优秀建模论文

1、2010年第七届苏北数学建模联赛承 诺 书我们仔细阅读了第六届苏北数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为： 1792 参赛组别（本科或专科）：本科参赛队员 (签名) ：

2、队员1：强梦婷队员2：薛春明队员3：丁言露获奖证书邮寄地址：中国矿业大学计算机学院计08-5班2010年第七届苏北数学建模联赛编 号 专 用 页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：1792竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2010年第七届苏北数学建模联赛题 目 不确定环境下供应链的生产与订购决策摘要本文是一个在不确定环境下供应链的生产与订购的最优规划问题，供应链的双方生产商和销售商均面对各自不确定的市场来确定自己的最优运作策略，制造商追求目标利润最大化、供应商追求最高收益的问题。本文以概率论与数理统计为基础，建立了以期望值作为

3、最优化的衡量参数的模型。对问题1，在生产商的商品生产量不确定条件下，问题转化为销售商根据生产商的生产量的波动范围和商品市场需求量，利用销售商的利润的期望达到最大值来确定自己的最优订购量，然后生产商根据销售商的订购量制定自己的最优计划生产量。对问题2，问题增加了商品市场需求量不确定条件，销售商不仅要考虑生产商的生产量的波动情况还要考虑市场需求量的波动以确定自己的最有订购量，而生产商的最优商品计划生产量还是根据销售商的订购量确定。对问题3，商品市场需求量确定的条件下，两级供应链相当于销售商对所订购产品进行二次加工，既是生产商又是销售商，要兼顾所有外界不确定因素，并且根据自己的商品生产量和一级生产商

4、的商品生产量波动来确定自己的最优订购量。最后，在问题3的基础上增加了商品市场需求量也是不确定的条件，在三种条件同时不确定的环境下，利用它们概率的分布情况且都相互独立从而找到二级生产商与一级生产商及商品市场需求量的联系，最终建立有效的模型求解二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优商品计划生产量。关键字：供应链，不确定性，均匀分布，期望1.问题的重述供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要

5、的理论和现实意义。（1）考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。若假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动。请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量：单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位

6、商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为40，单位商品销售价格为60，商品市场需求量为400。商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q. （2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场需求量是一个随机变量，请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量：单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商

7、的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为40，单位商品销售价格为60。商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为0.8,1.2，即实际市场需求量的区间为320,480。商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q。（3）实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性，如石油、煤炭、钢铁等供应链中，一级生产商生产

8、原产品(原油、原煤、铁矿石)，二级生产商(炼油厂、洗煤厂、钢铁厂)利用原材料生产成品；又如，在副食品生产中，农民种植农产品，食品生产商利用农产品生产副食品。以上供应链中，一级生产商生产原产品（或原材料），二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原材料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。若假设产成品的市场需求量是确定的，请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量：单位原产

9、品生产成本为20，单位原产品库存成本为5，单位原产品缺货成本（即由于一级生产商的供应量不足二级生产商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位产成品生产加工成本为10，单位产成品库存成本为7，单位产成品缺货成本（即由于二级生产商的供应量不足市场的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为30，二级生产商投入单位原产品产出产成品数量为0.7（比如煤炭供应链中，洗煤厂入洗1吨原煤，产出0.7吨精煤），原产品价格为40，产成品价格为95，产成品市场需求量为280。原产品生产量的波动区间为0.85,1.15，产成品生产量的波动区间为0.9,1.1。在两级生产不确定的供应链中，如

10、果产成品的市场需求量也是一个随机变量，如何改进你所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量？2.模型的假设（1）生产商和销售商之间运输成本可以忽略；（2）整个供应链中不用考虑时间因素；（3）生产商的生产能力和销售商的销售能力都无影响；（4）一级生产商的原材料不受限制；（5）整个供应链中的资金没有限制，即生产商和销售商的资金都是充足的；（6）供应链成员之间的合作的信息不对称、信息扭曲、消费者需求、政治、经济、法律等因素的变化而产生许多的不确定因素都可以忽略；（7）供应链成员之间的信息是共享的，即销售商知道生产商的生产波动；（8）假设物流是通畅的；（9）不确定量均服从均

