面角的几种求法

1、二面角的几种求法4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。例1:如图2所示，在四面体 ABCD中，AC = AB =1, CD二BD =2, AD =3。求二 面角A BC D的大小。图2分析：四面体ABCD的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度 的问题。解：设线段BC的中点是E ,接AE和DE。根据已知的条件 AC二AB =1 ,CD二BD =2，可以知道AE _ BC且DE _ BC。又BC 是平面ABC和平面DBC的交线。根据定义，可以得出： AED即为二面角A-BC-D的平面角。可以求出AE3，DE=：3，并且AD =3。2根据余弦定理知：cos ZAED

2、 二2 2 2AE ' DE AD2AE DE7即二面角A -BC -D的大小为專-arccos7。4同样，例2也是用概念法直接解决问题的。例2:如图3所示，ABCD是正方形，PB _平面ABCD , PB二AB =1，求二面角A PD -C的大小。图3解：作辅助线CE _ PD于点E，连接AC、AE。由于AD = CD， PA = PC，所以三角形PAD三三角形PCD。即AE _ PD。由于CE _ PD，所以.AEC即为所求的二面角的大小。通过计算可以得到：PC = . 2， PD = 3，又CD = 1，在三角形PCD中可以计算得到CE专。由此可以得到:ae=ce=3，又Z由余弦

3、定理:AE2+CE-AC22AE|accos AEC 二2 223 3即：.AEC 二2-34.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等 方法。下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。例3:如图4所示，现有平面:和平面-,它们的交线是直线DE，点F在平面内, 点C在平面1内。求二面角F DE -C的大小。分析：过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面1于点B。补角法直接求解二面角F - DE -C的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角 C-DE-B。因为二面角F-DE-C与二面角C - DE - B是互补的关系，现在先求出 二面角C - DE

4、 -B后，二面角F - DE -C的大小就很容易计算了。三垂线法由于CA _ DE，CB _平面1。那么根据三垂线定理可以得知： CA在平面1内的 射影AB垂直于两平面的交线DE。即AC _DE且AB _ DE，根据定义可知，二面角 C - DE -B的大小即为 CAB的大小。那么二面角F - DE -C的大小可以用补角法得 到。切平面法切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可 以很容易观察与计算二面角。如图 4所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线 DE，平面CAB与平面的交线是AC，平面CAB与平面一：的交线是AB，根据二面 角的定义知 CAB即为所求二

5、面角的补角，根据补角法，可以求出二面角F-DE-C 的大小。F面用例4来详细讲解一下切平面法例 4:在图 5 中，PA _ 平面 ABC , ABC 二 90°。其中 PA 二 AB = 1 , PB 二 BC = . 2。E是PC的中点，DE _ PC。求二面角C -BD -E的大小。图5解：由于E是PC的中点，且 PBC是等腰三角形，那么BD _ PC又DE_PC，可以推出：PC _平面BDE。所以：PC _ BD。又PA _平面ABC，贝U BD _ PA，所以BD _平面PAC可以得出：平面PAC是平面CBD和平面EBD的公共切平面。由此，根据切平面法知 CDE即为所求二面角

6、的平面角由于VCDE -ICPA，那么：CDCECACP 1 2 2、3CP32= 3，DECECAPA-又: CE 二丄 PCBP2 BC2一2 2 =1。2 2 2在三角形CDE中根据余弦定理可知：cos CDE =CD2 DE2 -CE22CD DE4 -13 3那么 CDE =60°即求二面角C - BD - E的大小是60°424补形法以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子 来讲解第四种方法一一补形法。例5:在图6中，PA _平面ABCD，四边形ABCD是一个直角梯形，其中PA = 1，AD =1，CD =1， AB 二0 . B

7、AD ADC =90。求平面 PAD 与平面 PBC 所成二 2面角的大小。图6解：延长直线DA与BC，它们相交于点E，连接PE o由题意可知，BA平行于CD，AB的长度是CD的一半，且BA _ AD，BA_ PA， 那么 BA_ 平面 PED，CD _ 平面 PED，AE = 1，PE2。在三角形PED中，PD = PE .2，ED = AE AD =2。那么根据勾股定理可知DPE =90，即 DP _ PE oCD _平面PED，DP 一 PE，且DP是CP在平面PED内的射影，根据三垂线定理知：CP _ PE o又DP _ PE，即.CPD即为所求的二面角即:乙CPD 二 arccos3

8、cos _ CPD 二在 Rt CDP 中，CD =1， PD = ：；2，所以平面PAD与平面PBC所成二面角的大小是arccos-6。3在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题， 这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。4.3空间向量法二面角和两平面的夹角之间的关系两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为 耳，那么二i的取值范围是（0，T。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角比的取值范围是2 2（0,二）。但是我们可以利用两个平面的夹角来

9、求二面角，它们之间的关系具体如下：如果 0 “2，二2 一 6。（ 1）2如果.2 空二，二2 -二-弓。（2）2因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝 角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。平面法向量的求法两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。 如图7所示：例6:如图7所示在平面内，已知三点，Y=（x2,y2,z2），Z讥乙）。图7下面求解平面:-的一个法向量n。解法一：求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来

