[初一数学]32 解一元一次方程一 合并同类项与移项

1、请欣赏一首诗：太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；剩下十五围着我，共有多少请算清剩下十五围着我，共有多少请算清你能列出方程来解决这个问题吗？你能列出方程来解决这个问题吗？ 希腊数学家丢番图公元希腊数学家丢番图公元34世纪世纪的墓碑上记载着：的墓碑上记载着： “他的生命的六分之一是幸福童年；他的生命的六分之一是幸福童年； 再活了他生命的十二分之一，两颊长再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；起了细细的胡须； 他结了婚，又度过了一生的七分之一；他结了婚，又度过了一生的七分之一； 再过五年，他有

2、了儿子，感到很幸福；再过五年，他有了儿子，感到很幸福； 可是儿子只活了他父亲年龄的一半；可是儿子只活了他父亲年龄的一半； 儿子死后，他在极悲哀中度过了四年，儿子死后，他在极悲哀中度过了四年，也与世长辞了也与世长辞了根据以上信息，你知道丢番图活了多少岁吗？根据以上信息，你知道丢番图活了多少岁吗？ 1 能根据实际问题，建立数学模型能根据实际问题，建立数学模型一元一次方程，来解决；一元一次方程，来解决； 2能在解方程中，正确合并同类项能在解方程中，正确合并同类项 1由实际问题引入，进一步熟悉列方程由实际问题引入，进一步熟悉列方程解应用题的分析步骤；解应用题的分析步骤； 2渗透运用数学问题来解决实际问

3、题的渗透运用数学问题来解决实际问题的建模思想建模思想1通过引导发现，培养独立思考问题的能通过引导发现，培养独立思考问题的能力；力；2通过学习，更加关注生活，增强用数学通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情的意识，从而激发学习数学的热情“相等关系相等关系;2合并时合并时“x或或“x前面的系数为前面的系数为1或或“1 约公元825年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书， 阿拉伯文书名是ilm al-jabr wal muqabalah，直译应为?复原与对消的科学?al-jabr 意为“复原，这里指把负项移到方程另一端“复原为正项；muqabalah 意即“对消或“

4、化简，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项一般认为拉丁文中代数学一词algebra是由al-jabr演变而来 阿尔阿尔花拉子米花拉子米约约780约约850合并同类项实际实际问题问题一元一次一元一次方程方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.设未知数设未知数 列方程列方程1167xx怎样解方怎样解方程程? 问题问题1：在一卷公元前：在一卷公元前1600年左右遗留下来的古年左右遗留下来的古埃及草卷中埃及草卷中,记载者一些数学问题记载者一些数学问题,其中一个问题翻其中一个问题翻译过来是：译过来是：“啊哈啊哈,它的全部它的全部,它的它的 其和等于其和

5、等于16”.你你能求出问题中的能求出问题中的“它它”?17 解解:设问题中的它为设问题中的它为x，则：它的，则：它的 为为 .根据问题中的相等关系：它的全部它的根据问题中的相等关系：它的全部它的 16可列方程可列方程1717x17合并同类项合并同类项系数化为系数化为11167xx8167x x14分析：解方程，就是把方程变形，变为 x = aa为常数的形式.答答:问题中的它是问题中的它是14.解方程中“合并起了什么作用？ 解方程中的解方程中的“合并是利用分配律将合并是利用分配律将含有未知数的项和常数项分别合并为一含有未知数的项和常数项分别合并为一项它使方程变得简单，更接近项它使方程变得简单，更

6、接近x = ax = a的的形式形式. . 解：设方案生产解：设方案生产型电视机型电视机x x台，那么方案台，那么方案生产生产型电视机型电视机15x15x台台, ,方案生产方案生产型电视机型电视机20 x20 x台，列方程台，列方程 某电视机厂今年方案生产电视机某电视机厂今年方案生产电视机21600台，台，其中其中型，型，型，型，型三种电视机的数量之比为型三种电视机的数量之比为1:15:20，这三种电视机方案各生产多少台，这三种电视机方案各生产多少台?x15x20 x21 600练一练练一练 答：答： 型电视机方案生产型电视机方案生产600600台台,型电视机方型电视机方案生产案生产90009

