数学认知结构与解题能力教学策略

1、数学认知结构与解题能力教学策略    数学认知结构与解题能力教学策略高数组沈炳镕内容提要：要提高数学解题能力就必须有良好的数学认知结构，构建良好的数学认知结构是提高数学解题能力的必要保证。良好的数学认知结构的特征是：1、有一定数量的基本模块；2、具备稳定而又灵活的联接；3、层次分明的概念网络结构；4、一定的问题解决策略的模块。提高数学解题能力的教学策略包括：1、明确学生原有的数学认知结构；2、创设良好的问题情境；3、加强数学思想方法的教学；4、建立良好的反馈纠正系统5、注意整体性教学。关键词：基本模块；数学认知结构；数学解题能力。数学教学的本质是：学生在

2、教师的引导下能动地建构数学认知结构，并灵活使用该认知结构解决有关数学问题。数学教学的根本任务就是要造就学生良好的数学认知结构，最终提高学生数学解题能力。不断满足学生继续学习的需要，因此在数学教学中如何帮助学生建构良好的数学认知结构，采取什么样的教学策略，从而提高学生的数学解题能力。这是值得广大的数学教师去研究、探讨的问题。一、良好的数学认知结构的特征数学认知结构是数学知识结构在学习者头脑里的反映，它是学习者在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的基本模块系统。这些基本摸块可能包括三种类型：一是基本知识模块（言语信息或表象信息），它是学习者通过学习一些数学概念和数学命题之后形成的；二是数学具体方

3、法被应用的基本问题模块，它是学习者在运用基本知识模块来解决问题的过程中形成的；三是数学问题解决策略的基本思想策略模块。基本知识模块基本问题模块基本思想模块模块内、模块间的广泛联接上图是数学认知结构的组成示意图就一个具体的新知识的学习而言，根据美国教育心理学家奥苏贝尔的观点可知，良好的数学认知结构有三个特征：一是可利用性，即在学习者原有的数学认知结构中有适当的起同化作用的基本模块可以利用；二是可辨别性，即新知识与学习者原有的数学认知结构中的相关内容是可辨别的；三是稳定性，即同化新知识的原有的基本模块是清晰和稳定的。从数学问题解决的角度来考察，良好的数学认知结构的特征包括以下四个方面：1必须有一定

4、数量的基本模块现代认知心理学关于“专家系统”的研究表明，在某个领域内善于解决问题的专家必须具备上万个知识模块，没有这些专门的知识模块，专家就不能解决该领域内的技术问题。在许多专门领域，如工程学、计算机程序、社会科学、阅读理解、物理、数学、医疗诊断、摄影、美术等，将“专家”和“新手”作比较，都证明了解决问题的能力取决于个人所获得的有关知识的基本模块的多少及其模块的组织结构的优劣。例如，数学竞赛中绝大多数IMO选手，除了具备一定的数学天赋之外，他们必需系统接受过各种专题知识的训练。在各种专家的辅导下，他们的认知结构中积累了丰富的专门知识模块。从而才有能力去解决IMO竞赛题。而那些竞赛题就连我们数学

5、教师也未必会解，这说明了与一般人相比，专家解决自己领域内的问题时较为出色，在不熟悉的领域里，专家通常并不比一般人好多少，因为他在那一领域内的基本模块不够多。和IMO选手相比，绝大部分数学教师，哪怕是数学教授就是一个“一般人”，这就是为什么一个数学教授解不了IMO问题的原因。2必须有具备稳定而又灵活的联接有一定数量的基本模块仅仅是问题解决的必要条件。头脑中的知识越多，并不意味着你解决问题的能力越强。甚至，有时问题解决者已具备了解决某一问题所需的全部知识，但却解决不了这个问题。例如，有的学生在解一个几何问题时，百思而不得其解。但经旁人指点，即刻恍然大悟。这说明他的认知结构中已具备了解决这个问题所必

6、需的概念性质和定理等知识模块，但缺少有效的联接。我们当数学教师的每一个人也许都有过这样的经历，有时自己备课十分认真，课也讲得头头是道，学生对知识的提问反应也不错，可一到学生自己作业和考试时，学生就不行了。也就是说，恍然大悟的问题解决者与不能独立作业的学生，他们失败的原因不是缺乏所需的具体的、基本的知识模块，而是缺乏与具体知识模块相对应的稳定的联结。（邵瑞珍，皮连生，吴庆麟.教育心理学M.上海：上海教育出版社，1997.88-89.）指出：学习者在学习的过程中，其头脑里逐步贮存了一系列以“如果，那么”的形式表示的规则，这种规则称为联接；联接是一种“条件活动”规则，简记为CA，只要条件信息一出现，

