厦门理工材料力学-第7章

1、材料力学材料力学Mechanics of materials 机械传动机构中的齿轮轴，当机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时变形过大时(图中虚线所示图中虚线所示)，两齿，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮角，这就会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。合，以致不能正常工作。 同时，还会加大齿轮磨损，同同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪时将在转动的过程中产生很大的噪声。声。 此外，当轴的变形很大时，轴此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加

2、，降而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。低轴和轴承的使用寿命。 在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线挠度曲线（deflection curve）。）。 根据上一章所得到的根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：曲刚度之间存在下列关系： EIM1横 截

3、 面 形 心 处 的 铅 垂 位 移 ， 称 为横 截 面 形 心 处 的 铅 垂 位 移 ， 称 为 挠 度挠 度（deflection），用），用w表示；表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为的角度，称为转角转角（slope），用），用 表示；表示；横截面形心沿水平方向的位移，称为横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移轴向位移或或水平位移水平位移（horizontal displacement），用），用u表示。表示。 在小变形情形下，上述位移中，水平位移在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠与挠度度w相比为高阶小量，故

4、通常不予考虑。相比为高阶小量，故通常不予考虑。 在在Oxw坐标系中，挠度与坐标系中，挠度与转角存在下列关系：转角存在下列关系： 在小变形条件下，挠度曲在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即线较为平坦，即 很小，因而上很小，因而上式中式中tan。于是有。于是有tanddxwxwddw w（x），称为），称为挠度方程（挠度方程（deflection equation）。 EIM123222dd1dd1xwxw22322dd1d1dwxwxEIMxw22dd1dd2xwEIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw, 采用向下的采用向下的w坐标系，有坐标系，有EIMxw22

5、ddEIMxw22dd dddlM xwxCxEI DCxxxEIxMwlldd梁的弯曲挠度与梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度转角方程，以及最大挠度和最大转角。和最大转角。 左端固定、左端固定、右端自由的悬臂梁承受右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集均布载荷。均布载荷集度为度为q ，梁的弯曲刚度为，梁的弯曲刚度为EI 、长度为、长度为l。q、EI 、l均已知。均已知。 建立建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。以用一个函数描述，即无需分段。

6、从坐标为从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程： 21( )02M xq lxxl x21( )02M xq lxxl 将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得 212EIwMq lx 积分后，得到积分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为： 316EIw

7、EIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,624qlCqlD 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI336qlxlEI 434424qwlxl xlEI 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。挠度和转角均为最大值。 于是，将于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角，分别代入挠度方程与转角方程，得到：方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEI加力点加力点B的挠的挠度和支承度和支承A、

8、C处的转处的转角。角。简支梁受简支梁受力如图所示。力如图所示。FP、EI、l 均为已知。均为已知。 因为因为B处作用有集中力处作用有集中力FP，所以需要分为，所以需要分为AB和和BC两段建立弯矩方程。两段建立弯矩方程。 首先，应用静力学方法首先，应用静力学方法求得梁在支承求得梁在支承A、C二处的二处的约束力分别如图中所示。约束力分别如图中所示。 在图示坐标系中，为确定梁在在图示坐标系中，为确定梁在0l/4范围内各截面范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力处的约束力3FP/4；而确定；而确定梁在梁在l/4l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端范围内各截面上的弯矩

9、，则需要考虑左端A处处的约束力的约束力3FP/4和荷载和荷载FP。 于是，于是，AB和和BC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 211P2d30d44wlEIMxF xxx 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx积分后，得积分后，得 211P2d30d44wlEIMxF xxx 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P24618

10、1DxClxFxFEIw其中，其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约为积分常数，由支承处的约束条件和束条件和AB段与段与BC段梁交界处的连续条件确定。段梁交界处的连续条件确定。 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw 在支座在支座A、C两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即x0， w10; xl， w20 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即 xl

11、/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 212P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2D1D2 =02P211287lFCC 将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：得到梁的转角和挠度方程为： 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181 据此，可以算得加力点据此，

