圆的有关性质第4课时

1、24.1圆的有关性质（第圆的有关性质（第4课时）课时）九年级上册九年级上册（圆周角定理及其推论）（圆周角定理及其推论） 本节课本节课是在学习了是在学习了垂径定理垂径定理、圆心角定理圆心角定理（圆心角、（圆心角、弧、弦之间的关系）的基础上探究同弧（或等弧）弧、弦之间的关系）的基础上探究同弧（或等弧）所对圆周角之间以及圆周角与圆心角之间的数量关所对圆周角之间以及圆周角与圆心角之间的数量关系（系（圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论）学习任务学习任务同圆或等圆同圆或等圆中，两个圆心角、中，两个圆心角、两条弧、两条弦两条弧、两条弦中有一组量相等，中有一组量相等，它们所对应的其它们所对应的其余各组量也相

2、等余各组量也相等推论：推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角等，那么它们所对的圆心角_ ， 所对的弦所对的弦_；在同圆或等圆中，如果两条弦相在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角等，那么它们所对的圆心角_，所对的弧所对的弧_ 定理：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等的弧相等，所对的弦也相等 相等相等相等相等相等相等相等相等回顾：圆心角定理及其推论回顾：圆心角定理及其推论“知一推二知一推二”圆心角定理及其推论的几何语言圆心角定理及其推论的几何语言AOB=CODAB=CD如图，

3、如图，AB、CD 是是 O 的两条弦：的两条弦：（1）如果）如果 AB=CD，那么，那么_，_；（2）如果）如果 = ，那么，那么_，_；（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_；ABCDAB=CDAB=CDAOB=CODAB=CDABODC 1什么是圆周角？什么是圆周角？AOBC顶点顶点在圆上，并且在圆上，并且两边两边都和圆相交的角叫圆周角都和圆相交的角叫圆周角如：如：ACB判断下列图形中的判断下列图形中的P P是否为圆周角？并说明理由。是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是不是是是不是不是不是不是顶点不顶点不在圆上。在圆上。顶点在圆上，顶点在圆上，两边和圆相两边和圆相交。交。两边不

4、和两边不和圆相交。圆相交。有一边和圆有一边和圆不相交。不相交。图中图中ACB 和和AOB 有怎样的关系？有怎样的关系？2探究：一条弧所对的圆周角与圆心角有何关系？探究：一条弧所对的圆周角与圆心角有何关系？BCOAAOBACB212探究探究BCOABCOA（1）在圆上任取）在圆上任取 ，画出圆心角，画出圆心角BOC 和圆周角和圆周角BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？，圆心角与圆周角有几种位置关系？BCBCOA（1）圆心）圆心O在圆周角在圆周角BAC的一边上时的一边上时.3证明猜想证明猜想BCOAOA=OC，A=C又BOC=A+C，BOCBAC21我们分三种情况证明我们分三种情况证明（2）圆心

5、）圆心O在圆周角在圆周角BAC的内部时的内部时.D3证明猜想证明猜想BCOA证明：如图，连接证明：如图，连接 AO 并延长交并延长交 O 于点于点 DBODBAD21CODCAD21BOCCODBODCADBADBAC21)(21由（由（1）可知：）可知：BOCBAD21即（3）当圆心）当圆心O在圆周角在圆周角BAC的一边上时的一边上时.BCOAD证明：如图，连接证明：如图，连接 AO 并延长交并延长交 O 于点于点 D由（由（1）可知：）可知：BODBAD21CODCAD21BOCBODCODBADCADBAC21)(21BOCBAD21即3结论：结论： 圆周角定理：圆周角定理：一条弧所对的

6、圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半BCOAAB=ABAOBACB21思考：思考：一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？所对的圆周角之间有什么关系？推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等：同弧或等弧所对的圆周角相等4探究探究ADBCO思考：思考：半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？推论推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.4探究探究C1AOBC2C3

7、ABC1OC2C3 一条弧所对的圆周角等于一条弧所对的圆周角等于这条这条弧所对的弧所对的圆心角的一半圆心角的一半圆周角定理圆周角定理 1、同弧或等弧所对的圆周角相等。、同弧或等弧所对的圆周角相等。2、半圆（或直径）所对的圆周角半圆（或直径）所对的圆周角是直角是直角;90;90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径推推 论论 BCOA练一练1、如图，在、如图，在 O中，中，ABC=50，则则AOC等于（等于（ ）A、50； B、80；C、90； D、100ACBOD2、如图，、如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，动点动点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不上，且不与与A、B重合，则重

8、合，则BPC等于（等于（ ）A、30； B、60；C、90； D、45CABPB练一练3、如图，、如图，A=50， ABC=60 BD是是 O的直径，则的直径，则AEB等于（等于（ ）A、70； B、110；C、90； D、120B4、如图，、如图，ABC的顶点的顶点A、B、C都在都在 O上，上，C30 ，AB2，则则 O的半径是的半径是 。ACBODECABO解：连接解：连接OA、OBC=30 ，AOB=60 又又OA=OB ，AOB是等边三角形是等边三角形OA=OB=AB=2，即半径为，即半径为2。2在在O中，中，CBD=30 ,BDC=20,求求A如图，如图，ABAB为为 O直径，直径，

9、CB = CF,CB = CF,弦弦CGABCGAB，交，交ABAB于于D D，交，交BFBF于于E.E. 求证：求证：BE=EC.BE=EC.证明：连结证明：连结BC. AB为为 O直径，直径， CGAB. CB=BG. 又又CB=CF. BG=CF.C=FBC.BE=EC.练习练习:如图如图 AB是是 O的直径的直径, C ,D是圆上的两是圆上的两点点,若若ABD=40,则则BCD=.ABOCD405.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下少种方法？与同学交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三

10、方法四方法四AB练练 习习如图，如图， O 的直径的直径 AB 为为 10 cm，弦，弦 AC 为为 6 cm，ACB 的平分线交的平分线交 O 于点于点 D，求，求 BC，AD，BD 的长的长5应用应用解：连接解：连接 OD. ACBDO22ACAB 22610 AB 是是 O 的直径，的直径，ACB=ADB=90在在 RtABC 中，中，BC= =8（cm）如图，如图， O 的直径的直径 AB 为为 10 cm，弦，弦 AC 为为 6 cm，ACB 的平分线交的平分线交 O 于点于点 D，求，求 BC，AD，BD 的长的长5应用应用ACBDOCD 平分平分ACB，ACD=BCD， AOD=BOD AD=BD 在在 RtABD 中，中， AD2+BD2=AB2