2019中考数学专题攻略-专题8几何最值问题解法探讨

1、2019中考数学专题攻略-专题8几何最值问题解法探讨在平面几何日勺动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段日勺长度、图形日勺周长或面积、 角日勺度数以及它们日勺和与差）日勺最大值或最小值问题，称为最值问 题。解决平面几何最值问题日勺常用日勺方法有：（1）应用两点间线段最短日勺公理（含应用三角形日勺三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短日勺性质求最值；（3）应用轴对称日勺性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考日勺实例 探讨其解法。一、应用两点间线段最短日勺公理（含应用三角形日勺三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东

2、济南3分）如图，/ MON=90,矩形 ABCD勺顶点A、B分别在边 OM ON±,当B在边ONLh运动时，A随之在边OM±运动，矩形 ABCD勺形状保持不变，其 中AB=2, BC=1,运动过程中，点 D到点。日勺最大距离为【】DE=JAD2 +AE2 =，12 +12=、5,A- .21 B- .5 C 145 5D- 5【答案】Ao【考点】 矩形日勺性质，直角三角形斜边上日勺中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取AB日勺中点E,连接OE DE OD 0& OE+D E 当。D E三点共线时，点 D到点。日勺距离最大，此时，. AB=2 BC=1,

3、 . OE=AEq AB=1。2 OD日勺最大值为：J2 +1。故选A。例2. （2012湖北鄂州3分）在锐角三角形 ABC中，BC=4 J2 , / ABC=45 , BD平分/ ABCMN分别是 BD BC上日勺动点，则 CM+M的最小值是。【考点】最短路线问题，全等三角形日勺判定和性质，三角形三边关系，垂直线段日勺性质，锐【分析】如图，在BA上截取BE=BN连接EM角三角函数定义，特殊角日勺三角函数值。D/ ABC日勺平分线交 AC于点D,/ EBM= NBM在4AME与4AMN中，BE=BN , / EBM= NBM BM=BM.BME2 ABMN( SAS。. ME=MN . CM+

4、MN=CM+MEE又CM+MNT最小值，当 CE是点C到直线AB日勺距离时，CE取最小值。BC=472， / ABC=45 , CE 日勺最小值为 4盘 sin45 0=4。.CM+MNl最小值是4。例3. （2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为 2cm，高为911cm，点A B分别是圆3圈到B,求柱两底面圆周上日勺点，且 A、B在同一母线上，用一棉线从 A顺着圆柱侧面绕棉线最短为cm °315n。圆周长、圆柱日勺展开，勾股定理,如图，圆柱展开后可见,平行四边形日勺性质。棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面1高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为34ncm，1高为3371c

5、m ,根据勾股定理，得斜线长为571cm，根据平行四边形日勺性质，棉线最短为157r cm。例4. （2012四川眉山3分）在4ABC中，AB= 5, AC= 3, AD是BC边上日勺中线，则 AD日勺取值范围是KADX 4。【考点】全等三角形日勺判定和性质，三角形三边关系。【分析】延长AD至E,使DE=AD连接CE根据SAS证明 AB呼 ECD得CE=AB再根据三角形日勺三边关系即可求解:延长AD至E,使DE=AD连接 CE1 BD=CD / ADBW EDC AD=DE:/AB¥ ECD( SAS。，CE=AB在 ACE 中，CE AG< AEv CE+ AC,即 2v 2

6、AD< 8。2 .K AD< 4。练习题:1. （2011湖北荆门3分）如图，长方体日勺底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂蚁爬行日勺最短路径长为【A.13cmB.12cm3 PC.10cm D.8cm2. （2011四川广安3分）如图，圆柱日勺底面周长为6cm, AC是底面圆日勺直径，高 BC=6cm点P是母线BC上一点，且 PC=2 BC 一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体日勺表面爬行到点P日勺最短距离是【A、6 cm B（4 一）冗、5cm C、3痣 cm D、7cm3. （2011广西贵港2分）如图所示，在边长为 2日勺

7、正三角形 ABC中，E、F、G分别为ABAC BC日勺中点，点P为线段EF上一个动点，连接 BP、GP则4BPG日勺周长日勺最小值是二、应用垂线段最短日勺性质求最值：典型例题:例1.（2012山东莱芜4分）在4ABC中，AB= AC= 5, BC= 6.若点P在边AC上移动，则BP日勺最小值是.4B24 °5动点问题，垂直线段日勺性质，勾股定理。如图，根据垂直线段最短日勺性质，当BP LAC时，BP取得最小值。B设 AP =x,则由 AB= AC= 5 得 CP =5 x,又 BC= 6, .在 RtAAB P'和RtCBP中应用勾股定理，得2-CPr2° AB2

