讲座9-级联的积分器-梳状滤波器

1、精选优质文档-倾情为你奉上 讲座9 级联的积分器-梳状滤波器级联的积分器-梳状滤波器（cascade integrator comb filters，CICF）用作低通滤波器，有很高的计算效率，因而在现代通信系统中常与抽取和插值的硬件连接在一起。CICF非常适合在进行抽取操作（降低采样率）之前，用作去假频滤波器（图9.1a），以及在进行插值操作（提高采样率）之后，用作去像频滤波器（图9.1b）。有关细节，请参看第12章。CICF 其实是一个平均滤波器。例如，当信号被噪声污染时，可以用点平均来作为对当前信号的一种估计。设是真实的信号，是均值为零的白噪声噪声。则测量所得的信号是 （9.1）我们设计

2、一个FIR滤波器，使滤波器的输出为 图9.1 CICF 在采样率转换中的应用 （9.2）是序列的当前值和此前的4个值的平均值，将这个平均值作为对当前的的估计虽有误差，但还是可以接受的。这样的滤波器称为移动平均滤波器。相应于式（9.2）的FIR滤波器结构示于图9.2a。其中，。其系统函数为 （9.3） 根据式（9.2），每计算一点，要进行次加法次加法运算。式（9.2）等价于 （9.4）这相当于在先前的一点中挤走5个数末尾的那一个，即，而添进新的一点并除以，即。 显然，式（9.4）是一个IIR滤波器的差分方程。根据这个算法，无需存储过去的输入数据值，只需记住过去时刻的值，在新的输入数据来到时，即可

3、算出当前的值。为了区别于上述FIR滤波器，这样的IIR滤波器称为滚动求和滤波器。相应于式（9.4）的IIR滤波器结构示于图9.2b，其中的延迟单元数目为。 图9.2 点平均滤波 如果不考虑子图 (b) 的平均因子，则滚动求和滤波器可以画成子图(c)所示的形式。程序L0901.M检验了式（9.3）与式（9.4）所代表的滤波器有相同的滤波效果。% L0901.M% 研究两种实现形式的平均滤波器的滤波效果。% clear;set(gcf,'color', 'w');N = 512;n = 0 : N - 1;noise = (0.4 * rand(1,N) - 0.2

4、;subplot(2,2,1)plot(n, noise); grid % 显示噪声序列w = 0.04 * pi;s_n = 0.5 * sin(w * n) + noise;subplot(2,2,2)plot(n, s_n); grid; % 显示噪化信号% 用 FIR 平均滤波器进行滤波y(1) = 0; y(2) = 0; y(3) = 0; y(4) = 0;for i = 5 : N y(i) = (s_n(i) + s_n(i - 1) + s_n(i - 2) + s_n(i - 3) + s_n(i - 4) / 5;end subplot(2,2,3)plot(n, y)

5、; grid;% 用 IIR 平均滤波器进行滤波y(1) = 0.1; y(2) = 0.1; y(3) = 0.1; y(4) = 0.1; y(5) = 0.1;for i = 6 : N y(i) = y(i - 1) + (s_n(i) - s_n(i - 5) / 5;end subplot(2,2,4)plot(n, y); grid;程序运行结果示于图9.3。子图 (a) 和 (b) 分别示出噪声序列和噪化信号。子图 (a) 和 (b) 分别示出FIR和IIR 平均滤波器的输出。两种滤波器的滤波效果基本上相同。 图9.3 FIR和IIR 平均滤波器的滤波效果式（9.3）可以写为

6、（9.5）式（9.5）的算法显然是高效的，若不考虑其中的系数，则滤波器结构已示于图9.3c。这种CICF结构由一个梳状滤波器与一个积分器级联而成。系统函数为 （9.6） 程序L0902.M演示CICF 的特性。% L0902.M% 演示CICF的特性% set(gcf,'color','w')n=1,zeros(1,10); x=1,zeros(1,20);m = 0:9;a=zeros(1,10); y = 1 : 10;for k=1:10 a(1)=x(k); y(k)=x(k)-a(6); a(6)=a(5); a(5)=a(4); a(4)=a(3);

7、 a(3)=a(2); a(2)=a(1);endsubplot(2,3,1)stem(m,y,'.'); axis(0, 10, -1.2,1.2); grid% -x=1,zeros(1,20); a=zeros(1,10); for k=1:10 y(k)=x(k)+a(1); a(2)=a(1); a(1)=y(k);endsubplot(2,3,2)stem(m,y,'.'); axis(0, 10, -0.5,1.2); grid% -x=1,1,1,1,ones(1,15); a=zeros(1,10); for k=1:10 a(1)=x(k);

8、 y(k)=x(k)-a(6); a(6)=a(5); a(5)=a(4); a(4)=a(3); a(3)=a(2); a(2)=a(1);endsubplot(2,3,3)stem(m,y,'.'); axis(0, 10, -0.5,1.2); grid% -w=-pi:0.01:pi; D=5;H=abs(sin(w*D/2) ./ sin(w/2);HdB=20*log10(H/max(H);subplot(2,3,4)plot(w/pi,HdB); grid; hold onD=10;H=abs(sin(w*D/2) ./ sin(w/2);HdB=20*log10

