大学物理：质点运动学1

1、12第第1章章 质点运动学质点运动学 1 描述物体运动的基本方法描述物体运动的基本方法2 描述质点运动的基本物理量描述质点运动的基本物理量3 参考系变换参考系变换4 质点运动规律（自学）质点运动规律（自学）3Orm质点质点1 描述物体运动的基本方法描述物体运动的基本方法在物理学上，为了能够研究物体的运动规律，在物理学上，为了能够研究物体的运动规律，常把实际物体近似地简化为常把实际物体近似地简化为与实际物体及其运动相近的理想模型。与实际物体及其运动相近的理想模型。 一一 质点和刚体质点和刚体1.质点质点把物体看成一个只有质量没有形状大小的物理点把物体看成一个只有质量没有形状大小的物理点 mr质点

2、这一理想化模型，质点这一理想化模型，突出了实际物体的突出了实际物体的质量质量 和空间位置和空间位置 这个主要特征这个主要特征 同一个物体，同一个物体， 在不同的问题中有不同的处理。在不同的问题中有不同的处理。 4。O定轴定轴。Or刚体刚体2.刚体刚体物体的形状和大小均保持不变，物体的形状和大小均保持不变，即在物体内部各质点之间的距离即在物体内部各质点之间的距离都保持不变，都保持不变，刚体刚体理想化物体模型理想化物体模型刚体这一理想化模型刚体这一理想化模型 特别适合于研究物体的转动问题特别适合于研究物体的转动问题 刚体的概念，刚体的概念，突出了物体的角位置和空间位置突出了物体的角位置和空间位置

3、5太阳系太阳系地心系地心系地面系地面系二二 参照系和坐标系参照系和坐标系1.参照系参照系相对于观察者静止，选作标准的物体称为参照系。相对于观察者静止，选作标准的物体称为参照系。 6太阳系太阳系zx y地心系地心系地面系地面系2.坐标系坐标系为了定量地说明一个质点相对于此参考物的空间位置，为了定量地说明一个质点相对于此参考物的空间位置，确定了参考物之后，就在此参考物上建立固定的坐标系。确定了参考物之后，就在此参考物上建立固定的坐标系。 坐标系是参照系的数学抽象坐标系是参照系的数学抽象 最常用的坐标系是笛卡儿直角坐标系最常用的坐标系是笛卡儿直角坐标系 zyx、71t2t12ttttO三三 时间与时

4、刻时间与时刻1.时刻时刻时间流逝中的某一瞬间时间流逝中的某一瞬间 总是与物体的位置相对应总是与物体的位置相对应 2.时间间隔时间间隔从某一初始时刻从某一初始时刻 到终止时刻到终止时刻 所经历的时间间隔所经历的时间间隔 1t2t12ttt总是与物体的位置变化相对应总是与物体的位置变化相对应 8P( t ) r(t)x z y0一一 质点的位置矢量质点的位置矢量质点在质点在 时刻的位置时刻的位置 ，可以用矢量，可以用矢量 表示表示rPt 的方向说明了的方向说明了 点相对于坐标轴的方位点相对于坐标轴的方位 rPrP 的大小的大小(即它的模即它的模)表明了原点到表明了原点到 点的距离点的距离 可以唯一

5、地描述质点的空间位置可以唯一地描述质点的空间位置 rr 叫做质点的叫做质点的位置矢量位置矢量，简称简称位矢位矢，也叫，也叫径矢径矢。 质点的运动函数质点的运动函数 )(trr2 描述质点运动的基本物理量描述质点运动的基本物理量9x y z y(t)x(t)P( t ) z(t) r(t)x z y0)()()(tzztyytxx)(tr位置矢量位置矢量 沿坐标轴的投影沿坐标轴的投影 质点的运动函数质点的运动函数(运动方程运动方程)在直角坐标系中的表示在直角坐标系中的表示 ztzytyxtxtr )()()()(10 x y z y(t)x(t)P( t ) z(t) r(t)x z y0质点运

