几何条件代数化与代数运算几何化

1、几何条件代数化与代数运算几何化突破解析几何难点之两方法解析几何解题方向：找关系。（1）找关系，设直线方程；（2）找关系，找解题方向；（3）找所设两变量关系（如找与关系，找与关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这种“运算能力和消元意识”。其它重要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题

2、多样化；去除思维模式化。下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。1、（第一次周考）21. 设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60o，.（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程.分析：1、几何条件代数化：本质特征：且；代数关系：或. |AB|=代数关系：弦长公式。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。（21）解：设，由题意知0，0.（）直线l的方程为 ，其中.联立得解得 因为，所以.即 得离心率 . 6分（）因为，所以. 由得.所以，得a=3，. 椭圆C的方程为. 12分2、（第二次周考）21.设是椭圆上的两点，已知向量，若且椭圆的离心率

3、，短轴长为2，O为坐标原点。（1）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值。（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。分析：1、几何条件代数化：平面向量条件本质特征：与垂直；代数关系：.的面积代数关系：弦长公式和点到直线的距离公式。2、一般问题特殊化 直线AB分斜率存在与不存在讨论。3、代数运算几何化 利用找关系，把二元转化为一元。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。21.（1） ，解得a=2,所求椭圆的方程为知设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得 消元，得则。由已知得（2）当直线AB斜率不存在时，即则联立，得整理，得又点A在椭圆上

4、，故，解得的面积当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b,联立，得整理，得，由得即，将代入整理，得的面积=三角形的面积为定值1。2、（第三次周考）20.已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.(1)证明：点在上；(2)设点关于点的对称点为，证明：、四点在同一圆上.分析：1、几何条件代数化： 本质特征：；代数关系：.、四点在同一圆上本质特征：找圆心，PQ与AB垂直平分线交于圆心，圆心到四点距离相等；代数关系：找斜率与直线上一点。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。20.(1),的方程为,代入并化简得. 设,则由题意得所以点的坐标为.经验证点的坐标满

5、足方程,故点在椭圆上 (2)由和题设知，的垂直平分线的方程为.设的中点为,则,的垂直平分线的方程为. 由、得、的交点为. ,故 ,又, ,所以 ,由此知、四点在以为圆心,为半径的圆上。4、（第四次周考）20.设椭圆过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点.（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由.分析：1、几何条件代数化：平面向量条件 本质特征：与垂直；代数关系：.2、圆的切线圆心到切线的距离等于半径，找关系。|AB|的取值范围代数关系：弦长公式和范围问题多样化

6、。3、一般问题特殊化 分斜率存在与不存在讨论。无斜率任何条件时，直线设成.4、代数运算几何化 利用找关系，把二元转化为一元。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。20.解：（1）将的坐标代入椭圆E的方程得解得所以椭圆E的方程为 （2）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为，其中设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为，将其代入椭圆E的方程并整理得由韦达定理得因为 ，所以 将代入并整理得联立得因为直线AB和圆相切，因此,由得所以 存在圆满足题意.当切线AB的斜率不存在时，易得由椭圆方程得显然，综上所述，存在圆满足题意.解法一

7、：当切线AB的斜率存在时，由得令，则，因此所以即.当切线AB的斜率不存在时，易得，所以综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且.5、（第五次周考）20.已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知点是线段上异于的一个定点（为坐标原点），是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得，请说明理由。分析：1、几何条件代数化： 本质特征：点在线段的垂直平分线上；代数关系：找线段的中点与中垂线的斜率.2、代数运算几何化 利用点在轴上，令下面就是个范围问题！点在线段上异于或不在，由的范围。范围问题多样化。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。6、（第六次

8、周考）20、如图，已知、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个顶点，过椭圆中心，且， （1）求椭圆的方程； （2）如果椭圆上两点、使的平分线垂直，则是否存在实数使？请说明理由。分析：1、几何条件代数化： 本质特征：；代数关系：找线段的中点与中垂线的斜率.,则本质特征：是等腰直角三角形；代数关系：由此知点的坐标，从而求方程；的平分线垂直 本质特征：倾斜角互为相反数；代数关系：设一直线斜率为，另一个为； 本质特征：；代数关系：斜率相等。即证，关键在于求出P,Q点的坐标解题方向：联立直线和椭圆方程解题。20 解（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系xy则A（2，0），设所求

9、椭圆的方程为： =1(0<b<2),由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由·=0得ACBC，|BC|=2|AC|，|OC|=|AC|，AOC是等腰直角三角形，C的坐标为（1，1），C点在椭圆上=1,b2=,所求的椭圆方程为=1 5分 （2）由于PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1, 由 得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*） 8分点C（1，1）在椭圆上，x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为,设P（xP,yP）

10、,Q(xQ,yQ),xP=, 同理xQ=, kPQ=10分而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0） kAB=kPQ=kAB，与共线，且0,即存在实数，使=. 12分7、（第七次周考）20.已知直线与抛物线相切于点且与轴交于点为坐标原点。定点，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与动点的轨迹有两个不同交点，就一定有？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由。分析：1、几何条件代数化： 本质特征：与垂直；代数关系：.圆的切线 圆心到切线的距离等于半径，找关系。2、代数运算几何化 利用找关系，把二元转化为一元。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。同第四次周考题。8、（第八次周考）20.已知椭圆C:的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最近距离为2，若椭圆与轴交两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点。（1）求椭圆C的方程；（2）试探求以为直径的圆是否恒经过轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。分析：1、几何条件代数化： 本质特征：与垂直；代数关系：.圆的切线 圆心到切线的距离等于半径，找关系。2、代数运算几何化 利用找关系，把二元转化为一元。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。同第四次周考题。9（第九次周考）20.如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，