2019-2020学年度北师大版八年级上册一次函数与等腰三角形存在性专题(-解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2019-2020一次函数与等腰三角形存在性专题（含解析）一、单选题1一次函数y=43x+4分别交x轴、y轴于A，B两点，在y轴上取一点C，使ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有几个（ ）A.5B.4C.3D.22如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点 P，使ABP为等腰三角形， 则点P的个数为（ ）A.2B.4C.6D.83如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线yx上若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A6B5C4D34在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B(4，0)，

2、若点C在一次函数的图象上，且ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题5如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点在轴上，要使是以AB为腰的等腰三角形，那么点的坐标是_6如图，已知直线与坐标轴相交于、两点，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点的运动时间是_秒时，是等腰三角形三、解答题7已知正比例函数ykx经过点A，点A在第四象限，过点A作AHx轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且AOH的面积为3（1）求正比例函数的表达式；（2）在x轴上能否找到一点M，使AOM是等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由8如图，在平

3、面直角坐标系 中，直线 与 轴，轴分别交于点 ，点 。（1）求点和点的坐标；（2）若点 在 轴上，且 求点的坐标。（3）在轴是否存在点 ，使三角形 是等腰三角形，若存在。请求出点坐标，若不存在，请说明理由。9如图，直线l1：分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直线l2：经过点C，且与直线l1交于点D，与y轴交于点E，连结AE(1)当点C的坐标为时，求直线l2的函数表达式；求证：AE平分；(2)问：是否存在点C，使是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由10已知，如图直线l1的解析式为y=x+1，直线的解析式为；这两个图象交于y轴上一点C，直

4、线与x轴的交点B（2，0）（1）求a、b的值；（2）动点P从点B出发沿x轴以每秒1个单位长的速度向左移动，设移动时间为t秒，当PAC为等腰三角形时，直接写出t的值11如图，在平面直角坐标系中，OAB是直角三角形，点A在y轴上，点B在x轴上，AC分BAO交X轴于点C，且A点坐标为（0，6），B点坐标为（8，0）.（1）求AB的解析式（2）求点C坐标（3）在直线AC上是否存在点M，使BCM为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。12如图，在直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.（1）直接写出A点的坐标_；（2）当x_时，y4； （3）过B点作直线BP与x轴相

5、交于P，若OP=2OA时，求ABP的面积； (4) 在y轴上是否存在E点，使得ABE为等腰三角形,若存在，直接写出满足条件的E点坐标. 13若直线 y = mx + 8 和 y = nx + 3 都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于 A 、C（1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ；（2）若ABO=2CBO，求直线 AB 和 CB 的解析式；（3）在（2）的条件下若另一条直线过点 B，且交 y 轴于 E，若ABE 为等腰三角形，写点 E 的坐标（只写结果）14如图，已知直线l1：与x轴交于点B，直线与y轴交于点C，且它们都经过点D（1，） （1）求C、B两点的坐标；（2）设点P（t,

6、0）,且t>3,如果BDP和CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在第四象限内，以CP为腰作等腰直角三角形CPQ，请直接写出点Q的坐标.15综合与探究：如图，直线y=kx2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB=1.(1)求k的值；(2)若点Ax,y是直线y=kx2上的一个动点，当点A仅在第一象限内运动时，试写出AOB的面积S与x的函数关系式；(3)探索：在(2)条件下，当点A运动到什么位置时，AOB的面积是1；在成立的情况下，在x轴上是否存在一点P，使POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.16如图，直线()交轴于点，交轴于点.