6、动时所经过的路线叫做轨道质点运动时所经过的路线叫做轨道 质点运动的轨道所满足的空间坐标曲线方程，称为轨道方程。质点运动的轨道所满足的空间坐标曲线方程，称为轨道方程。 tzyx,在质点的运动函数中在质点的运动函数中 消去时间参量消去时间参量 所得到的所得到的 满足满足 空间曲线方程空间曲线方程 Czyxf),(轨道方程轨道方程 ztzytyxtxtr )()()()(11 r s0r(t+ t)r(t)(tA)(ttB二二 质点的位移矢量质点的位移矢量在一段时间内运动质点的位置的改变在一段时间内运动质点的位置的改变 叫做它在这段时间内的位移。叫做它在这段时间内的位移。这是一个描述运动质点空间位置

7、变化的物理量。这是一个描述运动质点空间位置变化的物理量。t)(tA)(tr 时刻质点运动到时刻质点运动到 点，其位置矢量为点，其位置矢量为 tt)(ttB)(ttr 时刻质点运动到时刻质点运动到 点，其位置矢量为点，其位置矢量为 质点在这一时间间隔质点在这一时间间隔 内的位移为内的位移为 t)()(trttrr位移位移 是矢量，是矢量， 既有大小又有方向既有大小又有方向 r与路程与路程 不同不同 S12 r s0r(t+ t)r(t)(tA)(ttB在直角坐标系中，在直角坐标系中， 位移矢量表示为位移矢量表示为 z zyyxxztzttzytyttyxtxttxr)()()()()()(位移矢

8、量的大小为位移矢量的大小为222222)()()()()()()()()(tzttztyttytxttxzyxrr13 r s0r(t+ t)r(t)(tA)(ttB三三 质点运动的速度质点运动的速度速度是描述质点运动时，位置和运动方向变化快慢的物理量速度是描述质点运动时，位置和运动方向变化快慢的物理量 trvttt在时间间隔在时间间隔 内内质点运动的平均速度为质点运动的平均速度为 平均速度是矢量平均速度是矢量 大小：大小： trvv方向：方向： 在时间间隔在时间间隔 内内ttt 质点位移质点位移 的方向的方向r14当当 趋于零时，平均速度的极限，趋于零时，平均速度的极限， 即质点位矢对时间的

9、变化率，即质点位矢对时间的变化率，叫做质点在叫做质点在 时刻时刻的速度，简称速度的速度，简称速度 tttrvtdrdtrvt0lim在直角坐标系中在直角坐标系中 zyxzyxvvvzvyvxvztdzdytdydxtdxdvzyxvvv、tdzdvtdydvtdxdvzyx、分速度分速度 速度分量速度分量 r s0r(t+ t)r(t)(tA)(ttB15当当 趋于零时，趋于零时， 点向点向 点无限趋近，点无限趋近，t)(ttB)(tAr而而 的方向最后将与质点运动轨道的方向最后将与质点运动轨道t因此，质点在因此，质点在 时刻的速度的方向就时刻的速度的方向就沿着该时刻质点所在处运动轨道的切线沿

10、着该时刻质点所在处运动轨道的切线 而指向运动的前方。而指向运动的前方。 )(tA在在 点的切线方向一致。点的切线方向一致。te e r s0r(t+ t)r(t)(tA)(ttB速度的方向速度的方向16)(tA)(tAO)(ttB)(tr)(ttrte te rrvv)(tv)(tv17速度的大小速度的大小速率速率 trtdrdvvt0lim r s0r(t+ t)r(t)在直角坐标系中在直角坐标系中 222222zyxvvvtdzdtdydtdxdv0tSrtdSdtStrvtt00limlim速率又等于质点所走过的路程对时间的变化率速率又等于质点所走过的路程对时间的变化率 18v (t )

