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文档简介
1、斗门一中2014届高三文科数学培优班1 .函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 考场错解 填函数y=函数的最小正周期为T=.最大值为-最小正周期与最大值的和是.专家把脉上面解答错在最小正周期的计算,应结合其图象考虑.对症下荮填 y=作出其图像知原函数的最小正周其为2,最大值为-.故最小正周期和最大值之和为2-.2(典型例题)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x(0,2)的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则众的 取值范围是 . 考场错解 填0,3 f(x)= f(x)的值域为(0,3),f(x)与y=k有交点, k0,3 专家把脉 上面解答求出k的范围只能保证
2、y= f(x)的图像与y=k有交点,但不能保证y=f(x)的图像与y=k有两个交点,如k=1,两图像有三个交点因此,正确的解答要作出了y=f(x)的图像,运用数形结合的思想求解 对症下药 填(1,3)f(x) 作出其图像如图从图5-1中可看出:当1k3时,直线y=k与 yf(x)有两个交点 3(典型例题)要得到函数y=cosx的图像,只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的 ( ) A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度 C横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 D横坐
3、标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度 考场错解 B或D将函数y=sin(2x+)的所有点的横坐标缩短到原来的倍,得函数y=sin(x+)的图像,再向右平行移动子个单位长度后得函数y=sin(x+)= cosx的图像故选B 将函数y=sin(2x+)变形为y=sin2(x+)若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=sin(x+)的图像再向右平行移动 个单位长度后得y=cosx的图像,选D 专家把脉 选B有两处错误,一是若将函数y f(x)=sin(2x+)横坐标缩短到原来的倍,(纵坐标标不变)所得函数y=f(x)= sin(4x+),而不是f(x)=sin
4、(x+),二是将函数y=f(x)=sin(x+)向右平行移动得函数y=f(x)=sinx的图像,而不是y= f(x)=cosx的图像因为函数图像变换是针对自变量而言,应该是x变为x-选D同样是两处错误一是横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得函数y=sin(x+)而不是y=sin(x+)由y=sin(x+)的图像向右平移个单位长度得了y=sinx的图像,而不是y=cosx的图像 对症下药 选C 将函数y=sin(2x+)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得函数y=sin(x+)的图像;再向左平行移动子个单位长度后便得y=sin(x+)= cosx的图像故选C 4(典型例题)设
5、函数f(x)=sin(2x+)(-0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=. (1)求; (2)求函数y=f(x)的单调增区间; (3)画出函数y=f(x)在区间0,上的图像 考场错解 (1)x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,sin(2+)=1, + =k+k Z =k+ ,-0, =- (2)由(1)知 =,因此y=sin(2-)最小正周期为T=.由题意得k-2x-k+,kZ 解得 k+xk+,kZ所以函数y=sin(2x-)的单调查递增区间为 专家把脉 以上解答错在第(2)小题求函数单调区间时,令处,因若把看成一个整体u,则y=sinu的周期为2。故应令,解得的x范围才是原函数的递
6、增区间. 对症下药(1)解法1 是函数y=f(x)的图像的对称轴,sin(2+)=1。解法2 x=是y=f(x)图象的对称轴,对任意的x有f(x)=f(-x).令x=0时,有f(0)=f().即sin=sin(+)=cos.即tan=1.又(2)由(1)得,因此,由题意得(3)由知x0y-1010故函数y=f(x)在区间0,上图像是5.(典型例题)求函数的最小正周期和最小值;并写出该函数在0,上的单调递增区间.考场错解 当时,函数y有最小值-2. 当时,函数单调递增. 函数递增区间是. 专家把脉 上面解答错在求函数的递增区间上,当x0,时,2x- (-,)函数不为单调函数应先求出函数y=2si
7、n(2x-)在R上的单调递增区间,再求它与区间0,的交集 对症下药 函数y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)故该函数的最小正周期是.当2x-=2k-时,即x=k-时,y有最小值2令2k-2x-2k+,kZ解得k-xk+,kZ令K=0时,-x又0x,0x, K=1时, x 又0x.x.函数y=2sin(2x-)的递增区间是0, ,专家会诊利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值),应以基本的三角函数图像y= sinx,y=cosx,y=tanx为基础,在研究单