8、-AP2 =BC2 CP'2，即52 -x2 =62 （6 x“ 解得7 ° x=5，即BP日勺最小值是“ 。52525576 2424例2. （2012浙江台州4分）如图，菱形 ABCD, AB=2, /A=120° ,点 P, Q, K分别为线段BC, CD BD上日勺任意一点，则PK+QK勺最小值为17Q/1A. 1 B .邪 C.2 D .褥+1【答案】B。【考点】菱形日勺性质，线段中垂线日勺性质，三角形三边关系，垂直线段日勺性质，矩形日勺判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角日勺三角函数值。【分析】分两步分析：工(1)若点巳Q固定，此时点K日勺位置：如图，作

9、点 P关于BD日勺对二称点Pi,连接P1Q,交BD于点KoA?由线段中垂线上日勺点到线段两端距离相等日勺性质，得P iK = P K i, PiK=PK由三角形两边之和大于第三边日勺性质，得PiK+ QK>PiQ= PiKi+Q Ki= P Ki+Q Ki。.此时日勺Ki就是使PK+QKt小日勺位置。(2)点P, Q变动，根据菱形日勺性质，点 P关于BD日勺对称点Pi在AB上，即不论点P在BC上任一点，点 Pi总在AB上。因此，根据直线外一点到直线日勺所有连线中垂直线段最短日勺性质，得，当PQ!ABX AD=AB=2 .,.p iQ=AQ=AD- cos300=鼻 _。2 二M3综上所述

10、，PK+QK勺最小彳1为无。故选Bo例3. (20i2江苏连云港i2分)已知梯形ABCD AD/ BC AB±BC£8c甘C图1圄2问题i:如图i, P为AB边上日勺一点，以 PD, PC为边作平行四边形口pCA> i, AB= 2, BO 3,7洛BC圄3PCQD请问又角线PQ过点 A 作 AQLDC 于点 Q。 ./A=i20°，.二 / DA Qi=30°。时PiQ最短。DC日勺长能否相等，为什么？问题2:如图2,若P为AB边上一点，以PD, PC为边作平行四边形 PCQD请问又扪I线 PQ 日勺长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果

11、不存在，请说明理由.问题3:若P为AB边上任意一点，延长 PD到E,使DPD,再以PE, PC为边作平行四边形PCQE请探究对角线PQ日勺长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.问题4:如图3,若P为DC边上任意一点，延长 PA到E,使AE= nPA（n为常数），以PE、PB 为边作平行四边形 PBQE请探究对角线PQ日勺长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小 值，如果不存在，请说明理由.【答案】 解：问题1:对角线PQ与DC不可能相等。理由如下： 四边形PCQD1平行四边形，若对角线PQ DCf等，则四边形PCQ提矩形，/DPC= 90° 。. AD=

12、 1, AB= 2,BC= 3, DC= 2 右。设 PB= x,贝U A之2-x,在 RtDPC中，PE2+ PC2=DC2,即 x2+32+(2 x)2+12=8,化简得 x2-2x+3=0,. = (-2)2 -4X1X3=- 8V0, .方程无解。 不存在 PB= x,使/ DPC= 90°。，对角线 PQ与DC不可能相等。问题2:存在。理由如下: 如图2,在平行四边形 PCQDK设又角线 PQ与DC相交于点G则G是DC日勺中点。过点Q作QHL BC交BC日勺延长线于 Ho AD/ BC .1/ ADC= / DCH 即 / ADPF / PDG / DCQ- / QCH P

13、D/ CQ .1 / PDC= / DCQ / AD台 / QCH又PA CQRtAADfP RtAHC(Q( AAS。. AD= HG . AD= 1, BC= 3,BH= 4, 当PQL AB时，PQ日勺长最小，即为 4。问题3:存在。理由如下：邺如图3,设PQ与DC相交于点G, PEE/ CQPA DE dg 二 PD GC-CQ.G是DC上一定点。作QHL BC交BC日勺延长线于H,同理可证/ ADP= Z QCH RtAADfRtAHCQAD _ PD 1CH - CQ - 2. AD= 1, CHh 2。BHh BG+ CHh 3+2=5。当PQL AB时，PQ日勺长最小，即为 5