9、(H/max(H);plot(w/pi,HdB,'-.'); axis(-1,1,-30,5);% -H=exp(-j*-w*(D-1)/2).*(sin(w*D/2) ./ sin(w/2);p=angle(H);subplot(2,3,5)plot(w/pi,p); grid% -a=1 -1; b=1,zeros(1,D-1),-1; subplot(2,3,6)zplane(b,a); grid;图9.4a示出CICF在时的零极点分布。其中，梳状滤波器提供单位圆上的10个零点，另有10个极点位于原点。积分器提供一个位于处的极点，与该处的零点抵消；另有一个零点处于原点，与

10、该处的一个极点抵消，使位于原点的极点个数变为9。图9.5示出时的CICF的时域特性。请读者根据图9.3c来加以理解。 利用欧拉恒等式，上式可写为 （9.7） 图9.6示出CICF的频率特性。图9.4 CICF 的时域特性 图9.5 CICF的零极点分布 图9.6 CICF 的频域特性细心的读者会问：参与平均运算的数据越多，即增大值，能否更好地滤除噪声。理论上，答案是肯定的。但问题是上面的讨论是从式（9.2）出发的。值增大时，个数据中的有用信号部分会是改变的。于是，除了噪声被平均，有用信号也将被平均。因此，原信号中的细节（快速变化部分）将被抹平。换句话说，值增大时，通频带变窄。图9.6a 正好说

11、明这个论断。所以，实用中的值不宜过大。 CICF 常用于采样率转换系统中。在按因子进行抽取之前，CICF 用作去假频滤波器；而在按因子进行插值（原序列每两个样点之间插入个零值样点）之后，用作去假象滤波器。在CICF 的绝大多数应用中，采样率变化因子都等于梳状滤波器的差分延迟因子。CICF 是一个线性系统，所以它的两个组成部分，即梳状滤波器和积分器的连接次序是可以调换的。图9.7示出采样率转换系统中的单级CICF。 图9.7 采样率转换系统中的单级CICF 下面说明单级CICF 在减采样系统中的滤波作用。图9.8a 示出输入序列具有宽度为B的矩形模频特性。图中，是的采样频率，即是折叠频率。子图b

12、 示出 的CICF 的模频特性和减采样前的输出序列的模频特性。显然，由于CICF 的频率特性不理想，故输出序列的模频特性在基带范围内有衰减，而在基带外，有不可忽视的虚像。若使减采样率，则折叠频率变为。这时，所有的虚像都会折叠到基带内，如子图c 所示。b c 图9.8 一阶CICF 的频率幅度响应 其次，用图9.9 说明单级CICF 在增采样系统中的滤波作用。子图a示出输入序列具有宽度为B的矩形模频特性。图中，是的采样频率。现在，希望将采样率提高到，则必须将之间的所有像频块完全消除。子图b 示出 的CICF 的模频特性和插值（在原序列每两个样点之间添加零值样点）后的输出序列的模频特性。由图可见，

13、由于CICF的模频特性所限，像频块是不可能完全被消除的。这里，使用阶数为3的CICF，即：3个单级CICF（图9.2c ）被级联起来。最大像频块的衰减量约为。 图9.9 二阶CICF 的频率幅度响应 为了使CICF 更能适合减采样或增采样系统的要求，往往需要将几个单级CICF 级联起来，组成多阶CICF 系统。此外，还需要设计网络，以补偿基带范围内的频谱特性的衰减。图9.10 画出3阶CICF系统。 图9.10 3阶CICF系统 程序L0902.M演示一阶和三阶 CICF 的模频特性，运行结果示于图9.11。 % L0902.M% 演示一阶和三阶 CICF 的模频特性% set(gcf,

14、9;color','w')w=-pi:0.01:pi; D=8;% 一阶 CICFH=(abs(sin(w*D/2) ./ sin(w/2);HdB=20*log10(H/max(H);subplot(2,1,1)plot(w/pi,HdB); grid; axis(-0.25,1,-30,5);line(-0.04, -0.04, -90,5,'Color', 'r');line(0.04, 0.04, -90,5,'Color', 'r');line(-0.25+0.04, -0.25+0.04, -9

15、0,5, 'Color', 'r');line(0.25-0.04, 0.25-0.04, -90,5, 'Color', 'r');line(0.25+0.04, 0.25+0.04, -90,5, 'Color', 'r');line(0.5-0.04, 0.5-0.04, -90,5, 'Color', 'r');line(0.5+0.04, 0.5+0.04, -90,5, 'Color', 'r');line(0.75-0.0

16、4, 0.75-0.04, -90,5, 'Color', 'r');line(0.75+0.04, 0.75+0.04, -90,5, 'Color', 'r');% 三阶 CICFH=(abs(sin(w*D/2) ./ sin(w/2).3;HdB=20*log10(H/max(H);subplot(2,1,2)plot(w/pi,HdB); grid; axis(-0.25,1,-90,5);line(-0.04, -0.04, -90,5, 'Color', 'r' );line(0.04, 0.04, -90,5, 'Color', 'r');line(-0.25+0.04, -0.25+0.04, -90,5, 'Color', 'r');line(0.25-0.04, 0.25-0.04, -90,5, 'Color', 'r');line(0.25+0.04, 0.25+0.04, -90,5, 'Color', 'r');line(0.5-0.04, 0.