8、调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+),y=sin(-2x), y=log sin(2x+)的单调性,在解决这类问题时,不能简单地把,x+, -2x,2x+,看作一个整体,还应考虑函数的定义域等问题y=Asin(x+)与y=sinx图像间的关系:由y=sinx图像可以先平移后伸缩,也可先伸缩后平专家会诊移要注意顺序不同,平移单位也不同 一般地,y=Asib(x+)的图象向左平移a个单位得到y=Asin(x+a)+ 的图象,再把其上所有点的横坐标变为原来的,即得到y=Asinw1+a+的图像考场思维训练 1 已知函数y=tan 在(-,)内是减函数,则 ( ) A01 B-10 C.1 D
9、 -1 答案:D解析函数y=tan x在(-)内是减函数,w0,又函数y=tan(-wx)在()上是增函数,有2 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为 ( ) A B. C D2 答案: C 解析:f(x)=|sin(x+)|y=sin(x+) 的最小正周期为2,f(x)=|sin(x+)|的最小正周期为.3 当0x时,函数f(x)=的最小值为 ( ) A.2 B2 C4 D. 4答案: C 解析:f(x)=cotx+4tanx0x0,cot x0,f(x)4 化简f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+ 2(xR,kZ)求函数f(x)的值域和最小正周期答案:解析:f(x)
10、=cos(2k+2x)+cos(2k-2x)+2sin(+2x)=2cos(+2x)+2sin(+2x)=4sin(+ +2x)=4sin(+x)=4cos2x f(x)的值域为-4,4;最小正周期为T:=.命题角度2三角函数的恒等变形 1(典型例题)设为第四象限的角,若,则tan2= . 考场错解 填 专家把脉 上面解答错在由cos2=得sin2=时没有考虑角是第四象限角2是第三、四象限角sin2只能取负值因而tan2也只能为负值 对症下药 填-=cos2+2cos2=2cos2+1=cos2=又为第四象限角,即2k+ 2k+2,kZ,4k+324k+4,kZ 即2为第三、四象限角sin2=
11、- 2(典型例题)已知-x0,sinx+cosx=, (1)求sinx-cosx的值; (2)求的值 考场错解 (1)由sinx+cosx=,平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=()2,即2sinxcosx=-.(sinx- cosx)2=1-2sinxcosx=. 又-x0,sinx0,sinx-cosx0 sinx-cosx=-(2)=cosxsinx(2+cosx-sinx)=专家把脉 以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为2sin2 =1+cosx,用错了公式,因为 2sin2 =1-cosx因此原式化简
12、结果是错误的 对症下药 解法1 (1)由sinx+cosx=,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .又- x0,sinx0,sinx-cosx0sinx-cosx= (2)解法2 (1)联立方程由得slnx=-cosx,将其代入,整理得25cos2x- 5cosx-12=0,cosx=-或(cosx=)- x0,故sinx-cosx=-( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3(典型例题)已知6sin2+sincos-2cos2=0,求sin(2+)的值 考场错解 由已知得(3sin
13、+2cos)(2sin-cos)=03sin+2cos=0或2sin-cos=0 tan=-或tan=又sin(2+)=sin2cos+cos2sin =sincos+(cos2-sin2)=将tan=-代入上式得sin(2+)=将tan=时代入上式得即专家把脉 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用,(,),tan0,tan=应舍去,因此原题只有一解 对症下药 解法1 由已知得(3sin+2cos) (2sin-cos)=03sin+2sin=0或2sin-cps=0由已知条件可知cos20,所以,即(,)于是tan0,tan=sin(2+)=sin2cos+cos2sin 将tan=-
14、代入上式得sin(2+)= 解法2 由已知条件可知cos0,则a,所以原式可化为6tan2+tan-2=0 即(3tan+2)(2tan-1)=0又(,)tan0,cos0,tan(=14 已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值;答案:sin(2)设(0,),f()=,求sin的值 答案: 16sin2-4sin-11=0,解得sin=(0,),sin0,则sin=5 已知函数f(x)=2sin2x+sin2x,x(0,2)求使f(x)为正值的x的集合 答案:解:f(x)=1-cos 2x+sin 2x=1+sin(2x-), f(x)01+sin(2x-)0 s