7、000台台,型电视机方案生产型电视机方案生产1200012000台台合并同类项，得合并同类项，得36x21600系数化成系数化成1，得，得x600所以所以方案生产方案生产型电视机型电视机600159000台台,方案生产方案生产型电视机型电视机6002012000台台. 解：解：合并同类项，得合并同类项，得 2x10 系数化为系数化为1，得，得 x5.例例1：解方程：解方程15x3x10 解：合并同类项，得解：合并同类项，得 2x7系数化为系数化为1，得，得7x2152733xx解：合并同类项，得解：合并同类项，得 4x9 系数化为系数化为1，得，得36x99x4 43x5x6x3420解：合并

8、同类项，得解：合并同类项，得 2x8. 系数化为系数化为1,得得 x4.12x10;23x4x1510;44x5x3x3.536x4x5 9x4练一练练一练解以下方程解以下方程 1简单方程解法步骤 移项；移项； 合并同类项；合并同类项； 系数化为系数化为1 问题2：有一批学生去游玩，假设每辆车坐43人，那么还有35人没座；假设每辆车坐45 人，那么还有15人没座，求有多少辆车，多少学生？ 解：设有解：设有x辆车辆车. 每辆车坐每辆车坐43人，共有人，共有43x人，加上没座的人，加上没座的35人，共有学生人，共有学生43x35. 假设每辆车坐假设每辆车坐45人，共有人，共有45x人，加上没座人，

9、加上没座的的15人，共有学生人，共有学生45x15. 找相等关系：学生的总人数是一个定值，表找相等关系：学生的总人数是一个定值，表示它的两个式子应相等，所以列方程示它的两个式子应相等，所以列方程 43x35 45x15怎样解方程怎样解方程?43x35 45x1543x45x153543x353545x45x153545x等式性质等式性质1 把等式一边的某一项变号后移到另一把等式一边的某一项变号后移到另一边边.移项移项合并同类项合并同类项系数化成系数化成1X=152x3043x45x153543x35 45x15答：有答：有10辆车，辆车，660个学生个学生.所以学生总人数为：所以学生总人数为：

10、431535660人人.移项把等式一边的某项变号后移到另把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项一边，叫做移项 通过移项，含未知数的项与常数项通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近分别位于方程左右两边，使方程更接近于于x=a的形式的形式以上解方程中“移项起了什么作用？ 下面的移项对不对？如果不对，请下面的移项对不对？如果不对，请改正？改正？1从从5210，得，得2105 2从从325，得，得325 3 从从2x513，得，得2x3x15 2x1053x2x52x3x15练一练练一练以下移项正确的选项是以下移项正确的选项是 A由由2x8，得到，得到x82 B由由5x8

11、x，得到，得到5xx 8C由由4x2x1，得到，得到4x2x1 D由由5x30，得到，得到5x3C练一练练一练例例2：解以下方程：解以下方程.1 6738( )( ) xx解：移项，得解：移项，得6x3x87合并同类项，得合并同类项，得3x15.系数化为系数化为1,得得x5.6x73x86x3x87移项时应注意改变项的符号移项时应注意改变项的符号2125234( ( ) )xx解：移项，得解：移项，得212534xx合并同类项，得合并同类项，得5712x 系数化成系数化成1，得，得845x 215234xx212534xx解以下方程解以下方程 .110 x4625x73x 533 1254(

12、)( )xxx1x1165x 练一练练一练解方程的步骤及依据：1移项等式的性质1 合并分配律 系数化为1等式的性质22“对消与“复原就是“合并与“移项3表示同一量的两个不同式子相等 现在你能答复前面提到的古现在你能答复前面提到的古老的代数书中的老的代数书中的“对消与对消与“复原复原是什么意思吗？是什么意思吗？“对消与对消与“复原就复原就是是“合并与合并与“移项移项. 下面方程的解法对吗？如果不对，下面方程的解法对吗？如果不对，应怎样改正？应怎样改正？解：移项，得解：移项，得合并同类项，得合并同类项，得 xx32123122 xx3122 xx132x112 x2x 32x系数化为系数化为1，得