7、活动就会自动联接。这里所说的活动不仅是外显的行为反应，还包括内隐的心理活动或心理运算，以及成功过的体念或者说是经验。例如，如果让学生一识别出三角形ABC是直角三角形，他就能作出相应的反应：斜边的平方等于两条直角边的平方之和。那么，我们就说该学生已获得了一个联接。假如学生是在老师问到什么是勾股定理的情形下复述出勾股定理，我们不能肯定学生是否已获得这个联接，因为他有可能仅仅是从长时记忆库中检索出勾股定理的言语信息，而并没有学会将其应用于实际情境。学生是否获得联接，关键是看他在问题情境中识别出条件信息后能否作出活动。尚未获得勾股定理联接的学生,尽管他脑中贮存有勾股定理的言语观念，仍然不能解决与勾股定

8、理相关的问题。能够根据直角三角形而产生诸如，两个内角和等于180度；射影定理；斜边是外接圆的直径等等，那么我们说该学生在这个知识点上具有良好的联接。也就是我们通常所评价的该生思维活跃，具有联想力。“条件活动”式的联接对解决一些简单的由已知到结论的问题有效，但对一些复杂的问题则不然。因为，有许多联接的条件信息是完全一样的，换句话说，由问题情境中的同一条件信息可以引发许多活动。这样，如果解决一个问题需要好几个联接，而每一个联接的条件信息又可以引发几个活动，那么，问题解决者将面对几何级数般增长的解题思路而不知如何选择。因此，除了“条件活动”这样的正向联接之外，问题解决者的认知结构中还应该具备逆向联接

9、。逆向联接是以“要，就要”的形式表示的规则。其含义是，在当前情境之下，要使目标得以实现，就要具备什么条件。这就是我们所知的分析法。除了正向联接和逆向联接之外，良好的数学认知结构中还应该有一些与正向联接的数学模式对应的变形联接。所谓变形联接是这样一种双反应联接，即：学习者事先已习得某一联接CA，只要一出现与联接CA相关的信息，学习者立刻检索出与联接CA对应的数学模式，然后根据目标信息对这一数学模式进行变形。例如，某学习者获得了有关等式他还可以得出变形联接、3层次分明的知识基本模块网络结构解决问题的思路探索过程实质上由一连串的联接构成。在问题解决者具备相关稳定的联接的前提下，如何从问题情境中识别出

10、相关信息并与众多的联接中的条件信息相匹配是成功解决问题的关键。前面已经指出，某一领域内善于解决问题的专家的认知结构中有上万个知识基本模块。这些知识基本模块不仅是具体知识的基本模块，而且大多数是联接。因此，如果这些数以万计的联接组织得不好，那么问题解决者是很难从中检索出与问题情境相匹配的条件信息。所以，除了具备一定数量的知识基本模块和稳定而又灵活的联接之外，要建构良好的数学认知结构，学习者还必须对所获得的知识信息进行加工整理，使之形成一个个的知识基本模块，并对这些知识基本模块再进行组织、分类和概括，使之形成一个有层次有条理的知识网络结构，这样，就可以提高信息的检索效率。找到问题解决的有效途径，也

11、就是我们所说的有了解题的思路。4问题解决策略的基本思想策略模块对于通常的数学问题，教师解决问题的能力之所以比学生强，主要的原因之一是教师的认知结构中有着比学生多得多的问题解决策略的基本思想策略模块。因此，良好的数学认知结构必须包括一定的问题解决策略的基本思想策略模块。（何小亚.数学应用题认知障碍的分析J.上海教育科研，2001，6：41-43.）如表征问题的策略、波利亚的策略、奥加涅相的策略、舍费尔德的策略、化陌生为熟悉的基本模块、化繁为简的基本模块、特殊与一般的互化的基本模块、正难则反的基本模块、顺推与逆推之结合的基本模块、动静之转化的基本模块等等。这种基本思想策略模块的形成要靠长期的学习、

12、反思，训练，经过不断积累和总结而得到。因此要提高学生的数学解题能力，就必须进行必要的、一定量的解题训练。二、提高数学解题能力的教学策略1、必须熟悉学生原有的数学认知结构知己知彼方能百战百胜，有意义学习的条件表明，要使学生有效地接纳新知识，学习者认知结构中必须具备适当的基本模块。因此，要发展学生良好的数学认知结构，教师首先必须摸清学生原有的数学认知结构，这样才能知道选择教什么和怎样教。例如，在进行某一知识点的教学时，教师可以通过提问、作业、测验、交谈等方式去了解学生是否已经具备相关的基本知识模块，他们对概念和性质掌握的程度如何等等，当教师对学生的数学认知结构有了全面而又细致的认识之后，就可以通过

13、适当的教学手段帮助学生建构那些缺少的知识，明晰那些模糊的概念，强化其有关知识的稳定性。2、课堂教学中要努力创设良好的问题情境有意义学习的条件之一是学习者必须具有有意义学习的心里意向，即学习者积极主动地把符号所代表的新知识与他的认知结构中原有的适当的模块加以联系的倾向性。要使学习者具有这种“心向”，教师就要创设良好的问题情境。良好的问题情境应具备以下条件：（1）让学生明白自己将要学到什么或将要具备什么能力。这是使学生自觉参与学习的最好“诱惑”。例如，在讲述两数和完全平方公式的时候，可以先和学生比试一下两位数平方的计算速度，用传统的算法和利用完全平方公式改进算法的速度差异（浅谈数学教师的数学教学创