11、匀分布，且相互之间独立。3.模型的符号说明符号意义生产商的计划生产量生产商的实际生产量原产品单位产品生产成本单位产品库存成本单位产品批发缺货成本单位产品或产成品销售缺货成本单位产成品加工成本单位产成品库存成本单位产品批发价格生产商或二级生产商稀单位产品销售价格商品市场需求量商品市场实际需求量销售商订购量生产商实际支付销售商或二级生产商的数量销售商的利润生产商或一级生产商的利润生产商或一级生产商商品生产量的波动系数商品市场需求量的波动系数二级生产商产成品生产量的波动系数当二级生产商实际收到的产品为时二级生产商的利润生产商或销售商的毛利润生产商或销售商批发总成本生产商或销售商库存总成本生产商或销售

12、商缺货成本二级销售商产成品库存成本4.对问题的分析供应链双方生产商和销售商均面对各自不确定的市场来确定自己的最优运作策略，生产商追求目标利润最大化、销售商追求最高收益的问题，我们用利润的期望作为衡量产品的订购量或商品的计划生产量是否为最优解的标准。在问题1中，商品市场需求是确定的，生产商的商品生产量有波动，销售商根据生产商的生产量的波动范围，要确定自己的最优计划订购量，因为生产商的实际生产量与计划生产量之间是有一定波动的，生产商的交货量会有两种情况，满足销售商的订购量或者交货量不足销售商的订购量，销售商为了满足市场需求，他的订购量一定大于市场的需求量，因为生产商的交付量不大于订购量，此时若订购

13、量小于市场需求，始终不能满足市场需求。生产商根据销售商的订购量在追求目标利润最大化基础上确定自己的最优计划生产量。在问题2中，市场需求是有波动的，生产商的商品生产量有波动，销售商在问题1的基础上，还要综合考虑市场的变动确定自己的市场订购量，而生产商的实际生产量与计划生产量有波动，这时生产商的交货量就会有3中情况,满足销售商的订购量,在不满足销售商的订购量的情况下，他的交货量大于市厂需求量和他的交货量小于市场需求量。生产商还是根据销售商的订购量在追求目标利润最大化基础上确定自己的最优计划生产量。在问题3中，在问题2的基础上商品市场需求确定，一级生产商和二级生产商对各自产品生产量均存在不确定性，我

14、们将其认为它们都服从均匀分布相互之间独立的，我们根据问题1中所求得的一级生产商的商品计划生产量和二级生产商订购量的关系，这大大帮助我们找到表变量之间的关系，从而使得问题迎刃而解。对问题4，在问题3的基础上增加了市场需求量的不确定性，更加复杂并且与实际结合得更密切，我们在前三题的基础上找到了它们之间关系，利用期望这个重要的衡量标准从而建立了问题的模型。5.模型的建立与求解5.1针对问题1供应链由一个销售商和一个生产商构成，供应商生产的产品作为销售商的生产原料，在供应链的运作过程中，销售商在追求目标利润最大化条件下决定其各阶段向生产商订购生产原料的数量，生产商同样以追求利润最大化为目标决定各阶段向

15、制造商交付的数量，供应链成员之间的关系如图1所示，原材料是没有限制的，市场需求的固定的。生产商销售商市场需求图1供应链成员之间的关系模型的建立首先考虑生产商在销售商订购量确定的条件下追求目标利润最大化即为最优计划产量的求解，此时生产商的利润函数：生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动，实际生产量看作均匀分布，即概率密度为：因此生产商利润的期望值为：而销售商在市场需求量确定以及生产商计划产量变动的条件下追求利润最大化，此时销售商的利润函数为：由于销售商利润函数也是和生产商的计划生产量相关，所以其期望值为：模型的求解当实际生产量大于销

16、售商订购量时，生产商实际交付量等于订购量；当实际生产量小于销售商订购量时生产商实际交付量就等于生产商实际生产量。即根据问题（1）的条件我们可以得到生产商的利润函数和销售商的利润函数：为方便模型的求解，简化步骤，我们令对生产商来说的销售商的订购量是确定的，因此对订购量为时，生产商追求的目标利润最大化的计划生产量即为最优计划产量；又因为销售商订购产品时，考虑到生产厂商的实际生产量有一定的波动，并且生产商交付量必定不会大于订购量，为了满足市场需求量，减少销售商的缺货成本销售场商订购的产品一定会大于市场需求量，因此将不用考虑销售商订购量小于市场需求量的情况，即是不可能发生的。生产商利润的期望：在上式中