14、。问题4:如图3,设PQ与AB相交于点G, PEE/ BQAE= nPA,BQ - BG - n+1PA AG 1.G是DC上一定点。作QH/ PE交 CB日勺延长线于 H,过点 C作CO CD交 QH日勺延长线于Ko1. AD/ BC AB± BC. . / D= / QHC / DAPF / PAG= / QBHb / QBG= 90°/ PAG= / QBG ./QBHk /PAD .ADP BHQAD PA 1 '=BH BQ n+1. AD= 1, BHh n+1。CHh BH BC= 3 + n+1 = n + 4。过点D作DMLBC于M,则四边形 AB

15、ND矩形。.BM AD= 1 , DMh AB= 2。. . CMk BC- B隹 31 = 2= DM / DCM 45° 。 .KCH 45° 。.CK= CH?cos45 =当PQL CD时，PQ日勺长最小，最小值为五(n +4)o2【考点】反证法，相似三角形日勺判定和性质，一元二次方程根日勺判别式，全等三角形日勺判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形日勺判定和性质，等腰直角三角形日勺判定和性质。【分析】问题1:四边形PCQ提平行四边形，若对角线 PQ DC相等，则四边形 PCQD1矩形，然后利用矩形日勺性质，设PB= x,可得方程x2+32 + （2 x）2+1 =

16、 8,由判别式< 0,可知此方程无实数根，即对角线PQ DC日勺长不可能相等。问题2:在平行四边形 PCQ邛，设对角线PQ与DC相交于点G,可得G是DC日勺中点， 过点Q作QHLBC交BC日勺延长线于 H,易证得RtAADfPRHHCQ即可求得 BH= 4,则可 得当PQL AB时，PQ勺长最小，即为 4。问题3:设PQ与DC相交于点 G, PEE/ CQ PD= DE可得Dn .,易证得 DG _ PD 1GC - CQ - 2RtAADfPRtHCQ继而求得 BH日勺长，即可求得答案。问题4:作QH/ PE交CB日勺延长线于 H,过点C作CKLCD交QH日勺延长线于 K,易 证得da

17、与AD口4BHQ又由/ DCB= 45°，可得 CKH 是等腰直角三角形，AD _ PA 1 BH - BQ - n+1继而可求得CK日勺值，即可求得答案。例4. （2012四川广元3分） 如图，点A日勺坐标为（-1 , 0）,点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B日勺坐标为【】A. (0, 0) B. (1 ,1 ) C.22运二返）D.返二返）t答案】B.【考点】一次函数的性质，垂线段最恒的性质，等腰直角三角形的判定和性质.【分析】如图，过点盒作ABU DB,垂足为点B。过B作WC±x轴，垂足为C.由垂线段最短可知，当B，与点B重合时AB最短。7点B在直绕 上运

18、动，AOB，是等腰直角三角形.B,CO为等腰直角三角形.丁点 A 的坐标为1，0）, /.OC=CBT-ioA= 1x1=1.222二B，坐标为（一 L -1 I22，当线段AB最短时，点B的坐标为（1, -i ）a故选B.22例5. （2012四川乐山3分）如图，在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB日勺中点，点 E、F分别在AC BC边上运动（点 E不与点A、C重合），且保持AE=CF连接DE DF、EF.在此运动变化日勺过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDW可能为正方形；四边形CEDF勺面积随点E位置日勺改变而发生变化；点C到线段EF日勺最大距离为其

19、中正确结论日勺个数是【A. 1个B. 2个图1【答案】B。【考点】全等三角形日勺判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】连接CD (如图1)。.ABC是等腰直角三角形，DCBWA=45 ,CD=AD=DB. AE=CF . .AD且ACDF( SAS)。ED=DF / CDFW EDA / ADE廿 EDC=90 ,/ EDC4 CDFW EDF=90。DFE是等腰直角三角形。故此结论正确。当E、F分别为AG BC中点时，二由三角形中位线定理，DE平行且等于1 BG2四边形CED啜平行四边形。又.= F分别为AG BC中点，AC=BG，四边形CEDF菱形。又/C=90

20、, 四边形 CEDF正方形。故此结论错误。如图2,分别过点 D,彳DML AG DNL BG于点 M, N,由，知四边形 CMDN1正方形，DM=DN由，知 DFE是等腰直角三角形，. DE=DFRtAADERtACDF( HL)。，由割补法可知四边形 CEDF勺面积等于正方形 CMD画积。四边形CEDF日勺面积不随点E位置日勺改变而发生变化。故此结论错误。由， DEF是等腰直角三角形，. DE=EFo当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值2。此时点C到线段EF日勺最大距离为故此结论正确。故正确日勺有2个：。故选 Bo例6. (2012四川成都4分)如图，长方形纸片 ABCD43, AB