7、(1)求点的坐标(用含的代数式表示)(2)若点是直线上的任意一点，且点与点距离的最小值为4，求该直线表达式；(3)在(2)的基础上，若点在第一象限，且为等腰直角三角形，求点的坐标.专心-专注-专业参考答案1B【解析】【分析】首先根据题意，求得A与B的坐标，然后利用勾股定理求得AB的长，再分别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解，即可求得答案【详解】解：当x=0时，y=4，当y=0时，x=3，A(3,0)，B(0,4)，AB=OA2+OB2=5，当AB=BC时，OA=OC，C1(3,0)；当AB=AC时，C2(8,0)，C3(2,0)，当AC=BC时，设C的坐标是(a,0)，A(3,0

8、)，B(0,4)，AC=BC，由勾股定理得：(a+3)2=a2+42，解得：a=76，C的坐标是(76，0)，这样的点C最多有4个故选：B【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、一次函数的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用2C【解析】【分析】根据题意可以划出相应的图形，然后写出各种情况下的等腰三角形，即可解答本题【详解】如图所示，当BA=BP1时，ABP1是等腰三角形，当BA=BP2时，ABP2是等腰三角形，当AB=AP3时，ABP3是等腰三角形，当AB=AP4时，ABP4是等腰三角形，当BA=BP5时，ABP5是等腰三角形，当P6A=P6B时，ABP6是等腰三

9、角形，故选C【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答，注意一定要考虑全面3D【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C1，即可求得C的坐标，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，过点B作BD直线y=x，垂足为D，则OBD是等腰直角三角形，根据勾股定理求出点B到直线y=x的距离为，由4，可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，据此即可求得答案.【详解】如图，AB的垂直平分线与直线y

10、=x相交于点C1，A(0，2)，B(0，6)，AB=62=4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，过点B作BD直线y=x，垂足为D，则OBD是等腰直角三角形，BD=OD，OB=6，BD2+OD2=OB2，BD=，即点B到直线y=x的距离为，4，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，综上所述，点C的个数是1+2=3，故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，勾股定理的应用，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观4B【解析】【分析】设C（m，-m+2）构建方程即可解决问题.【详解】设C（m，-m+2）当CA=CB时，点C在线

11、段AB的垂直平分线上，此时C（0，2）当AC=AB时，（m+4）2+（-m+2）2=64，解得：m=4，或m=-8.8，C（4，0）（舍去）或（-8.8，6.4）；当BC=AB时，（m-4）2+（-m+2）2=64，解得m=，C（，）或（，）；综上所述，满足条件的点有4个，故选：B【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型5或【解析】【分析】分别令一次函数y=-x+1中x=0、y=0，求出点A、B的坐标，设出点M的坐标，根据两点间的距离公式表示出AB、AM和BM的长度，分AB=BM与AB=AM两种情况来考虑，由此

12、可得出关于m的方程，解关于m的方程即可得出结论【详解】令一次函数中，则，解得，点的坐标为；令一次函数中，则，点的坐标为设点的坐标为，则 ，是以为腰的等腰三角形分两种情况：，即，解得：，或，此时点的坐标为或；，即，解得：，或（舍去），此时点的坐标为综上可知点的坐标为或【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，解题的关键是分AB=BM与AB=AM两种情况来考虑本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，有两点间的距离公式表示出三角形三边长度，再根据等腰三角形的性质找出关于m的方程是关键6或9【解析】【分析】分情况,当AB为腰时和当AB为底时两种情况分析即可.【详解】直线与坐

13、标轴相交于A、B两点，当x=0时,y=3,当y=0时,x=4,A(4,0),B(0,3),AB=5,当AB为腰时, AP=AB=5,OP=OA+AP=4+5=9,动点P的速度为每秒1个单位长度,点P的运动时间是9秒;当AB为底时, AP=BP,设OP=x,则BP=4-x,根据勾股定理得3²+x²=(4-x) ²,解得x=,故OP=,点P的运动时间是秒.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建直角三角形解决交点坐标问题7（1）yx；（2）当点M的坐标为（，0）、（，0）、（6，0）或（，0）时，AOM是等腰三角

