人教版九年级上册数学 圆讲义 圆的有关性质有答案

1、第15讲 圆的有关性质第一部分 知识梳理知识点一：圆的相关概念1、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”3、圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。知识点二：弦、弧与圆的相关定义；1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）2、直径：经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。3、半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成

2、两条弧，每一条弧都叫做半圆。4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）等弧：在同一个圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。知识点三：垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。知识点四：内接

3、四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。第二部分 考点精讲精练考点1、圆的认识例1、生活中处处有数学，下列原理运用错误的是（）A建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理B修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理C测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理D将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理例2、如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（）A、a=b B、ab C、ab D、不能确定例3、到点O的距离等于8的点的集合是 例4、如图，AB是O的直径，点C在O

4、上，CDAB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是_例5、如图，O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若AOC=105，求D的度数例6、如图，AB、CD为O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF求证：AF=BE举一反三：1、有下列四个说法：半径确定了，圆就确定了；直径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆 其中错误说法的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、42、如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（）A4r B2r Cr D2r3、如图所示，三圆同心于O，AB=4cm，CDAB于O，则图中阴影部分的面积为 cm2 4、如图，点A、B在O上，

5、且AB=BOABO的平分线与AO相交于点C，若AC=3，则O的周长为_（结果保留）5、已知AB为O的直径，弦ED与AB的延长线交于O外一点C，且AB=2CD，C=25，求AOE的度数考点2、弧、弦、圆心角的关系例1、如果两个圆心角相等，那么( )A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对例2、若O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（ ）A30 B60 C90 D120例3、在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等如图，AB、CD是O的两条弦若AB=C

6、D，则有 = ， = 若弧AB=弧CD，则有 = ， = 若AOB=COD，则有 = ， = 例4、如图，已知AB是O的直径，BC为弦，ABC=30过圆心O作ODBC交弧BC于点D，连接DC，则DCB 例5、如图，C为弧AB的中点，CNOB于N，CDOA于M，CN=4cm，则CD= cm 例6、已知：如图，C，D是以AB为直径的O上的两点，且ODBC求证：AD=DC 举一反三：1、下列语句中，正确的有（ ）A在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B平分弦的直径垂直于弦C长度相等的两条弧相等D圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴2、如图，在O中，若点C是弧AB的中点，A=50，则BOC=

7、（ ）A40B45C50D603、如图，O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则AOC= 度4、在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是 度5、已知：如图，O的两条半径OAOB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F求证：CD=AE=BF考点3、圆周角的应用例1、如图，正方形ABCD内接于圆O，点P在上则BPC=（ ）A35 B40 C45 D50例2、如图，AB是O的直径，CD是O的弦，连接AC、AD，若CAB=35，则ADC的度数为（ ） A35 B45 C55 D65 例3、如图，ABC是O的内接三角形，AD是O直径，若ABC50，则CAD_例4、AB

8、为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q若AB=2，则线段BQ的长为 例5、已知O的直径为10，点A，点B，点C在O上，CAB的平分线交O于点D（1）如图，若BC为O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（2）如图，若CAB=60，求BD的长例6、已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合（1）求四边形AEOF的面积（2）设AE=x，SOEF=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围举一反三：1、如图，BC是O的弦，

9、OABC，AOB=70，则ADC的度数是（ ） A70 B35 C45 D602、如图，A、D是O上的两个点，BC是直径，若D=35，则OAC等于（ ）A65 B35 C70 D553、如图，AB为O的直径，BC=2cm，CAB=30，则AB= cm4、如图，以O的半径OA为直径作O1，O的弦AD交O1于C，则：（1）OC与AD的位置关系是_；（2）OC与BD的位置关系是_；（3）若OC=2cm，则BD=_cm5、如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E， 求证：（1）BAD=ACB；（2）AE=BE考点4、圆内接四边形例1、四边形ABCD内接于圆，A、B、

10、C、D的度数比可能是（ ）A1：3：2：4 B7：5：10：8C13：1：5：17 D1：2：3：4例2、如图，AB是半圆的直径，D是的中点，B=40，则A等于（ ）A60 B50 C80 D70 例3、如图，C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，2），M是劣弧OB上一点，BMO=120，则C的半径长为（ ） A4 B3 C2 D2例4、如图，已知圆心角BOC=80，那么圆周角BAC= 度例5、如图，ABCD是圆内接四边形，E为DA延长线上的一点，若C=45，AB=，则BAD= ，点B到AE的距离为 例6、如图，C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为