11、v (t+t )xr(t+t )r(t) y z 0vv (t )v (t+t )四四 质点运动的加速度质点运动的加速度加速度是描述质点运动速度随时间变化快慢和方向的物理量加速度是描述质点运动速度随时间变化快慢和方向的物理量 )()(tvttvv t)(tv 时刻质点运动速度为时刻质点运动速度为 ；tt)(ttv 时刻质点运动速度为时刻质点运动速度为ttt在在 时间内，质点运动速度的增量为时间内，质点运动速度的增量为19在在 时间间隔内质点运动的平均加速度为时间间隔内质点运动的平均加速度为 ttttvaxr(t+t )r(t) y z 0v (t )v (t+t )vv (t )v (t+t

12、)tvaatt当当 趋于零时，平均加速度的极限，趋于零时，平均加速度的极限， 即质点运动速度对时间的变化率，即质点运动速度对时间的变化率，叫做质点在叫做质点在 时刻的加速度时刻的加速度 平均加速度大小平均加速度大小 220limtdrdtdvdtvat20在直角坐标系中，质点运动的加速度表示为在直角坐标系中，质点运动的加速度表示为zyxzyxzyxaaazayaxaztdzdytdydxtdxdztdvdytdvdxtdvda222222222222222222tdzdtdydtdxdtdvdtdvdtdvdazyx质点运动加速度沿质点运动加速度沿3个坐标轴的分量个坐标轴的分量 222222t

13、dzdtdvdatdydtdvdatdxdtdvdazzyyxx、质点运动的加速度大小质点运动的加速度大小21)( tA五五 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度质点作曲线运动时，速度的大小和方向都变化。质点作曲线运动时，速度的大小和方向都变化。加速度方向与速度方向不在同一条直线上，加速度方向与速度方向不在同一条直线上， 例如抛体运动、圆运动等。例如抛体运动、圆运动等。速度方向上的单位矢量为速度方向上的单位矢量为)( t质点的加速度可以表示为质点的加速度可以表示为 质点的速度可以表示为质点的速度可以表示为 )( )()(ttvtv质点作曲线运动的速率为质点作曲线运动的速率为 )(tvt

14、dtdtvttdtdvtdtvda)( )()( )()( )(tv22)( t)( tt)( t)( ttabcAB tA)( )()(ttvtv设设 时刻质点运动到时刻质点运动到 点，其运动速度为点，其运动速度为 ；时刻到时刻到 点，速度为点，速度为 。B)( )()(ttttvttvtt由于质点运动轨道上的任一点，由于质点运动轨道上的任一点， 质点运动速度的方向就是该点运动轨道的切线方向，质点运动速度的方向就是该点运动轨道的切线方向，所以，所以， 的方向分别沿着的方向分别沿着)( )( ttt、BA、运动轨道上运动轨道上 点的切线方向，点的切线方向，而其大小均为而其大小均为1。设设 之间

15、的夹角为之间的夹角为 ，)( )( ttt、在在 内，内，ttt)( )( ttt质点运动方向的变化为质点运动方向的变化为 ，则三角形则三角形 是等腰三角形是等腰三角形 abc23AO BO设运动轨道上设运动轨道上 点的曲率中心为点的曲率中心为 ，BA、BAOO 、位置矢量位置矢量(曲率半径曲率半径)分别为分别为 。)()(ttRtR、当当 很小时，轨道上很小时，轨道上 点的位置矢量点的位置矢量 ，t)()(ttRtRBA、OOOBA曲率中心曲率中心 ，三角形三角形 也是等腰三角形。也是等腰三角形。OAB因此这两个三角形相似因此这两个三角形相似 )( )(ttttR由于由于 、 ，)( )(t

16、tRbacAOB使得使得 。abbcRAB)( t)( tt)( t)( ttabcAB24质点运动方向单位矢量随时间变化率的大小为质点运动方向单位矢量随时间变化率的大小为 )( t)( tt)( t)( ttabcABOR )()(lim1lim00tRtvtABRttddtt0t)( )( tttOA 而当而当 时，时， 的方向为的方向为 ，即沿运动轨道法线方向指向该点运动轨道的曲率中心即沿运动轨道法线方向指向该点运动轨道的曲率中心 )( tn如果设该方向的单位矢量为如果设该方向的单位矢量为 ，则，则)( )()()( )( tntRtvtntddtdtd)( tn)( tnabbcRAB

