数学运算之剩余定理专题

1、数学运算之剩余定理专题数学运算之剩余定理专题【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 【解析】题中3、4、5三个数两两互质。 则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。 为了使20被3除余1，用20×2=40； 使15被4除余1，用15×3=45； 使12被5除余1，用12×3=36。 然后，40×145×236×4=274， 因为，274>60，所以，27460×4=34，就是所求的数。 【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？在1000内符合这

2、样条件的数有几个.？【解析】题中3、7、8三个数两两互质。 则7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。 为了使56被3除余1，用56×2=112； 使24被7除余1，用24×5=120。 使21被8除余1，用21×5=105； 然后，112×2120×4105×5=1229， 因为，1229>168，所以，1229168×7=53，就是所求的数。 再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有6个. 【例3】一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数

3、。 【解析】题中5、8、11三个数两两互质。 则8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，11=440。 为了使88被5除余1，用88×2=176； 使55被8除余1，用55×7=385； 使40被11除余1，用40×8=320。 然后，176×4385×3320×2=2499， 因为，2499>440，所以，2499440×5=299，就是所求的数。 【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？ 【解析】题中9、7、5三个数两两互质。 则7，5

4、=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。 为了使35被9除余1，用35×8=280； 使45被7除余1，用45×5=225； 使63被5除余1，用63×2=126。 然后，280×5225×1126×2=1877， 因为，1877>315，所以，1877315×5=302，就是所求的数。 关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。【例一】一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？解法：题目可以看成，被5除

5、余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7446。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。46428846424213046424242172【例二】一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余

6、4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”471111718183553【例1】在国庆50周年仪仗队的训练营地，某连队一百多个战士在练习不同队形的转换。如果他们排成五列人数相等的横队，只剩下连长在队伍前面喊口令。如果他们排成七列这样的横队，只有连长仍然可以在前面领队，如果他们排成八列，就可以有两个作为领队了。在全营排练时，营长要求他们排成三列横队。以一哪项是最可以出现的情况？A该连队官兵正好排成三列横队。B除了连长外，正

7、好排成三列横队。C排成了整齐的三列横队，加有两人作为全营的领队。D排成了整齐的三列横队，其中有一人是其他连队的【解析】这个数符合除以5余1，除以7余1，除以8余2； 符合除以5余1，除以7余1的最小数为36，那么易知符合除以5余1，除以7余1，除以8余2为106，106÷3=35余1，所以选B。【习题一】1到500这500个数字， 最多可取出多少个数字， 保证其取出的任意三个数字之和不是7的倍数。【解析】每7个数字1组，余数都是1，2，3，4，5，6，0，要使得三个数字之和不是7的倍数，那么其余数之和就不是7的倍数。我们应该挑选 0，1，2，或者0，5，6 因为7/3=2 也就是说最大的数字不能超过2 ，例如 如果是1，2，3 那么 我们可以取3，3，1 这样的余数，其和就是7 500/7=71 余数是3， 且剩下的3个数字余数是1，2，3要得去得最多，那么我们取0，1，2比较合适 因为