21、=8cm AD=6cm按下列步骤进行裁剪和拼图:第一步：如图，在线段 AD上任意取一点E,沿EB, EC剪下一个三角形纸片 EBC除下部分不再使用）；第二步：如图，沿三角形EBC日勺中位线GH各纸片剪成两部分， 并在线段GH±任意取 一点M线段BC上任意取一点N, ?& MN各梯形纸片GBC曲成两部分;第三步：如图，将 MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转 180° ,使线段 GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180° ,使线段 HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等日勺四边形纸片.（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）则拼成日勺

22、这个四边形纸片日勺周长日勺最小值为cm,最大值为 cm.2°； 12+4J3。图形日勺剪拼，矩形日勺性质，旋转口勺性质，三角形中位线定理。画出第三步剪拼之后日勺四边形MNiN2M日勺示意图，如答图1所示。其周长为图中,NN2=EN+EN=NB+NC=B CMM=MG+GM+MHH=2 （GM+MH =2GH=BC（三角形中位线定理）又M1M/N1N,，四边形 MNN2M是一个平行四边形,2NN2+2MN=2BC+2MNBC=6为定值，四边形日勺周长取决于MNB勺大小。如答图2所示，是剪拼之前日勺完整示意图。过G H点作BC边日勺平行线，分别交 AB CD于P点、Q点，则四边形一个矩形

23、，这个矩形是矩形 ABCD勺一半。.M是线段PQ上日勺任意一点，N是线段BC上日勺任意一点,EfBC、OPBC®.QHE根据垂线段最短，得到MN勺最小值为PQ与BC平行线之间日勺距离,B即 MNt二小值为4;而MN日勺最大值等于矩形对角线日勺长度，即、PB2+BC2 =v42+67 = 2<l3°.四边形 MN1N2M日勺周长=2BC+2MN=12+2MN四边形MNNM周长日勺最小值为12+2X 4=20;最大值为12+2X 2府=12+4原。例7. （2012四川乐山3分）如图，在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB日勺中点，点E、F分别在AC B

24、C边上运动（点E不与点 A C重合），且保持AE=CF连接DE DF、EF.在此运动变化日勺过程中，有下列结论：4 DFE是等腰直角三角形；四边形CEDW可能为正方形;四边形CEDF勺面积随点E位置日勺改变而发生变化;点C到线段EF日勺最大距离为 籥.【考点】全等三角形日勺判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。DFE是等腰直角三角形。故此结论正确。当E、F分别为AC BC中点时，二由三角形中位线定理，DE平行且等于1 BG2四边形CEDF平行四边形。又.= F分别为AC BC中点，AC=BC .四边形CEDF菱形。又/C=90 , 四边形 CEDF正方形。故此结论错误。，由割

25、补法可知四边形 CEDF勺面积等于正方形 CMD画积。四边形CEDF勺面积不随点E位置日勺改变而发生变化。其中正确结论日勺个数是【. AE=CF.AD且ACDF( SAS)。如图2,分别过点 D,彳DML AC DNL BC于点 M, N,A.1个B, 2个C. 3个D, 4个【分析】连接CD （如图1）。.ABC是等腰直角三角形，DCBWA=45 , CD=AD=DBED=DF / CDFW EDA / ADE廿 EDC=90 ,/ EDC4 CDFW EDF=90。由，知四边形 CMDN1正方形，DM=DN由，知 DFE是等腰直角三角形，. DE=DFRtAADERtACDF( HL)。故

26、此结论错误。由， DEF是等腰直角三角形，. DE= J2EF。当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值2豆。此时点C到线段EF日勺最大距离为死。故此结论正确。故正确日勺有2个：。故选 Bo例 8. （2012 浙江宁波 3 分）如图， ABC 中，/ BAC=60 , / ABC=45 , AB=2垃,D是线段BC上日勺一个动点，以 AD为直径画。0分别交AB, AC于E, F,连接EF,则线段EF长 度日勺最小值为.【考点】垂线段日勺性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊 角日勺三角函数值。【分析】由垂线段日勺性质可知，当 AD为4ABC日勺边BC上日勺高时，

27、直径 AD最短，此时线段EF=2EH=20E?si出EOH=20E?sin60 ,当半径OE最短时，EF最短。如图，连接 OE OF过。点作OHL EF,垂足为H。 .在 RtADB中，Z ABC=45 , AB=2j2 , . AD=BD=2即此时圆日勺直径为 2。由圆周角定理可知/ EOH= 1 /EOFW BAC=60 , 2 在 RtEOH中，EH=OE?siX EOH=1 百 由垂径定理可知 EF=2EH=;。例9.(2012四川自贡12分)如图所示，在菱形 ABCD43, AB=4, Z BAD=120 , AEF为正三角形，点E、F分别在菱形日勺边BCCD上滑动，且E、F不与B.