17、25)(tAO)(ttB)(tr)(ttr)( t)( ttn )( t)(tA26速度方向上的单位矢量为速度方向上的单位矢量为)( t沿运动轨道法线方向指向曲率中心的单位矢量为沿运动轨道法线方向指向曲率中心的单位矢量为)( tn质点的加速度质点的加速度 ntaanRvtddva2tdtdtvttdtdvtdtvda)( )()( )()()( )()()( )( tntRtvtntddtdtd)( t)( tt)( t)( ttabcABOR)( tn)( tn27)( tO)(tR)( tn质点作曲线运动时，其加速度可分解成两个分量。质点作曲线运动时，其加速度可分解成两个分量。 与速度平行

18、的分量，称为切向加速度与速度平行的分量，称为切向加速度 与速度垂直的分量，称为法向加速度与速度垂直的分量，称为法向加速度 tddvatnRvan2)( t)( tn28切向加速度的大小等于速率的时间变化率，切向加速度的大小等于速率的时间变化率， 切向加速度的作用是改变速度的大小。切向加速度的作用是改变速度的大小。法向加速度的作用就是改变速度的方向。法向加速度的作用就是改变速度的方向。若质点只有切向加速度，则质点的速度方向不变，若质点只有切向加速度，则质点的速度方向不变， 速度大小改变，质点作变速直线运动；速度大小改变，质点作变速直线运动；若质点只有法向加速度，若质点只有法向加速度， 则质点速度

19、的大小不变而方向改变，则质点速度的大小不变而方向改变， 质点作匀速率曲线运动。质点作匀速率曲线运动。 tddvatRvan229 m5332ktjti ttr例例1 已知质点的运动函数已知质点的运动函数 。求。求（1）第）第3秒末，质点的位置矢量；秒末，质点的位置矢量；（2）第）第3秒内，质点的位移；秒内，质点的位移；（3）第）第3秒末，质点的速度；秒末，质点的速度；（4）第）第3秒末，质点的加速度；秒末，质点的加速度；（5）1秒秒3秒内，质点的平均速度；秒内，质点的平均速度；（6）1秒秒3秒内，质点的平均加速度；秒内，质点的平均加速度；（7）质点运动的轨道方程。）质点运动的轨道方程。解解：运

20、动函数分量形式为：运动函数分量形式为 32)(),5()(,3)(ttzttyttx30（1）第）第3秒末，质点的位置矢量秒末，质点的位置矢量m2749m33533332kjikjistrm826m27493222 str大小：大小： 方向余弦：方向余弦： 82627cos,8264cos,8269cos（2）第）第3秒内，质点的位移，是指秒内，质点的位移，是指 从第从第2秒末到第秒末到第3秒末运动质点所产生的位移秒末运动质点所产生的位移 m816m22523232kjikjistrkjikjikjir1953m)816()2749(大小：大小： 方向余弦：方向余弦： 39519cos,395

21、4cos,3953cosm395m1953222r m5332ktjti ttr31（3）运动速度的表达式为）运动速度的表达式为(m/s)3232ktj tiktdzdjtdyditdxdv第第3秒末，质点的速度为秒末，质点的速度为 (m/s)2763(m/s)33323)3(2kjikjistv（4）质点运动加速度的加速度表达式为）质点运动加速度的加速度表达式为)(m/s622222222k tjktdzdjtdyditdxdtdvda第第3秒末，质点的加速度秒末，质点的加速度 )(m/s182)(m/s362)3(22kjkjsta m5332ktjti ttr32质点在第质点在第3秒末和