15、in(2x-)-+2k2x-+2kkxx0 ()将十字形的面积表示为的函数; ()为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少? 考场错解 设S为十字形的面积,则S=2xy=2sin cos=sin2() (2)当sin2=1即= 时,S最大,S的最大值为1 专家把脉 上面解答错在面积S的计算上,因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x的正方形面积 对症下药 (1)设S为十字形的面积,则S=2xy-x2=2sincos-cos2( ) (2)解法1 S=2sincos-cos2=sin2-cos2,其中=1,即2-=时,S最大 当=时,S最大,S的最大值为 解法2 S=2sin
16、cos-cos2,S=2cos2- 2sin2+2sincos=2cos2+sin2 令S=0即2cos2+sin2=0, 可解得=arctan(-2)当=arctan(-2)时,S最大,S的最大值为 2(典型例题)若0x3sinx B2x3sinx C2x=3sinx D与x的取值有关考场错解 选A 设f(x)=2x-3sinx,f(x)= 2-3cosx,0x0 f(x)在(0,)上是增函数 f(x)f(0)=0即2x3sinx,选A 专家把脉f(x)=3(-cosx)当0x时,f(x)不一定恒大于0,只有当x(arccos)时 f(x)才大于0因而原函数f(x)在(0,)先减后增函数,因
17、而2x与3sinx的大小不确定 对症下药 选D 设y=(x)=2x-3sinx, y=2-3cosx=3(-cosx)当cosx0当x(0,arcccos)时,y0口P2x3sinx当x(0,arccoss)时,f(x)0即2x3sinx故选D 3(典型例题)设函数f(x)=xsinx(xR)(1)证明f(x+2k)f(x)=2ksinx其中kZ; (2)设x0是f(x)的一个极值点证明f(x0)2=; (3)设f(x)在(0,+)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2,an,证明:an+1-an0是f,(x0)=0的任意正实根即x0 =-tax0,则存在一个非负整数k,使x0(+k,+ k)
18、即x0在第二或第四象限内 由题设条件,a1,a2,an为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a1a2a3,an,那么对于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1),+n an+1+n,则an+1-an0,由式知tan(an-1,-an) 0由此可知an+1-an必在第二象限 an+1-an0是f(x)=0的任意正实根,即x0-tanx0,则存在一个非负整数k,使x0(+k,+k),即x0在第二或第四象限内由式f(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下:X()f(
19、x)的符号K为奇数-0+K为偶数+0-所以满足f(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点由题设条件,a1,a2,an为方程x=-tanx的全部正实根且满足a1a2an那么对于n=1,2, an+1-an=-(tanan+1-tanan) =-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1),+nan+1+n,则an+1-an0,由式知tan(an+1-an)0由此可知an+1-an必在第二象限,即an+1-an.综上,an+1-an专家会诊处理与角度有关的应用问题时,可优先考虑三角方法,其一般步骤是:具体设角、构造三角函数模型,通过三角变换来解决另外,
20、有些代数问题,可通过三角代换,运用三角知识来求解有些三角问题,也可转化成代数函数,利用代数知识来求解如前面第2、3题 考场思维训练 1将参数方程(为参数)化为普通方程,所得方程是 答案:解析:(x-1)2+y2=4 由 2 若x2+y2=4,则x-y的最大值是 . 答案:2解析:设x:2cos,y=2sin,则x-y=2(sin-cos)=2sin(-) 当=2k+时,(x-y)max=23 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室如图所示, ABCD是一块边长为50米的正方形地皮,扇形CEF是运动场的一部分,其半径为40米,矩形AGHM就是拟建的健身室,其中C、M分别在AB和AD上,H在
21、EF上,设矩形AGHM的面积为 S,HCF=,请将S表示为的函数,并指出当点H在EF的何处时,该健身室的面积最大,最大面积是多少? 答案:解:延长GH交CD于P GHAM,HPCD HCP=HCF=,CH=40, HP=CHsin=40 sin CP=CHcos=40 COS 于是HG=50-40sin,HM=50-40cos, 矩形AGHM的面积S=HGHM =(50-40sin)(50-40cos)(0)整理,得S=10025-20(sin+cos)+16sincos设sin+cos=t,则2sincos=t2-1 0,1t S=10025-20t+8(t2-1)=100(8t2-20t+
22、17)=800(t-)2+450 当t=1时,S有最大值,且S最大值=500 此时,2sincos=0,即 sin 2=0 02,=0或, 当H在EF的端点E或F处时,健身室面积最大,最大面积为500平方米4 已知函数f(x)=sin(1)将f(x)写成Asin(x+)+k的形式并求其图像对称中心的横坐标;答案:解f(x)=sin(x+)+ , 由sin(x+)=0,即x-=k(kZ) 得x=,kZ 即对称中心的横坐标为,kZ(2)如果ABC的三边。a,b,c成等比数列,且边 b所对的角为x,试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域答案:解析:(2)由已知b2=ac,cosx= 0xsinsi