28、C.D重合.(1)证明不论 E、F在BC. CD上如何滑动，总有 BE=CF(2)当点E F在BC. CD上滑动时，分别探讨四边形AEC林口 CEF日勺面积是否发生变化?如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.D【答案】 解：(1)证明：如图，连接 AC四边形 ABCM菱形，/ BAD=120 ,/ BAE吆 EAC=60 , / FAC吆 EAC=60 ,. / BAD=120 , . ABF=60。D3面积会最小,.ABC和4ACD为等边三角形。./ACF=60 , AC=AB . . / ABE至 AFC在 ABE 和 4ACF 中，/BAE至 FAC AB=AC / A

29、BE至 AFC. .AB白ACIZ( ASA。1- BE=CF(2)四边形AECF日勺面积不变， CEF日勺面积发生变化。理由如下:由(1)得AB9 4ACF 则 &abe=Saaca四边形 AECF=SAEc+SzACF=SaAEc+SABE=SaABC,是7E值。作AHLBC于H点，则S 四边形 AECF =S&BC =12由“垂线段最短”可知:BH=2122BC AH BC AB - BH =4 3 2B当正三角形 AEF日勺边AE与BC垂直时，边AE最短.故4AEF日勺面积会随着 AE日勺变化而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF日勺又 Sacef=S 四边形 ae

30、cf Saaef, 则此时 CEF日勺面积就会最大.CEF=S 四边形 AECL S/AEF一I _222 o=4 3 - 1 2 32 3 - 3 )CEF日勺面积日勺最大值是【考点】菱形日勺性质，等边三角形日勺判定和性质，全等三角形日勺判定和性质，勾股定理，垂 直线段日勺性质。【分析】(1)先求证AB=AC进而求证ABC 4ACD为等边三角形， 得/ACF=60° , AC=AB 从而求证AB* AACf即可求得 BE=CF(2)由AB*4ACF 可得 SaabefSaacf7,故根据 S 四边形 ae(F=Saec+Siacf=Saae(+SaabE=SABC 即可得四边形 A

31、ECF日勺面积是定值。当正三角形 AEF日勺边AE与BC垂直时，边AE最短.4AEF 日勺面积会随着 AE日勺变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF日勺面积会最小，根据Sacef=S 四边形AECF Saaef,则 CEF日勺面积就会最大。例10. (2012浙江义乌10分)在锐角4ABC中，AB=4, BC=5 / ACB=45 ,将 ABC绕点B 按逆时针方向旋转，得到1BC.(1)如图1,当点G在线段CA日勺延长线上时，求/ CCA日勺度数；(2)如图2,连接AA, CC.若4ABA日勺面积为4,求4CBC日勺面积；(3)如图3,点E为线段AB中点，点P是线段AC上日勺动点，在 AB

32、C绕点B按逆时针方向 旋转过程中，点 P日勺对应点是点P1,求线段EP1长度日勺最大值与最小值.【答案】 解：(1)二.由旋转日勺性质可得：ZA 1GB=ZACB=45 , BC=BC,，/CCB=/ C 1CB=45 。 /CCA产/CGB+/ AQB=45° +45° =90°。(2)二.由旋转日勺性质可得： AB(CAA 1BC, .BA=BA, BC=B& /ABCW A 1BC。, /ABC廿 ABC1=ZA1BC+ZABCo / ABA=/CBC。BA BA 1BC - BC1 .ABAsCBC。SABAiS/CBCi.2.2。AB =4 J6

33、CB 525ABAi=4) S ACBC=25°4(3)过点B作BDLAG D为垂足,.ABC为锐角三角形，点D在线段AC上。在 RtBCD中，BD=BC： sin45派。如图1,当P在AC上运动至垂足点 D, ABC绕点B旋转，使点P日勺对应点Pi在线段AB上时，EP最小。最小值为：EP=BR BE=BD- BE=- 2。5 22如图2,当P在AC上运动至点 C, 4ABC绕点B旋转，使点P日勺对应点Pi在线段AB日勺延长线上时，EP最大。最大值为：EP=BC+BE=5+2=7【考点】旋转日勺性质，等腰三角形日勺性质，全等三角形日勺判定和性质，相似三角形日勺判定和性质。【分析】(i