14、形【解析】【分析】（1）根据点A的横坐标、AOH的面积结合点A所在的象限，即可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式；（2）分OMOA、AOAM、OMMA三种情况考虑，当OMOA时，根据点A的坐标可求出OA的长度，进而可得出点M的坐标；当AOAM时，由点H的坐标可求出点M的坐标；当OMMA时，设OMx，则MH3x，利用勾股定理可求出x值，进而可得出点M的坐标综上即可得出结论【详解】解：（1）点A的横坐标为3，AOH的面积为3，点A在第四象限，点A的坐标为（3，2）将A（3，2）代入ykx，23k，解得：k，正比例函数的表达式为yx（2）当OMOA时，如图1所示，点A的坐标为

15、（3，2），OH3，AH2，OA，点M的坐标为（，0）或（，0）；当AOAM时，如图2所示，点H的坐标为（3，0），点M的坐标为（6，0）；当OMMA时，设OMx，则MH3x，OMMA，x ，解得：x，点M的坐标为（，0）综上所述：当点M的坐标为（，0）、（，0）、（6，0）或（，0）时，AOM是等腰三角形故答案为：（1）yx；（2）当点M的坐标为（，0）、（，0）、（6，0）或（，0）时，AOM是等腰三角形【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式、正比例函数的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点A的横坐标结合三角形的面积，求出点A的坐标；（2）分OM=OA、AO

16、=AM、OM=MA三种情况考虑8（1）；（2）；（3）在 轴上存在点 使为等腰三角形【解析】【分析】（1）分别代入y=0，x=0，求出与之对应的x，y值，进而可得出点A，B的坐标；（2）由三角形的面积公式结合SBOP= SAOB，可得出OP=OA，进而可得出点P的坐标；（3）由OA，OB的长可求出AB的长，分AB=AM，BA=BM，MA=MB三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点M的坐标【详解】解：（1）当y=0时，-2x+4=0，解得：x=2，点A的坐标为（2，0）；当x=0时，y=-2x+4=4，点B的坐标为（0，4）（2）点P在x轴上，且SBOP= SAOB，OP=OA=1，点P的坐标为

17、（-1，0）或（1，0）（3）OB=4，OA=2，AB= 分三种情况考虑（如图所示）：当AB=AM时，OM=OB=4，点M1的坐标为（0，-4）；当BA=BM时，BM=2，点M2的坐标为（0，4+2 ），点M3的坐标为（0，4-2）；当MA=MB时，设OM=a，则BM=AM=4-a，AM2=OM2+OA2，即（4-a）2=a2+22，a=，点M4的坐标为（0，）综上所述：在y轴上存在点M，使三角形MAB是等腰三角形，点M坐标为（0，-4），（0，4+2），（0，4-2）和（0，）【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用一次

18、函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；（2）利用两三角形面积间的关系，找出OP的长；（3）分AB=AM，BA=BM，MA=MB三种情况，利用等腰三角形的性质求出点M的坐标9(1)；答案见解析；（2）存在点C使是以CE为一腰的等腰三角形, 点C的坐标为(3,0)或(8,0).【解析】【分析】(1)由点C的坐标，利用待定系数法即可求出b值，此题得解；利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、E的坐标，利用勾股定理以及两点间的距离即可求出AC=AB，由正切的定义即可得出ABO=ACD，结合公共角即可利用全等三角形的判定定理ASA证出ABOACD，从而得出AO=AD、ADC=AOB=90

19、6;，再利用全等直角三角形的判定定理HL即可证出RtADERtAOE，根据全等三角形的性质可找出DAE=OAE，由此即可证出AE平分BAC；（2）ACE是以CE为一腰的等腰三角形分两种情况：CE=AE时，利用等腰三角形的性质结合点A的坐标即可得出点C的坐标；当CA=CE时，设点C（m，0）（m>0），则OC=m，OE=OC=m，CA=m+2，利用勾股定理求出CE，由CA=CE即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出点C的坐标综上即可得出结论【详解】(1)将C(2,0)代入y=，0=,解得： ，直线l2的函数表达式为 .证明：当 时，x=3，点A(3,0)， , ,AC=2(3)=5=A

