(经典讲义)基本不等式

1、基本不等式与对勾函数一、知识梳理1、基本不等式的基本形式：（1），则，当且仅当 时取等号。（2），则，当且仅当 时取等号。2、公式变形：（1）；（2）；3、求最值：当为定值时，有最小值；当或为定值时，有最大值（）。4、运用基本不等式时注意深刻理解“一正”、“二定”、“三相等”的意义。5、对勾函数的图像与性质性质：（1）定义域： （2）值域：（3）奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即（4）图像在一、三象限当时，由基本不等式知（当且仅当取等号）， 即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值（5）单调性：增区间为（），（）

2、减区间是（0，），（,0）二、典型例题例1、下列说法结论正确的是（）A的最小值是2 B的最小值是2 C的最小值是4 D的最小值是5 变式1、下列结论正确的是（）A当且时， B时，C当时，的最小值为2 D时，无最大值例2、（1）设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）A8 B4 C1 D（2）已知，且，则的最小值为 （3）若，则的最小值为 （4）若，则的最小值为 （5）已知，则的最大值为 （6）已知，则的最大值为 （7）已知，则的最大值为 变式2、（1）已知，且，求的最小值。（2）已知，且，则的最小值为 （3）若，则的最小值为 （4）若，则的最小值为 （5）已知，则的最大值为 （6）已知，则的最

3、小值为 （7）已知，则的最大值为 例3、已知正数x、y满足，则的最小值为 变式3、已知正数x、y满足，则的最小值为 例4、（1）若，且，则的最大值为 （2）已知，且，则的最小值为 （3）已知，且，则的最小值为 变式4、（1）设是满足的正数，则的最大值为 （2）已知，且，则的最小值为 例5、若正数满足。（1）求的取值范围 。(2）求的取值范围。变式5、若正数满足。（1）求的取值范围 。(2）求的取值范围。例6、（1）若，则的最小值为 （2）若，且，则的最大值为 变式6、（1）若，则的最小值为 （2）若，且，则的最大值为 例7、（1）已知，则的最小值为 （2）已知，则的取值范围为 （3）已知，则的

4、取值范围为 （4）已知，则的取值范围为 变式7、（1）已知，则的最小值为 （2）已知，则的取值范围为 （3）已知，则的取值范围为 （4）已知，则的取值范围为 例8、（1）已知，则的最小值为 （2）已知，则的取值范围为 （3）函数的最小值为 变式8、（1）已知，则的最大值为 （2）已知，则的取值范围为 （3）已知，则的取值范围为 （4）函数的最小值为 （5）函数的最小值为 例9、（1）已知正数满足，则使不等式恒成立，求的取值范围。（2）已知不等式（）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 变式9、（1）已知正数满足，则使不等式恒成立，求的取值范围。（2）已知不等式（）4对任意正实数x，

5、y恒成立，则正实数a的最小值为 例10、（1）函数的最大值为 （2）函数的值域为 （3）函数的值域为 （4）已知 ，求函数的最小值（5）求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为 变式10、（1）函数的最大值为 （2）函数的值域为 （3）函数的值域为 （4）已知 ，求函数的最大值（5）已知 ，求函数的最大值三、课后巩固1、下列各函数中，最小值为2的是（ ）A B，C D2、若x<0，则2 + 3x + 的最大值是（ ）A2+4 B2±4 C24 D以上都不对3、下列命题中正确的是（ ） A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是4、求函数的值域5、求

6、函数的值域6、求函数的最小7、 求函数的值域8、若时，不等式恒成立，求实数的取值范围9、某工厂建造一个无盖的长方形贮水池，其容积为6400，深度为4m，如果池底每1 的造价为160元，池壁每1的造价为100元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？10、正数满足。（1）求的取值范围 。(2）求的取值范围。11、（1）已知，且，则的最小值为 （2）已知，则的最大值为 （3）已知，则的最大值为 （4）已知正数x、y满足，则的最小值为 （5）已知，且，则的最小值为 12、（1）若，则的最小值为 （2）若，且，则的最大值为 13、（1）已知，则的最小值为 （2）已知，则的取值范围为 （3）已知，则的取值范围为 （4）已知，则的取值范围为 （5）已知，则的取值范围为 （6）函数的最小值为 （7）已知，