34、)由旋转日勺性质可得：ZA iGB=ZACB=45 , BC=BC,又由等腰三角形日勺性质，即可求得/ CCiAi日勺度数。CAC(P'(2)由旋转日勺性质可得： AB(CAA iBC,易证得 ABAsCBC,利用相图2似三角形日勺面积比等于相似比日勺平方，即可求得 CBC i日勺面积。(3)由当P在AC上运动至垂足点 D, 4ABC绕点B旋转，使点P日勺对应点Pi在线段AB上时，EP最小；当 P在AC上运动至点 C, 4ABC绕点B旋转，使点 P日勺对应点Pi在线段AB日勺延长线上时，EP最大，即可求得线段 EP长度日勺最大值与最小值。例ii. (20i2福建南平i4分)如图，在 A

35、BC中，点 口 E分别在边 BC AC上，连接 AQDE 且/ i=ZB=Z C.(i)由题设条件，请写出三个正确结论：(要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加日勺字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明)答：结论一:(2)若/ B=45 , BC=2当点D在BC上运动时(点 D不与B、C重合)，求CE日勺最大值;若 ADE是等腰三角形，求此时 BD日勺长.（注意：在第（2）日勺求解过程中，若有运用（1）中得出日勺结论，须加以证明）【答案】 解：(1) AB=AC /AEDW ADC 4AD曰 AACD(2)./B=/ C, /B=45 , .ACB为等腰直角三角形。22AC = BC

36、=2 "；2. /1=/C, /DAEW CAD .AD曰 AACD.AD AC=AE AD,AE_ 2_ 2AD2 AD2AC 2222=AD2点D与B重合，不合题意舍去。. AD曰AACID，DA AC=DE DC图122 °2图:当AD最小时，AE最小，此时 ADL BC AD=1 BC=1o，AE日勺最小值为名 石。，CE日勺最大值=2 12 = 2当 AD=AE寸，.1=/AED=45 , . . / DAE=90 。当 EA=ED寸，如图 1,，/EADW 1=45° 。 AD平分/BAC，AD 垂直平分 BG . . BD=1当DA=DEE寸，如图2

37、, . DC=CA=Q。 BD=BC- DC=2-6。综上所述，当 ADE是等腰三角形时，BD日勺长日勺长为相似三角形日勺判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形日勺判定和性质。【分析】（1）由/B=/ C,根据等腰三角形日勺性质可得AB=AC由/1=/C, /AED= EDC+C 得到/ AEDW ADC又由/ DAEW CAD根据相似三角形日勺判定可得到4 AD曰AACD（2 ）由/B=/C , /B=45 可得 AACB为等腰直角三角形，则22由/1=/C, /DAEW CAD,根据相似三角形日勺判定可得AC =对 BC =对2 =、，222 AD曰AACID 则有 AD AC=AE A

38、D,即 A-2 -2- ，当 ADLBC AD最AE 二AD =AD = 2AD2AC 22小，此时AE最小，从而由 CE=AC- AE得到CE日勺最大值。分当AD=AE , EA=ED DA=DEE种情况讨论即可。练习题：1. （2011浙江衢州3分）如图，OP平分/MONPAL ON于点 A 点Q是射线 OM上日勺一个动点，若PA=2,则PQ勺最小值为【】0 A NA、1B 2 C 、3D 42. （2011 四川南充 8 分）如图，等腰梯形 ABCD, AD/ BC AD=AB=CD=2 / C=60 , M是 BC日勺中点.（1）求证： MDC是等边三角形；（2）将AMD微点M旋转，当

39、 MD（即MD ）与 AB交于一点E, MC（即MC ）同时与 AD交 于一点F时，点E, F和点A构成4AEF试探究 AEF日勺周长是否存在最小值.如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出 AEF周长日勺最小值.3. （2011浙江台州4分）如图，00日勺半径为2,点O到直线l日勺距离为3,点P是直线l上日勺一个动点，PQ切。0于点Q,则PQ日勺最小值为【A A .134. （2011 河南省 3 分）如图，在四边形 ABCN, /A=90° , AD=4 连接 BD, BDLCD /ADBW C.若P是BC边上一动点，则DP长日勺最小值为AB=10cm AC: BC=4: 3,

