叫平面平行运动、什么叫平面平行运动运动刚体上任意一点的轨迹始终在和某一固定平面运动刚体上任意一点的轨迹始终在和某一固定平面平行的平面内，称刚体的这种运动叫平面平行运动。平行的平面内，称刚体的这种运动叫平面平行运动。AA纯平动AA纯转动一平面图形在某一固定平面内的位置可由该平面一平面图形在某一固定平面内的位置可由该平面图形上一直线表示，因此，平面图形做平面运动的图形上一直线表示，因此，平面图形做平面运动的问题可简化为一直线段做平面运动的问题。问题可简化为一直线段做平面运动的问题。s=3s=3（在平面内确定一直线段需三个独立坐标）（在平面内确

10、定一直线段需三个独立坐标）直线在平面内的任意运动，可分解为平动和转动。直线在平面内的任意运动，可分解为平动和转动。做平面平行运动的刚体上与固定平面相平行的所做平面平行运动的刚体上与固定平面相平行的所有平面的运动规律是相同的，取任意一个平行截面有平面的运动规律是相同的，取任意一个平行截面就可以代表刚体的运动，因此可以把刚体做平面平就可以代表刚体的运动，因此可以把刚体做平面平行运动的问题，简化为一个平面图形做平面平行运行运动的问题，简化为一个平面图形做平面平行运动的问题。动的问题。2、运动分析、运动分析 结论：刚体的平面平行运动可以分解为以基点为代 表的平动和绕基点的转动，其中平动位移与基点 选择

11、有关，而转动角位移与基点的选择无关。注意：所谓绕基点的转动是指绕过基点且垂直于平注意：所谓绕基点的转动是指绕过基点且垂直于平面图形的轴的转动，该轴不是固定轴，而是定向转面图形的轴的转动，该轴不是固定轴，而是定向转轴。轴。AAAA3、运动学方程、运动学方程 由以上运动分析可知，运动学方程可由基点的运动由以上运动分析可知，运动学方程可由基点的运动方程和绕基点定向转轴转动方程组成，即：方程和绕基点定向转轴转动方程组成，即：( )( )( ) AAAAxxtyytt4、速度、加速度、速度、加速度 速度速度 由运动分析可知，做平面平行运动刚体上任意一点由运动分析可知，做平面平行运动刚体上任意一点P的速度

12、等于基点的速度的速度等于基点的速度+该点绕基点转动的速度之和。该点绕基点转动的速度之和。以基点为以基点为S 系原点，建立平面转动参照系，则任意一点系原点，建立平面转动参照系，则任意一点的速度：的速度：zxyoAPrArrSSzxy-固定坐标系固定坐标系Ax y z Oxyz-刚联于刚体的动坐标系刚联于刚体的动坐标系a. 合成法合成法vvvArvA()()xAxAyAyAyyxx在动系在动系 中（向中（向S 系投影）：系投影）：yxAAAxAyij()rkx iyjxjyixAxyAyyxzxyoAPrArrSSzxyArjyixru转动瞬心：做平面平行运动刚体上瞬时速度为做平面平行运动刚体上瞬

13、时速度为0的点的点叫做转动瞬心，记为叫做转动瞬心，记为c。 因此刚体的平面平行运动，可以看成是在每个瞬时因此刚体的平面平行运动，可以看成是在每个瞬时绕瞬心轴的定轴转动，这个定轴不是真正的定轴。绕瞬心轴的定轴转动，这个定轴不是真正的定轴。b. 瞬心法瞬心法说明：说明：瞬心是唯一的，不同时刻有不同的瞬心；瞬心是唯一的，不同时刻有不同的瞬心；瞬心的速度为零瞬心的速度为零瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。对瞬心而言，刚体上任一点对瞬心而言，刚体上任一点P的速度都垂直的速度都垂直于瞬心于瞬心c与该点与该点p的连线的连线CP。CPpu瞬心的求法方法一：由刚体上任一点速度公

14、式求。方法一：由刚体上任一点速度公式求。()0()0 xAxAyAyAyyxxAr()AyCAAxCAxxxSyyy系中00()xAxyAyAyCAxCyxxxSyy系中方法二：几何法方法二：几何法A A、已知刚体中两点已知刚体中两点A A、B B速度速度方向方向 B B、已知一点的速度及已知一点的速度及 CAAAAC 垂直向里垂直向里C C、无、无滑动滚动滑动滚动(纯滚动）时的接触点即为转动瞬心纯滚动）时的接触点即为转动瞬心u空间极迹，本体极迹 空间极迹，刚体运动时，瞬心交替变换，瞬空间极迹，刚体运动时，瞬心交替变换，瞬 心和固定平面相垂直的各点在固定平面上心和固定平面相垂直的各点在固定平面

15、上(固固 定坐标系中定坐标系中)描绘的轨迹叫空间极迹。描绘的轨迹叫空间极迹。 本体极迹：刚体运动时，瞬心在刚体内本体极迹：刚体运动时，瞬心在刚体内(运动坐运动坐 标系中标系中)所描绘的轨迹。所描绘的轨迹。潘索定理：潘索定理：如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则刚体在作平面运动时，本体极迹将沿空间极迹无则刚体在作平面运动时，本体极迹将沿空间极迹无滑动地滚动着。滑动地滚动着。u用瞬心求速度的公式取瞬心取瞬心c为基点，则为基点，则rrcc. 速度投影定理速度投影定理刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影相等。()AAddddddrarrdtdtdtdtdtdt(