12、可以算得加力点B处的挠度和支承处处的挠度和支承处A和和C的转角分别为的转角分别为 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEI 确定约束力确定约束力, ,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度挠度与转角方程以及指定截面的挠度 与转角与转角 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程简支梁简支梁受力如图所示，受力如图所示，q、l、EI均为已知。均为已知。C截面的截面的挠度挠度wC ；

13、B截面的截面的转角转角 B。321CCCCwwww1. .将梁上的载荷变将梁上的载荷变为三种简单的情形。为三种简单的情形。123BBBB2. .由挠度表查得由挠度表查得三三种种情形下情形下C截面的挠度和截面的挠度和B截截面的转角面的转角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612413. 应用叠加法，将简单应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加载荷作用时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相将上述结果按代数值相加，分别得到梁加，分别得到梁C截面的挠截面的挠度和支座度和支座B处的转角处的转角: : ,EIqlww

14、iCiC43138411EIqliBiB3314811悬臂梁悬臂梁受力如图所示，受力如图所示，q、l、EI均为已知。均为已知。C截面的截面的挠度挠度wC和和转角转角 C。1. . 首先，将梁上的载首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形荷变成有表可查的情形 为了利用挠度表中为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自荷的计算结果，计算自由端由端C处的挠度和转角，处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁先将均布载荷延长至梁的全长，的全长，为了不改变原为了不改变原来载荷作用的效果，在来载荷作用的效果，在AB段还需段还需再加上集度相再加上集度相同、方向相反的均布载同、方向相反

15、的均布载荷荷。 分别画出这两种情分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度种情形下自由端的挠度和转角分别为和转角分别为 再将处理后的梁再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角起的挠度和转角 两种情形下自由端的挠两种情形下自由端的挠度和转角分别为度和转角分别为再将处理后的梁分解再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度算各

16、个简单载荷引起的挠度和转角和转角414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEI EIqlEIqlCC323148161,将简单载荷作用的将简单载荷作用的结果叠加结果叠加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487 wwmax max钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如，其他尺寸如图所示。规定轴承图所示。规定轴承B处的许用转角处的许用转角 =0.5。根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d。 B根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足根据要求，所设计的

17、轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。为此，需按下列步骤计算。BEIlaFB3P由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处处的转角为的转角为 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转处的转角为角为 BEIlaFB3P B根据设计要求，有根据设计要求，有 B根据设计要求，有根据设计要求，有 B其中，其中， 的单位为的单位为rad（弧度），而（弧度），而 的单位为（的单位为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，（度），考虑到单

18、位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径得到轴的直径 111mmm10111m100.52063101802120643-493d横 截 面 形 心 处 的 铅 垂 位 移 ， 称 为横 截 面 形 心 处 的 铅 垂 位 移 ， 称 为 挠 度挠 度（deflection），用），用w表示；表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为的角度，称为转角转角（slope），用），用 表示；表示；EIMxw22dd dddlM xwxCxEI DCxxxEIxMwlldd321CCCCwwww1. .将梁上的载荷变将梁上的载荷变为三种简单

19、的情形。为三种简单的情形。123BBBB 分别画出这两种情分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度种情形下自由端的挠度和转角分别为和转角分别为 再将处理后的梁再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角起的挠度和转角 wwmax max 0ByBBBFwqwwFBxBl AMAFAyFAxFBy 0ByBBBBFqMMBBl AMAwB(MB)+wB(q)+wB(FBy

20、)=0B AlFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0Bl AMAFAyFAxFBwB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFBFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIBl AMAFAyFAxFB二梁的受力二梁的受力( (包括载荷与约束力包括载荷与约束力) )是否相同？是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？ 正确回答这些问题，有利于理解位移与变正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相互关系。形之间的相互关系。FPABC 试根据连续光滑性质以及约束条件，画试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状出梁的挠度曲线的大致形状 试根据连续光滑性质以及约束条件，画试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状出梁的挠度曲线的大致形状Bl A BBBBBMqlq2 BBBBBMwqlwqww2MBFByMAFAyBl AMAFAyMBFBy0AB= 0ABAAAABqMMBl