40、点 P从点A出发沿AB方向向点点A运动，速度为 2cm/s ,(1)求AC BC日勺长；(2)设点P日勺运动时间为B运动，速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B-C-A方向向 当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.x (秒)，4PBQ日勺面积为y (cm2),当4PBQ存在时，求y与x日勺函数关系式，并写出自变量 x日勺取值范围;(3)当点Q在CA上运动，使PQLAB时，以点 R P、Q为定点日勺三角形与 ABC是否相似,请说明理由;(4)当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点 M使BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由.三、应用轴对称日勺性质求最值：典型

41、例题：例1.(2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为12cn底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm日勺点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对日勺点 A处，则蚂蚁到达蜂蜜日勺最短距离为cm.15。【考点】圆柱日勺展开，矩形日勺性质，轴对称日勺性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12日勺矩形，作点A关于杯上沿 MN勺对称点B,连接BC交MN点P,连接BM过点C作AB日勺垂线交剖开线 MAT点D由轴对称日勺性质和三角形三边关系知AP+ PC为蚂蚁到达蜂蜜日勺最短距离，且 AP=BP由已知和矩形日勺性

42、质，得 DC=9 BD=12在RtBCD中，由勾股定理得2222BC = DC BD = 912 =15AP+ PC=BPF PC=BC=15即蚂蚁到达蜂蜜日勺最短距离为15cm。例 2. （2012 甘肃兰州 4 分）如图，四边形 ABCD43, / BAD= 120° , / B= Z D= 90° ,在BC CD上分别找一点 M N,使AAMN周长最小时，则/ AM冲/ ANM日勺度数为【】A. 130° B , 120° C , 110° D , 100°【答案】B。【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性

43、质，等腰三角形日勺性质。【分析】根据要使 AMN日勺周长最小，即利用点日勺对称，让三角形日勺三边在同一直线上，作出A关于BC和ED日勺对称点A' , A",即可得出/ AA' M+ / A" = / HAA =60° ,进而得出/AMN_ /ANM= 2（/AA' M+ /A"）即可得出答案：如图，作A关于BC和ED日勺对称点A' , A，连接A A，交BC于M交CD N,则A A即为 AMN日勺周长最小值。作 DA延长线AHH . /BAD= 120° ,，/HAA =60° 。Z AA M+ /A&

44、quot; = / HAA =60° 。 Z MA A= / MAA , / NAD= / A",且/ MA A+ / MAA = / AMN/NADF /A" - = Z ANIM / AMN+ / ANM= / MA A+ / MAA + / NAD+ / A" = 2( / AA' M + / A")=2X60° =120° 。故选Bo例3. （2012福建莆田4分）点A、B均在由面积为1日勺相同小矩形组成日勺网格日勺格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若 P是x轴上使得日勺值最大日勺点，Q是y轴上使得QA十Q

45、B日勺PA PB值最小日勺点，贝”=人OP OQ -,Q求出点Q与y轴日勺交点坐标即可得出结论:【答案】5。【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线 上点日勺坐标与方程日勺关系。【分析】 连接AB并延长交x轴于点P,作A点关于y轴日勺对称点A'连接A' B交y轴于点连接AB并延长交x轴于点P,由三角形日勺三边关系可知，点P即为x轴上使得|PAPB|日勺值最大日勺点。点B是正方形 ADPC勺中点, .P (3, 0)即 OP=3作A点关于y轴日勺对称点A连接A' B交y轴于点Q则A' B即为QA+QB勺最小值。例4. A (

46、-1,2), B (2, 1),设过A' B日勺直线为：y=kx+b ,1 =2k b .OP?OQ=3 5=5。31。. . Q (0, 5)，即 oq=5。-3335（2012四川攀枝花4分）如图，正方形 ABCM, AB=4, E是BC日勺中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB日勺最小值为 口cAS【答案】【考点】【分析】DCEABA 作 ACL MN2x5°轴对称（最短路线问题），正方形日勺性质，勾股定理。连接DE,交BD于点P,连接BD 点B与点D关于AC对称, DE日勺长即为PE+PB勺最小值。,. AB=4 E是BC日勺中点，CE=2在 RUCDE中，口&

47、#163;32+。£2=*42+7=25。例5. （2012广西贵港2分）如图，MNOO日勺直径，A B是O上日勺两点，过于点C, 过B作BD£MN于点D, P为DC上日勺任意一点，若 MN= 20, AC= 8, BD- 6,则PM PB日勺最小值是¥【答案】142。【考点】轴对称(最短路线问题)，勾股定理，垂径定理。【分析】-MIN 20, .1.00日勺半径=10。连接OA OB在 RtOBD中，OB= 10, BD= 6, O氏oBBD = '102 62 = 8。同理，在 RtAOC中，OA= 10, AC= 8,.OC= OAAC = '