16、)Adarrdt22()AAdarrrdtdarrdt Aa基点加速度基点加速度drdtP相对于基点相对于基点A的切向加速度的切向加速度2rP相对于基点相对于基点A的向心加速度的向心加速度 加速度加速度BCB C AC B AA 其中， 0【例例5】 设椭圆规尺设椭圆规尺AB的端点的端点A与与B沿直线导槽沿直线导槽ox及及oy滑动，滑动，B以匀速度以匀速度c运动，求椭圆规尺上运动，求椭圆规尺上M点的速度、点的速度、本体极迹与空间极迹的方程式。本体极迹与空间极迹的方程式。确定瞬心的位置确定瞬心的位置C。求求AB杆绕杆绕Cz轴转动角速度。轴转动角速度。方法一：用瞬心法求速度。方法一：用瞬心法求速度

17、。Crr求速度。求速度。sin)(bacCBB2222222sin)(cossinctgbabacbacbaCMM注：不能用瞬心法求加速度注：不能用瞬心法求加速度方法二方法二 ：基点法：基点法：确定确定B点为基点（运动已知点）。点为基点（运动已知点）。建立坐标建立坐标oxyz。运用速度合成。运用速度合成。MBr其中：其中：Bcj ksincosrbibj 而：第一章已求出）(sin)(bac( sincos)Mcjkbibj sincoscjbjbi bcacctg ijabab大小：大小：222Mcab ctgabbccbctg icjjabab 空间极迹固定不动而本体极空间极迹固定不动而本

18、体极迹随刚体转动而转动。在某一迹随刚体转动而转动。在某一时刻，两个极迹必有一切点。时刻，两个极迹必有一切点。空间极迹：空间极迹：222)(cos)(sin)(bayxbaybax本体极迹：本体极迹：2222/ )(bayx作业作业-3平面平行运动之运动学平面平行运动之运动学P176 3.15； 3.16 （选作）（选作） ； 3.18（选作）（选作）二、刚体平面平行运动动力学二、刚体平面平行运动动力学CmrF固定坐标系中2、若外力都是保守力或非保守力不做功，则机械能守恒：、若外力都是保守力或非保守力不做功，则机械能守恒：EVImczc2221211、动力学方程、动力学方程 在动力学问题中，通常

19、取质心为基点，则刚体的平在动力学问题中，通常取质心为基点，则刚体的平面平行运动面平行运动=质心的平动质心的平动+绕质心轴的转动，此时可运绕质心轴的转动，此时可运用第二章中学过的质心运动定理和绕质心轴转动的动量用第二章中学过的质心运动定理和绕质心轴转动的动量矩定理，得刚体平面平行运动动力学方程。矩定理，得刚体平面平行运动动力学方程。约束方程约束方程czzIM平动质心坐标系中平动转动xy【例例6】 解法二：用机械能守恒定律求圆柱质心解法二：用机械能守恒定律求圆柱质心的加速度的加速度分析做功：只有重力做功分析做功：只有重力做功由机械能守恒得由机械能守恒得EVT(1)其中，其中，kmkxmIxmTcz

20、zc回转半径为22222 21212121为零势能点OcmgxV sin由约束方程由约束方程axc(2)axcEmgxxakmccsin121222(3)(3)式对t求导得221sinakgxc 该方法的缺点是：无法求出约束反作用力该方法的缺点是：无法求出约束反作用力解法三：用对瞬心解法三：用对瞬心P的动量矩定理的动量矩定理P由平行轴定理由平行轴定理22mamkIPz根据对瞬心根据对瞬心P的动量矩定理的动量矩定理sin 22mgakam 22sinkaga 221sinakgaxc 约束方程约束方程22ka薄圆柱壳0k 质量集中到转轴上【例例7】 沿加速平板表面的纯滚动沿加速平板表面的纯滚动

21、在水平板上放在水平板上放一半径为一半径为 R,质量为质量为m的匀质球。设平板具有加速度的匀质球。设平板具有加速度a ，球沿平板作纯滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦球沿平板作纯滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦力的大小。力的大小。解：解：以球为研究对象、平板以球为研究对象、平板为参考系（非惯性系），则为参考系（非惯性系），则动力学方程为动力学方程为225ccfmamafRmRaR xyoNfmamgCcaa由以上三式解得：由以上三式解得：5277caa,fma 因此，球心的加速度为因此，球心的加速度为5277ccaaaaaaTmgymA Trmr 221AAyryrmgT31gaA32解：由质心运动定理：解：由质心运动定理：由绕质心轴的转动定理：由绕质心轴的转动定理： 约束方程：约束方程：解之得：解之得：补充例题：质量补充例题：质量为为m m半径为半径为r r的均质实心圆柱的均质实心圆柱A,A,绕以轻绳绕