10、求，即:v uuu uuvn 二 XY XZuuvuuv又 XY =X2 Xi, y2一召，XZ =X3 xy3 - %,勺Zg可以求出：vy2 -yiz2ziz2 -z-ix2 -x-)X2Xi y2yi、n=JJygyizg勺Zgxg -x-人ygyi解法二：设平面的方程为Ax By Cz D = 0将点X，Y，Z的坐标分别代入方程可以解出系数 A，B，C，D。在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程， 可能无解, 如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，将 A，B，C全部用D表示, 这样就可以得到一个形如2Dx 5Dy 4Dz 0的方程，可以将新得到的方程两

11、边同时除以D （ D一定不等于0，否则A=B=C二D = 0，方程无意义），那么就可以得到平面的方程2x 5y 4z 1 = 0。得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标n-A, B, C。解法三：uuv uiv在图7中，由所给的信息，可以求出向量 XY、XZ的大小。设平面:的一个法向量 n 二x,y,z。卄 uuvuuv右 XY =ai, b|, Ci , XZ = a? ,b?, c?。v uuv v uuv由nXY=O, nXZ=O可以得到：a1xb|yqz = 0a2xb>yc?z = 0可以求解出x, y, z的关系。此方程一定有无数多个解，可以将x, y用z表示。如V =2

12、z,4z, z，由此可知向量V =2,4,1是平面的一个法向量。两平面夹角的公式两平面相交时，定义它们之间的夹角，为它们法向量的夹角为nV，uV，其中uv口-tv-tuvX：COSTLV LV rn n2ni=A，B，Cj, i= 1,2 于是：1a 沢 a2 +B汁 b2 +G c2Ja： +Bi2 +C：卜 Ja； +B； +C；两平面的夹角转化成二面角利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据（1）、（2）求出二面角的大小。例7:如图8所示，四边形ABCD是一个矩形，点E和点F分别在边AD和边AB 上, 其中AE二AF二ED =4 , FB = 6。现在以直线EF

13、为折痕，将三角形AEF折起，得到 三角形A'EF，同时使得平面A'EF与底面ABCD垂直。求二面角A'- FB -C的大小。解：以点A为坐标原点，建立如图8所示的直角坐标系A xyz ,设点H是线段EF 的中点，连接A'H。可以得到：uuivuuvA(0,0,0)，A(2,2,2 . 2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，FA'= -2,2,2 . 2，FB =6,0,0。uuuv uiv由于 A'E 二 A'F，所以 A'H _ EF。又平面A' EF与底面ABCD垂直。-uuuu 十所以：A'H 平面AB

14、CD。uuu/-即HA、(0,0,2 2)是底面ABCD的一个法向量。v，v uuu v uuv设n = (x, y, z)是平面A'FB的一个法向量。那么：n FA' = 0, n F 0即.-2x 2y 2、&z=06x = 0那么：x = 0，y - -2， z 二、2，即 n =0, -2 2uuu/ v cos ： HA', n 口uuvvHA'nuuv vHA' n3.3即二面角A'-FB -C的大小为arccos4.4另类方法比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。四面体体积法例8:如图9所示，在空间四面体A

15、BCD中，四面体的所有棱长都是1,求二面角A -BD -C的大小。图9分析：过点A作辅助线A0 _平面BCD于点O ,过点A作辅助线AE _ BD于点E，AC连接直线EC，AEC - v，sin v - »。由于四面体A - BCD是一个正四面体， AECAE即为所求二面角。（也可以推导出当四面体不是正四面体时 AEC同样是所求的二面 角）正四面体A-BCD的棱长是1,可以求出正四面体 A-BCD的体积是丄2121Va _BCD = 3 AO X S|BCD根据已知条件可知:可以求出:ACAE汉 SbcdBD 卜 |AE|)2sin 二，SBCD SABDVA-BCD3 BD3 BD

16、BD =1，Sabds _jSbcd 一4sin也，即33当四面体A-BCD不是正四面体时也可以用这种方法求解， 只需要知道体积、两个 面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了442角度法例9:如图10所示，以点A为顶点的三条射线分别是 AB、AC、AD，其中AB、AD的夹角是刁，AB、AC的夹角是R，AC、AD的夹角是屯。现在要求二面角C - AB -D的大小。图10分析：现在设CB _ AB，并且DB _ AB （由于AB、AC、AD的长度没有给出,这样的假设是合理可行的），那么.CBD即为所求二面角的大小。根据已知条件可以得到:BD = AB "anq，ADABcos弓B

17、C = AB "an02，又CD将ADABcos齐AC2+ AD -2 ABcoslAC AD cos03AC带入得到:CO旳2CD二12co3)cos2 弓 cos、 cos cos在三角形BCD中,”BC2 + BD-|CD 2cosCBD =2 BC )BD|AB $ tan2 3 + AB $ tan2 以AB' (+ -予°曲3甘)二COS 廿 1 COS 廿 2 COS廿1 COS忖22 AB $ tand tan°22 .12 .1、2cosn3(tan r2) (tan v22)cos qcos B2cos® cosB22tan“ tanr22cosv3cosk cos *一1 一12tanK tan*COS 去COSE COScos t cos *即:CBDCOS d3 -cos y COSd2 =arccos COSR COST 2通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小，因此，该方法是一个比较特殊实用的方法。面积射影法例10:如图11所示，在空间直角坐标系O-XYZ中，点A、B、C分别在X、Y、Z轴上，现在要求二面角 O - AB -C