数学美五分类讨论思想在解题中的应用 (2)

1、数学欣赏五分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行

2、讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。二、例题分析（一）对变量或参数的分类讨论.已知集合，若，则的值是.若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是.解关于的不等式分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。

3、 解： 综上所述，得原不等式的解集为；。.已知，求函数在区间上的最大值5.设,二次函数,若的解集为,求实数的取值范围.（二）对题设给出条件的分类讨论1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为 . 已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 . 已知数列的前项和为，求数列的前项和（三）解题过程中的分类讨论.已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。.已知数列的前项和满足，且，求数列的通项公式.已知是实数，函数（）求函数的单调区间；（）设为在区间上的最小值；写出的表达式；求的取值范围，使得（四）简化和避免分类讨论的方法直接回避反证法，求补法，消参法；

4、变更主元分离参数后变参置换或换元；合理运算用函数的奇偶性，变量的对称变换及公式的合理选用；数形结合用图象的直观性和对称特点；. 分析： 因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。解： 这与三角形的内角和为180°相矛盾。 三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论

5、，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：（1）“方程有实数解”转化为时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为0；（2）等比数列的前项和公式中有个别情形：时，公式不再成立，而是Sn=na1。 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。四、强化练习： 1. 若的大小关系为 . 2. 若

6、，且，则实数中的取值范围是 . 3. 设A= 4. 设的值为 0或7 5. 一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为 . 6. 若 . 1 7. 已知圆锥的母线为l，轴截面顶角为，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为 . 当时，最大截面就是轴截面，其面积为； 当时，最大截面是两母线夹角为的截面，其面积为 可见，最大截面积为， 8. 函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为 . 9. 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是_。 10. 若，则a的取值范围为_。 11. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_。 （提示：分截

7、距相等均不为0与截距相等均为0两种情形） 1. 不等式的解集为_。若，则解集为 若，则解集为 （提示：设 解之得 对a分类：时， ） 13. 已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在x轴上，可设它们方程分别为 ，依题意 （2）若焦点在y轴上，则可设椭圆方程为 双曲线方程为，依题意有 14. 设a>0且，试求使方程有解的k的取值范围。 解：原方程可化为 令 则对原方程的解的研究，可转化为对函数图象的交点的研究 下图画出了的图象，由图象可看出 （1）