结构力学虚功原理（课堂PPT）

1、.1第七章第七章 静定结构位移计算静定结构位移计算 虚功原理虚功原理一、虚功原理一、虚功原理1虚功的概念虚功的概念 力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P在在11上作功。上作功。PP1121 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 在在21上作功。上作功。P.22虚功原理虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。

2、（外力实功）（外力实功）W（内力实功）（内力实功）U，称为，称为实功原理实功原理。（外力虚功）（外力虚功） （内力虚功）（内力虚功） ，称为，称为虚功原理虚功原理。WU 实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向的位移，实际应用价值不大。的位移，实际应用价值不大。 虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功在虚功原理中原理中，力是虚拟的力是虚拟的，而位移是真实的而位移

3、是真实的，所以该原理更确切应称所以该原理更确切应称为为虚力原理虚力原理。 应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算方便虚拟力取单位方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载）单位力（荷载）法法。.33虚功的计算虚功的计算外力虚功的计算：外力虚功的计算：1W内力虚功的计算：内力虚功的计算：虚拟力状态虚拟力状态实际位移状态实际位移状态.4dxNNdxQdxQMM虚拟力状态虚拟力状态实际位移状态实际位移状态dxdxdxd(l)NPNPQPQPdd内力虚功：内力虚功：dMdQldNU)(EAdxNN

4、PMPMPGAdxkQQPEIdxMMP.5 由虚功原理由虚功原理 得位移计算的一般公式得位移计算的一般公式WUdxEIMMdxGAQQkdxEANNPPPNMQ 、 、 为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩；为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩； NP、QP、MP 为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。二、静定梁、刚架的位移计算二、静定梁、刚架的位移计算1积分法积分法 以弯曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚以弯曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理 可简化为：可简化为：d

5、xEIMMP等截面杆可写作：等截面杆可写作：dxMMEIP1.6【例【例71】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向的竖向位移位移Cy和转角和转角C 。x1x2x1x21PMP(x1)MP(x2)MP(x1)=0MP(x2)=2221qx)(1xM11)(xxM)(2xMlxxM22)(dxMMEIPCy122022)(211dxlxqxEIlEIql2474.7【例【例71】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向的竖向位移位移Cy和转角和转角C 。x1x2x1x2MP(x1)MP(x2)M

6、P(x1)=0MP(x2)=2221qx)(1xM1)(1xM)(2xM1)(2xMdxMMEIPC1m=12022211dxqxEIlEIql63.82图乘法图乘法积分积分 可用几何法（图乘法）求之。可用几何法（图乘法）求之。dxMMPBAPdxMMBAPdxMxtgCxAtgCyAA MP图的面积图的面积yC MP图形心所对图形心所对 图的竖距图的竖距M于是虚功原理于是虚功原理 可写作：可写作：CyAEI1xdxMPMxCCyC.9注意注意*： 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。 yC所在的弯矩图必须为同一直线，不是同一直线，需所在的弯

7、矩图必须为同一直线，不是同一直线，需分段图乘，并取和。分段图乘，并取和。C1C2C3A1A2A3y1y2y3CyAEI1)(12211yAyAEI常用图形的面积和形心位置：常用图形的面积和形心位置：Cl/2l/2hA=lhhCl/32l/3A=lh/2l/2l/2A=2lh/382qlh C.10【例【例72】计算下列各对弯矩图的图乘结果。】计算下列各对弯矩图的图乘结果。C1C2y1y2（a）（b）CyC（a）123222122212lhhhlhhl（b）2432321lhhlh.113虚拟力状态虚拟力状态求求Cx1P1P求求Cy求求C求求DE1P1P求求B BC求求B B求求Ex1P1m1m

8、1m1m.124解题步骤：解题步骤： 画荷载下的弯矩画荷载下的弯矩MP图；图； 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画 图；图；M 由图乘由图乘 求位移。求位移。CyAEI1【例【例73】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向的竖向 位移位移Cy和转角和转角C 。.13MP图图M图图M图图)238323522(122lqlllqllEICyEIql24741)83222(122qllqllEICEIql63.14【例【例74】用虚功原理求图示刚架】用虚功原理求图示刚架C端的水平位移端的水平位移

9、Cx和转角和转角C 。EIqllqlllqllEICx83)283223222(1422EIqlqllEIC12)3122(132.15三、静定桁架的位移计算三、静定桁架的位移计算桁架各杆只有轴力，计算位移的虚功原理公式为：桁架各杆只有轴力，计算位移的虚功原理公式为：EAlNNP 为单位荷载下各杆轴力，为单位荷载下各杆轴力，NP为实际荷载下各杆轴力，为实际荷载下各杆轴力，l为杆长。为杆长。N桁架所受荷载都是作用在结点上，单位荷载也必须加在结点上。桁架所受荷载都是作用在结点上，单位荷载也必须加在结点上。图示桁架图示桁架求求Cx求求Dy求求BC1P1PaP21aP21.16【例【例75】用虚功原理求图示桁架】用虚功原理求图示桁架BC杆转角