11、（0，4），M是圆上一点，BMO=120（1）求证：AB为C直径；（2）求C的半径及圆心C的坐标举一反三：1、一条弦把圆周分成1：4两部分，则这条弦所对的圆周角为（ ）A36 B144 C150 D36或1442、如图，A，B，C三点都在O上，点D是AB延长线上一点，AOC=140，CBD的度数是（ ） A40 B50 C70 D1103、如图，AB是O的直径，点C，D在O上，BAC=30，则ADC= （2） （3）4、如图，在O中，直径AB垂直弦CD，E为弧BC上一点，下列结论：1=2；3=24；3+5=180 其中正确的是 （填序号） 5、如图，已知AB=AC，BAC=120，在BC上取一

12、点O，以O为圆心OB为半径作圆，且O过A点，过A作ADBC交O于D，求证：（1）AC是O的切线； （2）四边形BOAD是菱形考点5、垂径定理例1、在圆中，下列命题中正确的是（ ）A垂直于弦的直线平分这条弦B平分弧的直线垂直于弧所对的弦C平分弦的直径垂直于这条弦D平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦例2、如图，AB是O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交O于点D若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（ ） A B9 C D25 例3、如图，O中，弦CD与直径AB相交于点E，AEC=45，OFCD，垂足为F，OF=2，DE=3，则DC= 例4、已知O内有一点M，过点M作圆的弦，在所有的

13、弦中，最长的弦的长度为10cm，最短的弦的长度为8cm，则点M与圆心O的距离为 cm例5、已知：如图，点P是O外的一点，PB与O相交于点A、B，PD与O相交于C、D，AB=CD求证：（1）PO平分BPD； （2）PA=PC例6、如图所示，已知点0是EPF的平分线上的点，以点0为圆心的圆与角的两边分别交于A，B和C，D求证：AB=CD（1）若角的顶点P在圆上，如图所示，上述结论成立吗？请加以说明；（2）若角的顶点P在圆内，如图所示，上述结论成立吗？请加以说明举一反三：1、如图，将半径为8的O沿AB折叠，弧AB恰好经过圆心O，则折痕AB长为（ ） A B C D82、如图，两个圆都以O为圆心，则下

14、面等式一定成立的是（ ）AAB=CD BAB=BC CBC=CD DAD=2BC3、如图：已知ACB=90，AB、CD的交点P是CD的中点，若AB=10，CD=8，则AP的值为 （1） （2） （3）4、如图，M是O中弦CD的中点，EM经过点O，若CD=4，EM=6，则O的半径为 5、如图，O中，弦AB，CD相交于P，且四边形OEPF是正方形，连接OP若O的半径为5cm，求AB的长考点6、垂径定理的实际应用例1、如图，根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处，正以20km/h的速度向北偏西60方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A

15、市受台风影响持续的时间是（ ） A10h B20h C30h D40h例2、如图，直径为20cm，截面为圆的水槽O中有一些水，此时水面宽AB=12cm，后来水面上升了一定距离，但仍没有超过圆心，此时水面宽AB=16cm，则水面上升了 cm 例3、如图所示，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明例4、高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病（1）养殖场有4万只鸡假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那

16、么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？（2）为防止禽流感蔓延，防疫部门规定，离疫点3千米范围内为捕杀区所有的禽类全部捕杀离疫点35千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区如图所示，O为疫点，到公路AB的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号）举一反三：1、当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为（ ） A

17、3cm B4cm C5cm D6cm2、某施工队在修建高铁时，需修建随，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA的长为 3、台风“菲特”来袭，宁波余姚被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由4、如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且QPN=30点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机从P沿公路MN前行，假设拖拉机行驶时周围100m以内会受到噪声影响，那

18、么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由，若受影响已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多长？第三部分 课堂小测1、下列说法错误的是（）A、直径是圆中最长的弦 B、长度相等的两条弧是等弧C、面积相等的两个圆是等圆 D、半径相等的两个半圆是等弧2、如图，四边形ABCD内接于O，AC平分BAD，则下列结论正确的是（ ）3、如图，ABC内接于O，BAC120，ABAC4，BD为O的直径，则BD等于( )A.4 B.6 C.8 D.124、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（ ） A30 B30或150 C60 D60或1205、“圆材埋壁”是我国古代九章算

19、术中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为O的直径，弦ABCD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”依题意，CD长为（ ） A12.5寸 B13寸 C25寸 D26寸6、如图，在半径为5的O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A3 B4 C3 D47、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形则点C的坐标是（ ） A（1，2） B（1，3） C（2，3）