22、第秒末和第1秒末的位置矢量差值秒末的位置矢量差值 （5） 内，质点的平均速度是指：内，质点的平均速度是指： ss31与时间间隔与时间间隔 的比值的比值 st213m27493kjistrm43m11513132kjikjistrkjistrstrr268613)/(1343/smkjitrv(m/s)2763)3(kjistv质点在第质点在第3秒末和第秒末和第1秒末的速度矢量差值秒末的速度矢量差值 （6） 内，质点的平均加速度是指：内，质点的平均加速度是指： ss31与时间间隔与时间间隔 的比值的比值 st213(m/s)323(m/s)13123)1(2kjikjistv(m/s)244kj

23、v(m/s)122kjtva33（7）由运动函数分量形式，得到）由运动函数分量形式，得到32)(),5()(,3)(ttzttyttx5)(),(312tyttxt质点运动的轨道方程为质点运动的轨道方程为 )5(31yxz)5(313yxt m5332ktjti ttr34)(212SIctbtS例例2 一质点沿半径为一质点沿半径为 的圆周运动，的圆周运动， R其路程其路程 随时间变化的规律为随时间变化的规律为 SRcb 2cb、 为大于零的常数，且为大于零的常数，且 a（1）质点运动的切向加速度）质点运动的切向加速度 ； na法向加速度法向加速度 。 tnaa （2）质点经过）质点经过 时，

24、时， 。解：解：这是一个特殊的曲线运动，圆周运动。这是一个特殊的曲线运动，圆周运动。 其曲率中心只有一个即圆心；其曲率中心只有一个即圆心； R曲率半径也只有一个，即圆周半径曲率半径也只有一个，即圆周半径 35质点在圆周上运动的速率质点在圆周上运动的速率 ctbtdSdv变速率的曲线（圆周）运动变速率的曲线（圆周）运动 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 )(SIctdvda)()(22SIRctbRvannaa Rctbc2)( 当当 时，时， cRcbt)(212SIctbtS36例例3 以初速度以初速度 ，平抛一个物体（质点），抛出时开始计时，平抛一个物体（质点），抛出时开始计时

25、0v求：求： 时刻时刻 t（1）质点运动的加速度；）质点运动的加速度；（2）质点运动速度的表达式；）质点运动速度的表达式；（3）质点运动函数的表达式；）质点运动函数的表达式；（4）质点运动速率的表达式；）质点运动速率的表达式；（5）质点运动的切向加速度、法向加速度；）质点运动的切向加速度、法向加速度；（6）质点运动轨道的曲率半径表达式；）质点运动轨道的曲率半径表达式；（7）质点经过的路程表达式。）质点经过的路程表达式。 37Oyx0vjga解：解：选取直角坐标系选取直角坐标系 xOy 时刻，质点从坐标原点以水平速度时刻，质点从坐标原点以水平速度 抛出。抛出。 0t0v（1）抛体运动中，加速度是

26、恒量）抛体运动中，加速度是恒量 jga（2）由加速度的定义式，得）由加速度的定义式，得tdjgtdavdCjgttdjgtdavdv0tivvv00在时刻在时刻 ， ， ivC0jtgivtv0)(微分微分积分积分38（3）由速度的定义式，得到）由速度的定义式，得到tdjtgtdivtdvrd0质点运动函数为质点运动函数为 jtgivtv0)(jtgi tvtdjtgivrdtrtt2000021)()(（4）质点运动速率为）质点运动速率为2220)()(tgvtvtvjtgivtv0)(39（5） 切向加速度大小为切向加速度大小为222022220)(tgvtgtgvtddtdtdva法向加

27、速度大小为法向加速度大小为 2220022tgvgvagan2220)(tgvtv2222gaaan40（6）质点运动轨道的曲率半径）质点运动轨道的曲率半径02322202)()(gvtgvavtRn（7）质点经过的路程）质点经过的路程tototdtgvtvddStS2220)(tgvttgvtgvtg0202202220ln212gvgvggvttgvgtgvgt020202202220ln2ln22Rvan2tddSv 41讨论：讨论： 22200sintgvgvaan22202sintgvtgaa2220sintgvgtvgt222000costgvvvvjtgivjvivjvivtvy