13、，得 1 1移项时，通常把含有未知数的移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边；号的右边； 2 2移项要改变符号移项要改变符号. . 例例3：有一列数：有一列数,按一定的规律成按一定的规律成1，2，4，8，16，32， 64，其中某三个，其中某三个相邻数的和为相邻数的和为1 536，这三个数各是多少，这三个数各是多少? 解：设这三个相邻数中的第解：设这三个相邻数中的第1个数为个数为x，那么第那么第2个数就是个数就是2x，第第3个数就是个数就是22x4x.根据这三个数的和是根据这三个数的和是1536，得，得 x2x4x1 536.合并同类

14、项，得合并同类项，得 3x1 536.系数化为系数化为1，得，得 x=512.所以所以 2x=1 024, 4x2 048.答：这三个数是答：这三个数是512、1 024、2 048. 1有一列数，按一定规律排列成1，5，25，125假设其中某三个相邻数的和是13 125，这三个数各是多少 ？练一练练一练解：设这三个相邻数中的第解：设这三个相邻数中的第1个数为个数为x，那么第那么第2个数就是个数就是5x，第第3个数就是个数就是55x25x.根据这三个数的和是根据这三个数的和是13 125，得，得 x5x25x13 125.合并同类项，得合并同类项，得 19x13 125.系数化为系数化为1，得

15、，得 x=625.所以所以 5x= 3 125, 25x 15 625.答：这三个数是答：这三个数是625、 3 125 、 15 625. 2三个连续的奇数的和是三个连续的奇数的和是27，求这，求这三个奇数三个奇数 解：设这三个相奇数中的第解：设这三个相奇数中的第2个数为个数为x，那么第那么第1个数就是个数就是x2，第第3个数就是个数就是 x2.根据这三个数的和是根据这三个数的和是27，得，得 x2 x x227解，得解，得x9所以第第所以第第1个数就是个数就是x2927；第第3个数就是个数就是 x29211.答：这答：这3个奇数是个奇数是7，9，11.解：设这三个相奇数中的第解：设这三个相

16、奇数中的第2个数为个数为x，那么第那么第1个数就是个数就是x2，第第3个数就是个数就是 x2.根据这三个数的和是根据这三个数的和是29，得，得 x2 x x229解，得解，得x因为不是奇数，所以不存在这样的因为不是奇数，所以不存在这样的三个奇数三个奇数. 3如果三个连续奇数的和是如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇数吗？你能求出这三个奇数吗？293293 4在某月内，李老师要参加三天的学习培在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是训，现在知道这三天的日期的数字之和是39.1培训时间是连续的三天，你知道这几培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号

17、吗？天分别是当月的哪几号吗？2假设培训时间是连续三周的周六，那假设培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？这几天又分是当月的哪几号？ 112、13、1426、13、20观察以下一组数：观察以下一组数：3，-6,12，-24,48，-96，。，其中某三个相邻的数的和是，。，其中某三个相邻的数的和是576，这三个数各式多少？这三个数各式多少？ 192，-348,768有一列数按以下规律排列为：有一列数按以下规律排列为：1，-3,5，-7,9。如。如果其中是哪个相邻数之和为果其中是哪个相邻数之和为-201，求这三个数。，求这三个数。-199， 201， -203某地上网有两种方式，用户

18、可以任选其一某地上网有两种方式，用户可以任选其一A计时制：元计时制：元/时；时；B包月制：包月制：60元元/月月此外，每种上网方式都加收通信费元此外，每种上网方式都加收通信费元/时时1某用户上网某用户上网20小时，选用哪种上网方式比小时，选用哪种上网方式比较合算？较合算？2某用户有某用户有120元用于上网一个月，选用元用于上网一个月，选用哪种上网方式比较合算？哪种上网方式比较合算？3请你为用户设计一个方案，使用户合理地请你为用户设计一个方案，使用户合理地选择上网方式？选择上网方式？某通信公司开展两种业务：业务某通信公司开展两种业务：业务A根本月租费根本月租费50元，每通话一分钟付话费元；业务元