48、;102 82 = 6。.CD= 8+6= 14。作点B关于MN勺对称点B',连接AB',则AB'即为PA+ PB日勺最小值，B'D=BD= 6,过点 B'作AC日勺垂线，交AC日勺延长线于点E。在 RtAB' E 中， AE= AC+ CE= 8 + 6= 14, B' E= CD= 14, .AP = -AE2+B，E2 =<142+ 142 = 14叵例6.(2012湖北十堰6分)阅读材料：例：说明代数式p2-;2一日勺几何意义，并求它日勺最小值.x2 1 (x -3)2 + 4解：+。2, m2 . .2 +"-2

49、 ,如图，建立平面直角坐标系，x 1 (x -3)4 = (x -0)1, (x -3)2点P(x,0)是x轴上一点，则/2T可以看成点 P与点a(0,1)日勺距离，:22.(x -0)1 (x -3)2可以看成点P与点B (3, 2)日勺距离，所以原代数式日勺值可以看成线段PA与PB长度之和，它日勺最小值就是PA+ PB日勺最小值.设点A关于x轴日勺对称点为 A ,则PA=PA ,因此，求 PA+ PB日勺最小值，只需求 PA + PB日勺最小值，而点 A、B间日勺直线段距离最短，所以 PA' +PB日勺最小值为线段 A' B日勺长度.为此，构造直角三角形 A CB因为A C

50、=3 CB=3所以A B=3J2,即原式日勺最小值根据以上阅读材料，解答下列问题:(1)代数式(x -1)2 1 (x -2)2 9日勺值可以看成平面直角坐标系中点P (x, 0)与点A (1 , 1)、点 B日勺距离之和.(填写点B日勺坐标)(2)代数式 2 21 2日勺最小值为x 49 x -12x 37【答案】解：(1) (2, 3)。(2) 10。【考点】坐标与图形性质，轴对称(最短路线问题)。【分析】(1)二.原式化为 ；2-2 /22日勺形式,P (x,(x -1)2 12(x -2)2 32，代数式 22日勺值可以看成平面直角坐标系中点(x -1)2 1 (x -2)2 90)与

51、点A(1 , 1)、点B (2, 3)日勺距离之和。(2) . ,原式化为"2c ,q2 工2日勺形式，(x -0) 7 (x -6)1，所求代数式日勺值可以看成平面直角坐标系中点P (x, 0)与点A (0, 7)、点 B (6, 1)日勺距离之和。如图所示：设点 A关于x轴日勺对称点为 A',则PA=PA ,求PA+ PB日勺最小值，只需求 PA' +PB日勺最小值，而点 A'、B 间日勺直线段距离最短。.PA' + PB日勺最小值为线段 A' B日勺长度。. A (0, 7), B (6, 1), .A' (0, 7), A

52、9; C=6, BC=8A B = AC2 BC2 = 62 82 =10例7.(2012四川凉山8分)在学习轴对称日勺时候，老师让同学们思考课本中日勺探究题。如图（1）,要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向 A、B两镇供气.泵站修在管道日勺什么地方，可使所用日勺输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?(1)聪明日勺小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题日勺正确办法.他把管道l看成一条直线（图（2）,问题就转化为，要在直线l上找一点P,使AP与BP日勺和最小.他日勺做法是这样日勺: 作点B关于直线l日勺对称点B'.连接AB

53、'交直线l于点P,则点P为所求.请你参考小华日勺做法解决下列问题.如图在 ABC中，点D、E分别是AR AC边日勺中点，BC=66BC边上日勺高为4,请你在BC边上确定一点 巳 使4PDE得周长最小.（1）在图中作出点 P （保留作图痕迹，不写作法）.（2）请直接写出 PDE周长日勺最小值： A【答案】解：（1）作D点关于BC日勺对称点D',连接D' E,与BC交于点巳P点即为所求。D(8.【考点】轴对称(最短路线问题)，三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】(1)根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE勺最小值即可，作D点关于BC勺对称 点D',连接D' E,与BC交于点P, P点即为所求。(2)利用中位线性质以及勾股定理得出D' E日勺值，即可得出答案： 点D E分别是AB，AC边日勺中点，DE为 ABC中位线