28、x0sincos)(jgnaanaaansinsinOyx0vyv)(tvxvjgaana423 参考系变换参考系变换研究力学问题时，常常需要从不同参考系描述同一物体的运动研究力学问题时，常常需要从不同参考系描述同一物体的运动 对于不同参考系，同一质点的位移、速度和加速度都可能不同对于不同参考系，同一质点的位移、速度和加速度都可能不同 /x/y/O/rxyOP/KK0rru/KK 系沿系沿 轴方向相对于轴方向相对于 系运动的速度为系运动的速度为 xu初始时刻，初始时刻， 与与 重合重合 /OO点点P位置矢量位置矢量关系为关系为 0/rrrtur0/zzyyutxx参考系参考系变换关系变换关系

29、-位置矢量变换式位置矢量变换式 430/rrr对时间求导数对时间求导数 tdrdtdrdtdrd0/uvv/x/y/O/rxyOP/KK0rru伽利略速度变换公式伽利略速度变换公式 速度对时间求导数速度对时间求导数 0/aaa加速度变换关系加速度变换关系 00a/aa若若 ，则，则 ， 相对两个相互作匀速直线运动的参考系，相对两个相互作匀速直线运动的参考系， 同一个质点的加速度是相等的同一个质点的加速度是相等的 44uv/O/x/y/KxyOK例例4 设雨滴相对地面以设雨滴相对地面以 的速度铅直下落，的速度铅直下落， smv/3车厢以车厢以 的速度在地面上水平向东运动的速度在地面上水平向东运动

30、 smu/4求雨滴相对车厢的速度。求雨滴相对车厢的速度。 解：解：建立地面坐标系建立地面坐标系 和车厢坐标系和车厢坐标系 K/K 系相对于系相对于 系的运动速度为系的运动速度为 K/Ksmiu/4雨滴相对雨滴相对 系的运动速度为系的运动速度为 smjv/3K雨滴相对车厢的速度雨滴相对车厢的速度 smijuvv/43/454 质点运动规律质点运动规律一一 直线运动直线运动1.匀速直线运动匀速直线运动2.匀变速直线运动匀变速直线运动二二 抛体运动抛体运动1.平抛运动平抛运动2.斜抛运动斜抛运动三三 圆周运动圆周运动1.圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述2.圆周运动的运动方程圆周运动的运动方程3.

31、圆周运动线量与角量的关系圆周运动线量与角量的关系（自学）（自学）4647阅读阅读48平面极坐标中的位矢平面极坐标中的位矢 速度速度 加速度加速度（1）位矢位矢)( )()(trtrtr rrr trrtrvd) (ddd r rr r r rr r （2）速度速度 vvvr r rvr 径向速度径向速度： rv 横向速度横向速度：【思考思考】圆周运圆周运动质点的径向速动质点的径向速度和横向速度如度和横向速度如何表示？何表示？补充补充149tvvtvard)(ddd d) d( rr rr rr rtr r rrrrtrd)d(2 rr )2( )(2 rrrrra trtr rd)d(d) d

32、( （3）加速度加速度50 aaar rrrar )(2 径向加速度径向加速度： )2( rra 横向加速度横向加速度：【思考思考】圆周运动的质点的径向加速度和横圆周运动的质点的径向加速度和横向加速度如何表示？向加速度如何表示？51科里奥利加速度科里奥利加速度Coriolis acceleration设盘设盘S 相对相对S 系（惯性系）均速转动。系（惯性系）均速转动。 求在求在S系和系和S系中，同一质点系中，同一质点P的速度、加的速度、加速度的变换关系。速度的变换关系。O rS 系系S 系系v（常矢量）（常矢量）P(补充补充2)52G（任意矢量）（任意矢量）ztGytGxtGtGzyx*dddddddd ) (ddddzGyGxGttGzyx z x y S系（固定）系（固定）S 系（转动）系（转动）tGddtGdd*tG ddtG dd*和和之间的关系？之间的关系？求求ytxdd xtydd 53GtGtG* dddd一个数学定理：一个数学定理：z ztGytGxtGtGzyx