19、，每通话一分钟付话费元；业务B是无根本月是无根本月租费，每通话一分钟付话费元，假设一个月内租费，每通话一分钟付话费元，假设一个月内通话通话x分钟。分钟。1用式子表示两种方式的费用各是多少？用式子表示两种方式的费用各是多少？2对于某个通话时间，会出现两种方式的费对于某个通话时间，会出现两种方式的费用一样多嘛？用一样多嘛？3假设某人一个月通话假设某人一个月通话300分钟，选择哪一分钟，选择哪一种业务合算些？种业务合算些？某校七年级五班班主任带着学生去杭州旅游，某校七年级五班班主任带着学生去杭州旅游，甲旅行社说：甲旅行社说：“假设班主任买全票，那么其余假设班主任买全票，那么其余学生可享受半价优惠；乙

20、旅行社说：学生可享受半价优惠；乙旅行社说：“包括包括班主任在内全部按全票价的班主任在内全部按全票价的6折优惠，假设全折优惠，假设全票价为每张票价为每张240元元1问学生多少人时，甲、乙两家旅行社收费问学生多少人时，甲、乙两家旅行社收费一样多？一样多？2就学生数讨论选哪一个旅行社更合算？就学生数讨论选哪一个旅行社更合算？ 例4：根据下面的两种移动 计费方式表，考虑以下问题 1一个月本地通话时间150分和300分，计算按两种移动 计费方式各需要交费多少元？ 2会出现两种移动 计费方式收费一样吗？ 方式一方式二月租费50元/月10元/月本地通话费0.30元/分0.5元/分解：解：1方式一方式二150

21、分95分85元300分140元160元 2设累计通话设累计通话t分分,那么按方式一要收费那么按方式一要收费元，按方式二要收费元，按方式二要收费10.如果两种移动如果两种移动 计费计费方式收费一样，方式收费一样， 那么那么 10 移项，得移项，得 0.3t-0.4t=1050 合并同类项，得合并同类项，得 0.1t=40.系数化为系数化为1，得，得 t=400.由上可知，如果一个月内通话由上可知，如果一个月内通话400分，那么两分，那么两种计费方式的收费一样种计费方式的收费一样. 18人分别乘两辆小汽车赶往火车站，人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站其中一辆小汽车在距离火车站

22、15千米的地方千米的地方出了故障，此时离火车停止检票时间还有出了故障，此时离火车停止检票时间还有42分，这时唯一可以利用的交通工具只有一辆分，这时唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的人，这辆小汽车的平均速度为平均速度为60千米千米/时，这时，这8人能赶上火车吗？人能赶上火车吗？设走行速度为设走行速度为5千米千米/时时.练一练练一练第一种情况：第一种情况： 小汽车分二批送这小汽车分二批送这8人，假设第二批人在原人，假设第二批人在原地不动，那么小汽车来回要走地不动，那么小汽车来回要走15345千米，所千米，所需需时间为时间为 45分分42分，

23、因此，单靠汽车来分，因此，单靠汽车来回接送无法使回接送无法使8人都赶上火车人都赶上火车.第二种情况：第二种情况：假设在汽车送第一批人的同时，其他人先步假设在汽车送第一批人的同时，其他人先步行，可以节省时间，汽车送完第一批人后，用了行，可以节省时间，汽车送完第一批人后，用了x453604解：此题可分类讨论：解：此题可分类讨论：小时与第二批人相遇，再用小时与第二批人相遇，再用x小时送到火车站，小时送到火车站，那么列方程得，那么列方程得，1556015560 xx解得：解得：1152x 所用时间为：所用时间为： 时，时， 因为因为40.442，因此，这时，因此，这时8人能赶上火车人能赶上火车.151

24、1352605252356040 452. (. (分分钟钟) )第三种情况：第三种情况： 这辆汽车行驶到途中一定位置时放下第这辆汽车行驶到途中一定位置时放下第一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批人同时到达火车站，那么这时所用时间更少人同时到达火车站，那么这时所用时间更少. （2）一位老商人在临死前，把他的儿子叫）一位老商人在临死前，把他的儿子叫到床前，他要把他一生积蓄的金币分给儿子们，到床前，他要把他一生积蓄的金币分给儿子们，让大儿子拿出一枚金币后，再把盘里的让大儿子拿出一枚金币后，再把盘里的 分给分给他；然后让二儿子拿二枚金币后，再分盘里的他；然后让