23、n(x+)1 即f(x)的值域为,1+探究开放题预测预测角度1三角函数的图象和性质 1关于函数f(x)=4sin(2x+)(xR)有下列命题: 由f(x1)=f(x2),可得x1-x2必是的整数倍;若x1,x2,且2f(x1)=f(x1+x2+),则x1sin1cos2,sin1cos1sin2,即sin1sin2. 又由1,2,均为锐角,故12. 即x1x2,故对; 由函数y=f(x)的图像可知,所有满足使2x+= k(kZ)且y=0的点,均为函数y=f(x)图像的对称点,x=,4sin(2()+)=0故对 由复合函数的知识可知,y=4sin(-2x+)的递增区间为满足不等式2k+-2x+2
24、k+的 x的集合,故错 综合得只有正确故填 2函数f(x)=2cos2x+ (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)当方程f(x)+a=0有解时,求a的取值范围; (3)当cos()=时,求f(x)的值 解题思路 (1)利用辅助角公式,化为一个角的三角函数形式后,用 可求得函数的最小正周期 (2)可转化为求函数的值域问题求解; (3)通过已知条件可求得sin2,cos2的值,再求 f()的值就不难了 解答 (1)f(x)=1+cos2+sin2x=2sin(2x+)+1最小正周期 (2)sin(2x+)=-,要使方程f(x)+a=0有解,则|-|1,得-3a1 (3)预测角度2运用三角恒等变
25、形求值 1若关于x的方程x2-4xSin+tan=0(有两个相同的实根 (1)求a的取值范围; (2)当a=时,求cos(+)的值 解题思路 (1)利有=0可得a表示为的函数,通过来值域即可得a的取值范围 (2)可先通过第(1)问结果求出sin2的值,再运用降幂公式可求得cos2(+)的值,再求cos(+)的值就容易了 解答 (1)=16sin2-4atan=0 ,sin0 故4sin- , a=4sincos=2sin2,2, 0sin201,0a2 (2)由=2sin2, sin2= cos()= 而2已知(0,),sin-cos=,求的值 解题思路 由已知可求得sin2及tan的值,因此
26、只要把 化为sin-cos,sin2,及tan表示的式子,再代入计算即可 解答 解法1 把sin-cos两边平方得解析2 由已知sin2=且2(,) 3已知cos(-),sin(+)=-且(0,),(),求sin(+)的值 解题思路 注意已知角与未知角之间的联系,即+=+-(-)- 解答 由已知,()所以预测角度3向量与三角函数的综合 1已知向量a=(2sinx,cosx),b=(cosx,2cosx),定义函数f(x)=ab-1 (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的单调减区间 解题思路 用向量的数量积的坐标运算求出y=f(x)的解析式,再利用三角函数的图像和性质求解 解
27、答 (1)f(x)=ab-1=sinxcosx+2cos2x- 1=sin2x+cosx=2sin(2x+)(2)令函数f(x)的单调减区间为k+kZ. 2设a=(1+cos,sin),b=(1-cos,sin),c=(1,0)(0,),(,2),a与b的夹角为1,b与c的夹角为的值解题思路 通过向量的夹角公式找到1、2与、的关系,从而得1-2与-的关系,进而求得 sin的值 解答 根据题意,cos1=3已知a=(sino,cos),b=(cos,sin),b+c=(2cos, 0),ab=,ac=求cos2(+)+tancot的值 解题思路 由b+c的坐标求出c的坐标,再利用向量的数量积的坐
28、标运算公式转化为三角函数关系式,再借助三角函数的恒等变形可求出cos2(+)+tan cot的值解答 设c=(x,y),b+c=(2cos,0)x=cos,y=sin即c=(cos,-sin) 由ab=,ac=, sincos=cossin=,sin(+)= tancot=5,cos2(+)=1-2sin2(+)=原式=. 考点高分解题综合训练 1 已知x,cos2x=a,则sinx ( ) A B-C D 答案:B 解析:由-x0知sinx0,sin2x=.sinx=-2已知的值为 ( ) A. B. C. D.答案: A 解析:bc BObc COc6 D6cO 答案: C 解析:由于a=
29、sin 30COS 6-cos 30sin 6=sin 24,b=sin 26,c=sin 25,ac0)的图像与直线y=3在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,且|P3P5|=,则w等于( ) A4 B1 C2 D.答案: C 解析:y=4sin(wx+)cos(wx-) =4cos2(-wx)=2+2cos(-2cosx) =2+2sin2wx,y=3时,sin2wx=, |P3P5|=T=,w=25 已知f()=,则f()取得最大值时的值是 ( ) A BC D答案: B 解析:f(x)=当sin2a=1,即=时f(x)有最大值6 若sin+cos=tan(0),则( ) 答案: C 解
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