20、 D（2，4）8、在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90，则弧所对的弦长是 9、已知圆中一弦将圆分为1：2的两条弧，则这条弦所对的圆心角为 度10、如图，圆心角AOB=100，则圆周角ACB= 度11、如图，等边三角形ABC的三个顶点都在O上，D是上任一点（不与A、C重合），则ADC的度数是 度 12、如图，在O中，弦ABCD，若ABC=40，则BOD= 13、如图，A，B，C三点在O上，且AB是O的直径，半径ODAC，垂足为F，若A=30，OF=3，则OA= ，AC= ，BC= 14、如图，半圆O的直径AB=8，半径OCAB，D为弧AC上一点，DEOC，DFOA，垂足分别为E、F，求EF的长

21、15、如图，点A，B，C，D在O上，O点在D的内部，四边形OABC为平行四边形，求OAD+OCD的度数16、如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作圆的半径 17、如图，在O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上18、如图，P是O外一点，PAB，PCD分别与O相交于A，B，C，D（1）PO平分BPD；（2）AB=CD；（3）OECD，OFAB；（4）OE=OF从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明

22、 第四部分 提高训练1、如图，MN是O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点若MN=，则PA+PB的最小值是 。2、如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且COAB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，可证：IG=FD小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG=FD请回答：小云所作的两条线段分别是OH和OE；证明IG=FD的依据是矩形的对角线相等，同圆的半径相等和等量代换3、如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以2长为半径作M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交

23、M于P点，连接PC交x轴于E（1）求出CP所在直线的解析式；（2）连接AC，请求ACP的面积 4、如图，AB为O的直径，弦CDAB于E，CDB=15，OE=（1）求O的半径；（2）将OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为 第五部分 课后作业1、中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（ ） A一倍 B二倍 C三倍 D四倍2、下列语句中，正确的有（ ）相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦；长度相等的两条弧是等弧； 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A1个 B2个 C3个 D4个3、O中，M为的中点，

24、则下列结论正确的是（ ）AAB2AM BAB=2AMCAB2AM DAB与2AM的大小不能确定4、如图，O是ABC的外接圆，已知ABO=30，则ACB的大小为（ ）A60 B30 C45 D505、下列说法错误的是（ ）A圆内接四边形的对角互补 B圆内接四边形的邻角互补C圆内接平行四边形是矩形 D圆内接梯形是等腰梯形6、如图所示，AB是0的直径，AC为弦，0DAC于点D，且0D=1cm，则BC的长为（ ） A3cm B2cm C1.5cm D4cm7、四边形ABCD内接于O，E在BC延长线上，DCE=70，则BOD等于（ ） A100 B110 C140 D708、如图，AB为O的直径，C与O

25、内切于点A，且经过点O，O的弦AE交C于D，则下列关系不成立的是（ ） AODAE BOD=BE CODBE DB=609、如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度沿北偏东60的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为（ ） A小时 B10小时 C5小时 D20小时10、如图，AB是O的直径，点C、D在O上，BOC=110，ADOC，则AOD= 11、如图，在ABC中，C=90，B=28，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为 。12、一种花边是由

26、如图的弓形组成的，弧ACB的半径为5，弦AB=8，则弓形高CD为 13、已知四边形ABCD是圆内接四边形，A：B：C=2：5：7，则D= 14、圆心到圆的两条平行弦的距离分别为2和5，则这两条平行弦间的距离为 15、如图：A、B、C是O上的三点，AOB=50，OBC=40，求OAC的度数16、如图，在O中，C为的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交O于E，连AE（1）求证：AE是O的直径；（2）求证：AE=DE17、如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O在EB上截取ED=EC，连接AD并延长，交O于点F，连接OE、EF（1）试判断

27、ACD的形状，并说明理由；（2）求证：ADE=OEF18、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，当水面到拱顶的距离小于3.5米时，需要采取紧急措施如图所示，正常水位下水面宽AB=60米，水面到拱顶的距离18米求圆弧所在圆的半径当洪水泛滥，水面宽MN=32米时，是否需要采取紧急措施？计算说明理由19、已知：如图，AB是O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB=弧CD，CFAB于点F，CEAD的延长线于点E（1）试说明：DE=BF；（2）若DAB=60，AB=6，求ACD的面积20、如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？参考答案第15讲 圆的有关性质第二部分 考点精讲精练考点1、圆的认识例1、A例2、A例3、解：到点O的距离等于8的点的集合是：以点O为圆心，以8为半径的圆故答案是：以点O为圆心，以8为半径的圆例4、例5、例6、举一反三：1、B2、B3、4、5、考点2、弧、弦、圆心角的关系例1、D 例2、B例3、例4、例5、例6、举一反三：1、A 2、A3、4、5、解：连接AC、BD，C，D是的三等分点，AC=CD=B