14、新能力。孙文麒,2001.9。）给学生产生悬念，和迫切想知道结果的情景。（2）能造成认知冲突。这样就可以打破学生的心理平衡，激发学生弥补“心理缺口”的动力。例如，在“线段的垂直平分线”的教学中，教师可以如此创设问题情境：如图1所示，在草原上有A、B、C三个村庄。现在要为它们设置一个物质供应站P，使得P到A、B、C的距离都相等。那么P应该设在哪里呢？然后教师用三条橡皮筋一端系在一起作为P点，另一端分别固定在A、B、C三点。教师一边移动点P一边问：“PA、PB、PC的长度相等吗？”通过几次尝试之后，使学生体会到，单靠观察是不准确的，用测量的方法也不可行。最后，教师再指出：“只要我们掌握了线段的垂直

15、平分线的知识，这个问题易如反掌。”这时，学生已产生了心理缺口如何准确地确定点P的位置呢？这样，学生就会积极地进入新知识的建构学习。（3）问题情境必须是学生熟悉的。最好是从学生熟悉的生活情境和生产实际这些角度去创设问题情境，这样才能保证学生有相关的模块来理解问题，我们也可以通过创造条件，通过各种其他活动有意识地创设问题情境，使学生主动积极地建构他们的数学认知结构。（4）提出问题的方式和问题的难度应该是适宜的。提出问题的方式极大地影响着学生解决问题的积极性和成功率。问题太难，学生没法入手，望而却步；问题太容易，学生学不到新东西，他们没有兴趣。3、 强调并突出数学思想方法的教学学校教学的目

16、的就是要使学生能把获得的内容迁移到新的情景中去。知识越具体，应用的范围越狭窄，只能用于非常具体的情境，也容易遗忘；概括性越高，其应用的范围就越广，随时可用于任何情境中的类似问题，也有利于保持记忆。数学思想方法是数学中的一般性的原理，它有高度的概括性，有助于学习的迁移。因此，要发展学生良好的数学认知结构，就必须要突出数学思想方法的教学，帮助学生建构思想方法层次上的数学问题模块。例如，配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法这一类基本方法；象实验、观察、猜想、类比、分析、综合、抽象、概括、分类、归纳、演绎这一类思维方法；以及象方程的思想、函数的思想、极限的思想、化陌生为熟悉的思想、

17、化繁为简的思想、特殊与一般的互化的思想、正难则反的思想、顺推与逆推之结合的思想、动静之转化的思想这一类高层次的思想策略与方法。（王林全，林国泰，何小亚，等.中学数学思想方法概论M.广东：暨南大学出版社，1999.294-303.）4、 建立良好的反馈纠正系统在数学教学中必须注意经常监控学生认知结构的合理性、基本模块的正确性。通过学生的作业、测验、版演、对话，教师的讲解分析、解题的技巧演示等各种形式加强学生认知结构中基本模块的正确联结。使学生的错误得到及时的纠正。5、 注意数学的整体性教学在前面已经指出，层次分明的模块网络结构是良好的数学认知结构的特征之一。因此，要提高数学解

18、题能力，就要发展学生良好的数学认知结构，教师就必须注意整体性教学。整体性教学有两个方面的要求：（1） 注意知识的基本模块教学孤立的知识教学不可能建立起层次分明和联系紧密的模块系统。因此，新知识的教学不能孤立进行,应把新知识纳入原有的模块系统中进行整体考虑，使新知识与原有的相关知识相联系，并把这些有联系的知识点重新组织为一个大的知识模块。这样，既有利于知识的保持又有利于知识的检索与应用。例如，学完三角函数的36个诱导公式之后，如果不作进一步的组织加工，那么这些孤立的知识是难以保持和应用的。在教学过程中教师应引导学生把这些公式放在一起进行观察、比较、分析，随着教学进程先概括为一个知识模块

19、（1）“函数名不边变，符号看象限”，而后又概括为另一个知识模块（2）“函数名改变，符号看象限”模块。当学生全学完以后，进一步可提升为“奇变偶不变，符号看象限”模块，那么学生的数学认知结构就能得到优化。在知识的巩固与应用中，集中且联系各个知识点的“模块”练习比分散、孤立的练习效果要好。例如，已知A（2，1）、B（6，2）、C（3，5）求下列各问题直线AB的斜率是_。直线BC的倾斜角是_。直线AC的方程是_。直线BC在X、Y轴上的截距是_。A、B两点的距离是_。角A的角平分线方程是_。过点C且与AB直线平行的直线方程是_。过点C且与AB直线垂直的直线方程是_。点B到AC直线的距离是_。三角形ABC的面积是_。通过看图说话的方式将三角形的各个部分的有关内容（如三线、三角、五心、内切圆圆心、外接圆圆心、三角形面积等等）联结起来，这样既利于问题解决又利于建立基本问题模块，也为解决较难、较深的问题建立了广泛的联接。（2） 实施由整体到