20、B.当x=0时 ， ，ABO=ACD.在ABO和ACD中, ，ABOACD(ASA)， .在RtADE和RtAOE中, ，RtADERtAOE(HL)，DAE=OAE，AE平分BAC.(2)ACE是以CE为一腰的等腰三角形分两种情况：当AE=CE时，EOAC，OC=OA，点C(3,0)；当CA=CE时,设点C(m,0)(m>0),则 ，CA=m+2， ， ，解得：m=8，点C(8,0).综上所述：存在点C,使ACE是以CE为一腰的等腰三角形,点C的坐标为(3,0)或(8,0).【点睛】本题考查了一次函数的综合题，掌握一次函数解析式以及等腰三角形的存在性的讨论是解题的关键.10（1）a，b

21、=1；（2）t为1秒，2秒，或（）秒或（）秒【解析】【分析】（1）先确定出点C的坐标，进而求出b，再将点B（2，0）代入直线l2的解析式中即可求出b；（2）分三种情况讨论计算即可得出结论【详解】（1）点C是直线l1：y=x+1与轴的交点，C（0，1）点C在直线l2上，b=1，直线l2的解析式为y=ax+1点B在直线l2上，2a+1=0，a；（2）如图，PAC是等腰三角形，分三种情况讨论：当AC=P1C时COx轴，OP1=OA=1，BP1=OBOP1=21=1，t=1÷1=1（秒）；当P2A=P2C时，易知点P2与O重合，BP2=OB=2，t=2÷1=2（秒）；当AP3=AC

22、时A（1，0），C（0，1），AC，AP3，BP3=OB+OA+AP3=3或BP3=OB+OAAP3=3，t=（3）÷1=（3）（秒），或t=（3）÷1=（3）（秒）综上所述：满足条件的时间t为1秒，2秒，或（）或（）秒【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，分类讨论的思想，解（1）的关键是求出点A的坐标，解（2）的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道常规题11（1）AB的解析式为；（2）点C的坐标为；（3）M点的坐标为或 或或.【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；（2）作于点D，由角平分线的性质可知，利用即可求出OC的长，已知点

23、C坐标；（3）三角形BCM为等腰三角形有三种情况，即，求出直线AC的函数表达式，设出点M的坐标，根据三种情况的等量关系即可求出点M.【详解】解：（1）设AB的解析式为，将点代入得解得，所以AB的解析式为；（2）如图，作于点D， 由角平分线的性质可知，由勾股定理得 则，即解得，所以点C的坐标为；（3）三角形BCM为等腰三角形有三种情况，即，设AC的解析式为，将点代入得解得，所以AC的解析式为；可设点M的坐标为当时，以点C为圆心，BC长为半径画弧交直线AC于点M，作，如图所示，易知，根据勾股定理得 ，解得， 所以M点的坐标为或 当时，以点C为圆心，BC长为半径画弧交直线AC于点M，连接BM，作，如

24、图所示，易知，根据勾股定理得 ，解得或3（舍去）， 所以M点的坐标为当时，作BC的垂直平分线交直线AC于点M，交BC于点F，连接BM，如图， 因为F为BC中点，所以F（5.5,0），即M点的横坐标为5.5，所以M点的坐标为综上所述，M点的坐标为或 或或.【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系及一次函数与三角形，涉及的知识点主要有一次函数解析式，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数解析式的求法及等腰三角形的性质是解题的关键，在说明一个三角形是等腰三角形时，注意分类讨论.12（1） A（2，0）；（2）；（3）4或12；（4） ， ， 【解析】试题解析：（1）从函数图象上易得

25、A(2，0)；（2）由图象可知，当y4时，x0；（3）根据条件可知P点坐标分别为（-4，0）或（4，0），从而可求出ABP的面积；（4）存在，分四种情况考虑.试题解析：（1）从函数图象上易得A(2，0)；（2）由图象可知，当y4时，x0；（3）当P在A点右侧时，P（4，0）SABP=×AP×OB=×2×4=4; 当P在A点左侧时，P（-4，0）SABP=×AP×OB=×6×4=12；（4）（0，4+2），（0，4-2），（0，-4），（0，.13（1）（0，8），（0，3）；（2）直线AB：yx+8，直线CB：yx