17、，为了确定期望的最大值，我们对上式求一阶导因为这是个实际问题，所以我们可以确定当，且时, 此时生产商利润的期望取得极大值,即最大值：解得: 或（不符合实际，舍去）令因此销售商在市场需求确定的条件下追求利润最大化的最优订购量求解过程如下:销售商利润的期望：又因为，所以对中的销售商的订购量求导得：同理可知当时, 达到最大,即得实例求解根据题目给出的数据可知： 将以上数据代入公式得因此销售商最优订购量为：生产商的最优计划产量为：5.2针对问题2在问题1的基础上，供应链中的一个销售商和一个生产商不变，供应链成员之间的关系如图2所示，对生产商来说原材料是无限的，但是市场需求量的波动的。生产商销售商实际市

18、场需求原材料市场图2供应链成员之间的关系模型的建立对于生产商的最优计划产量的模型与问题1的模型相同，首先考虑生产商在销售商订购量确定的条件下追求目标利润最大化即为最优计划产量的求解，此时生产商的利润函数：生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动，实际生产量看作均匀分布，即概率密度为：因此生产商利润的期望值为：而销售商在市场需求是波动的，我们同样将其看成均匀分布，即其概率密度为：销售商在市场需求变动以及生产商计划产量变动的条件下追求利润最大化，此时销售商的利润函数为：由于销售商利润函数同时与生产商的计划生产量和市场需求量相关，所以其期

19、望值为：在期望值取得最大值时即可确定销售商的订购量和生产商的计划生产量。模型的求解根据问题2给出的已知量，我们可知：同样，我们令销售商利润的期望：根据模型1的求解我们知道： （其中）在上式中，为了确定期望的最大值，我们对上式求一阶导：因为这是个实际问题，所以我们可以确定当时, 此时生产商利润的期望取得极大值,即最大值。销售商最优订购量为：生产商的最优计划生产量为：（其中）实例求解根据题目给出的数据可知： 将以上数据代入公式得因此销售商最优订购量为：生产商的最优计划产量为：5.3针对问题3在问题1和问题2的基础上，供应链中有一个一级生产商和一个二级生产商，他们的实际产量均是波动的，供应链成员之间

20、的关系如图3所示，对一级生产商来说原材料是无限的，但是实际商品产量是波动的，对二级生产商原材料市场（即一级生产商的交付量）是不确定的并且其产成品产量是波动的，但是市场需求量不变的。一级生产商二级生产商市场需求量原材料市场图3供应链成员之间的关系5.3.1模型的建立对于一级生产商的最优计划产量的模型与问题1的模型相同，首先考虑生产商在销售商订购量确定的条件下追求目标利润最大化即为最优计划产量的求解，此时生产商的利润函数：一级生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动，实际生产量看作均匀分布，即概率密度为：因此生产商利润的期望值为：二级生

21、产商生产商品量也是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动，实际生产量看作均匀分布，即其概率密度为：而为使二级生产商在市场需求量确定和自己的产成品的计划产量变动以及一级生产商的交付量不确定的条件下利润最大，此时销售商的利润函数为：因此二级生产商总利润的期望值为：在上式中只要找出使二级生产商总利润的期望值最大时的二级生产商订购量就是最优订购量，同时可以确定以及厂商的最优计划产量。5.3.2模型的求解对于二级生产商的利润函数具体可以写成：我们令模型1中我们已经解得： （其中）因为对二级生产商来说，当一级生产商交付量为时，那么二级生产商需要制定产成品的计划

22、生产量使得利润的期望达到最大；其利润的期望为：1、当时，上式中对求一阶导，且当时，利润的期望取得最大值，此时分析上式容易知道，二级生产商的最优产成品计划生产量与一级生产商交付量为没有关系，且为一定值。2、当时，通过计算得知，是单调递增的，因此二级生产商的最优产成品计划生产量为：对二级生产商总利润的期望值：当时，即，此时在中对求导， 时，取得最大值，对应；2、当时，即，此时 在中对求导， 时，取得最大值,对应。比较，当，而对应的即为二级生产商的最优订购量；利用可计算出一级生产商的最优计划生产量。5.3.3实例求解根据题目给出的数据可知： 将以上数据代入公式得易计算出，所以,因此销售商最优订购量为：生产商的最优计划产量为：5.4模型的建立本问题只是在问题3的基础上增加了市场需求量的不确定性波动，因此此问题里共有三个不确定性因素，对于它们的分布均近似地认为服从均匀分布，也就是：概率密度分别为：为使二级生产商在市场需求量不确定和自己的产成品的计划产量变动以及一级生产商的产品计划生产量不确定的条件下利润最大，此时销售商的利润函数为：因此二级生产商总利润的期望值为：在上式中只要找出使二级生产商总利润的期望值最大时的二级生产商订购量就是最优