25、二儿子拿二枚金币后，再分盘里的 给他；让三儿子拿三枚金币后，再分盘里的给他；让三儿子拿三枚金币后，再分盘里的 给他给他照这样分法分下去，让最后一个儿子拿完照这样分法分下去，让最后一个儿子拿完金币后，金币恰好分完，而且每个儿子得到的金金币后，金币恰好分完，而且每个儿子得到的金币数相等，请你算一算，老商人一生攒了多少枚币数相等，请你算一算，老商人一生攒了多少枚金币？他共有几个儿子？金币？他共有几个儿子？171717 分析：设老商人共积攒分析：设老商人共积攒x枚金币，大儿子拿出一枚金币，大儿子拿出一枚后，盘里还剩枚后，盘里还剩x1枚，大儿子又拿了盘中枚，大儿子又拿了盘中的的 ，因此大儿子共得金币，因

26、此大儿子共得金币 枚枚.此时盘中剩此时盘中剩 枚，被二儿子拿枚，被二儿子拿走二枚后，盘中还剩走二枚后，盘中还剩 枚二儿子又分得此时盘中的枚二儿子又分得此时盘中的 ，因此二儿子共，因此二儿子共得到金币得到金币 枚枚 根据根据所有儿子得到的金币都相等，可列出方程所有儿子得到的金币都相等，可列出方程.171117 ( () )x1117()()xx11127 ( () ) xx1711211277 ( () ) xx111112112777( () ) ( () ) xxx解：设老商人一生积攒了解：设老商人一生积攒了x枚金币，枚金币，列方程列方程去括号，得去括号，得1162012774949xx移项

27、，得移项，得1620121749497xx合并同类项，得合并同类项，得1364949x 系数化为系数化为1,得得x36.即老商人共有即老商人共有36枚金币，大儿子分得枚金币，大儿子分得 因为所有儿子分得的金币数都相等，因为所有儿子分得的金币数都相等，因此老商人有因此老商人有11167()()(枚枚),),x3666( (个个) )儿儿子子. .答：老商人一生积攒了答：老商人一生积攒了36枚金币，他枚金币，他共有共有6个儿子个儿子.用一元一次方程分析并解决实际问题的根本过程：实际问题实际问题数学问题数学问题 一元一次方程一元一次方程实际问题实际问题的答案的答案数学问题的解数学问题的解 x=a检验

28、检验列方程列方程解方程解方程 1简单方程解法步骤 移项；移项； 合并同类项；合并同类项； 系数化为系数化为12用一元一次方程分析并解决实际问题的根本过程：实际问题实际问题数学问题数学问题 一元一次方程一元一次方程实际问题实际问题的答案的答案数学问题的解数学问题的解 x=a检验检验列方程列方程解方程解方程 1 假设方程假设方程x98的解也是方程的解也是方程ax37解解,那么那么a_. 2假设假设x4是方程是方程 的解的解,那那么么 的值为的值为_.384xnx23nn4103解以下方程解以下方程.1103342 102363 4206291024 2781034( );( );( );( );(

29、 );( );( ).( ).xxxxxxxxxxxxx1x4x12x1 4 4：y1 = 2x+1y1 = 2x+1， y2 = 4 y2 = 4 x.x.当当x x取何值时，取何值时， y1 = y2 y1 = y2 ？ 解：由题意，得解：由题意，得 2x+1 4 x 移项，得移项，得 2xx41 合并同类项，得合并同类项，得 3x3 系数化为系数化为1，得，得 x1. 所以当所以当x1时，时， y1 = y2 . 5. 有一人问老师，他所教的班级有多少有一人问老师，他所教的班级有多少学生，老师说：学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩缺乏六位学生正在操场踢足球语，还剩缺乏六位学生正在操场踢足球你知道这个班有多少学生吗？你知道这个班有多少学生吗？ 解：设这个班有解：设这个班有x个学生，个学生，列方程列方程1116247xxxx移项，得移项，得1116247xxxx 合并同类项，得合并同类项，得3628 x系数化为系数化为1，得，得x56.答：