26、+3；（3）E的坐标为（0，18）或 （0，-2）或 （0，-8）或 （0，）【解析】【分析】（1）由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标；（2）由直线y=mx+8得B（，0），即OB，而AO=8，利用勾股定理求AB，根据角平分线性质得比例求m的值，再根据直线BC与x轴的交点为B求n即可；（3）根据（2）的条件，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧与y轴相交，作AB的垂直平分线与y轴相交，分别求交点坐标【详解】（1）在y=mx+8和y=nx+3中，令x=0，得A（0，8），C（0，3）故答案为：（0，8），（0，3）；（2）令直线y=mx+8中y=0，得B（，0），即OB，又AO=8，AB8A

27、BO=2CBO，即245，解得m，又由y=nx+3经过点B，得，解得n，直线AB：yx+8，直线CB：yx+3；（3）由（2）可知OB=6，AB10，当ABE为等腰三角形时，分三种情况讨论：以A为圆心，AB为半径画圆，与y轴交于两点E1，E2，则AE1=AE2=AB=10，E1（0，18），E2（0，-2）；以B为圆心，AB为半径画圆，与y轴交于点E3，则OE3=OA=8，E3（0，-8）；作线段AB的垂直平分线交y轴于E4，设E4（0，y），AE4=BE4，解得：y=，E4（0，）综上所述：E的坐标为（0，18）或 （0，-2）或 （0，-8）或 （0，）【点睛】本题考查了一次函数的综合运用

28、关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性利用比例，勾股定理求一次函数解析式14（1）B (3,0)，C (0,2)；（2）t=5；（3）Q(7,5).【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C点坐标；（2）根据面积的和差，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据全等三角形的判定与性质，可得PF，PQ的长，根据点的坐标的意义，可得Q点的坐标【详解】(1)将(1, )代入，解得n=4，即,当y=0时, .解得x=3，即B点坐标为(3,0)；将(1, )代入，解得m=2，即,当x=0时, .即C点坐标为(0,2)；(2)连接PC，PD

29、，如图1，S = (t3)×|= (t3)；当y=0时, ,解得x=3,即E点坐标为(3,0).S =S S = (t+3)××(t+3)×|2|= (t+3)由BDP和CDP的面积相等，得 (t+3)= (t3).解得t=5.(3)如图2，作QFx轴于F点.由CPQ是等腰直角三角形，得CP=PQ,CPQ=90°.OPC+PCO=90°,OPC+QPF=90°，PCO=QPF.在CPO和PQF中, ，CPOPQF(AAS)，PF=OC=2，FQ=OP=5，Q点的横坐标为5+2=7，Q点的纵坐标为5，即Q(7,5).【点睛】此

30、题考查一次函数综合题，解题关键在于作辅助线和利用待定系数法求解析式.15(1)k=2；(2)S=x-1；(3)当A的坐标为2,2时，AOB的面积是1；存在，点P坐标P1（-22，0），P2（22，0），P3（4，0），P4（2，0）.【解析】【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；（3）利用三角形的面积求出求出点A坐标；【详解】（1）OB=1，B（1，0），点B在直线y=kx-2上，k-2=0，k=2（2）由（1）知，k=2，直线BC解析式为y=2x-2，点A（x，y）是第一象限内的直线y=2x-2上的一个动点，y=2x-2（x1），S=SAOB=12×OB×|yA|=12×1×|2x-2|=x-1，（3）如图，由（2）知，S=x-1，AOB的面积是1；x=2，A（2，2），OA=22，设点P（m，0），A（2，2），OP=|m|，AP=2m2+4，当OA=OP时，22=|m|，m=±22，P1（-22，0），P2（22，0），当OA=AP时，22=2m2+4，m=0或m=4，P3（4，0），当OP=AP时，|m|=2m2+4，m=2，P4（2，0），即：