柯西不等式（课堂PPT）

1、.1 柯西不等式柯西不等式 .2求函数求函数 的最大值的最大值 51102yxx 例例1.22231,49,.xyxy若求的最小值 并求最小值点引：引：的最大值求满足设实数zyxSzyxzyx32, 332,222例例2.3变式引申变式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值点点的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1)32()11)(94(:222222222最最小小值值点点为为的的最最小小值值为为得得由由时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx .4的最

2、小值。）求函数（）求证：（已知实数例)21, 0(,21922;)(10,. 3222xxxynmbanbmanm.5例例4.4.ABC之三边长为之三边长为4，5，6，P为三角形为三角形內部一点內部一点P，P到三边的距离分別为到三边的距离分別为x，y，z，求求x2+y2+z2的最小值。的最小值。?4?5?6?x?y?z?D?F?E?A?B?C?P.62152654s解： ABC面积面积=4715232527215)()(csbsass4715)654(21zyx又2715654zyx而(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)x2+y2+z2 44225?4?5?6?x?y

3、?z?D?F?E?A?B?C?P.7.,. 521122132222121nnnnnxxxxxxxxxxxRxxx求证已知例11111:, 1,R.22221212121nxxxxxxxxxx,xxnnnn求证且设变式.81)()1x1 1111()x1x 11()11x(1 )111()1(:2212n222111n2n222121212222121 nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn证明证明1111x1x2222121 nxxxxnn11111:, 1,R.22221212121nxxxxxxxxxx,xxnnnn求证且设变式.9.,16a, 8, 622222的

4、取值范围求满足已知实数例eedcbedcbaedcba5160, 01651664464,)8()16(4d)cb(a )(1111( )4(a :22222222222222 eeeeeeeedcbadcb故故即即即即解解 .10（二维形式的柯西不等式）（二维形式的柯西不等式）若若 都是实数，则都是实数，则当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立a,b,c,da,b,c,da ad d = = b bc c 2222222222(a +b )(c +d ) (ac+bd)(a +b )(c +d ) (ac+bd)（二维形式的柯西不等式）（二维形式的柯西不等式）若若 都是实数，则都是实数，则当且

5、仅当时等号成立当且仅当时等号成立a,b,c,da,b,c,da ad d = = b bc c|2222bdacdcba.11柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式设设 是两个向量是两个向量, ,则则当且仅当当且仅当 是零向量，或存在是零向量，或存在k k实数使实数使 时，等号成立时，等号成立, , = = k k|.12二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式设那么设那么 1 11 12 22 2x x , ,y y , ,x x , ,y yR R, , 2 22 22 22 22 22 21 11 12 22 21 12 21 12 2( (x x+ +y y ) )+ + ( (x

6、x+ +y y ) )( (x x - -x x ) ) + +( (y y - -y y ) )三维形式的三角不等式三维形式的三角不等式设设 那么那么 111222111222x ,y ,z ,x ,y ,zR,x ,y ,z ,x ,y ,zR, 2 22 22 22 22 22 22 22 22 21 11 11 12 22 22 21 12 21 12 21 12 2( (x x+ +y y+ +z z ) )+ + ( (x x+ +y y+ +z z ) )( (x x - -x x ) ) + +( (y y - -y y ) )( (z z - -z z ) ).1312n12

7、n12b12baaaaaa=bbbbbb设设a a1 1,a,a2 2 ,a,a3 3 , ,a, ,an n ,b ,b1 1 ,b,b2 2 ,b ,b3 3 , ,b , ,bn n 是实数是实数, ,则则当且仅当当且仅当b bi i=0(i=1 ,2 ,3 , =0(i=1 ,2 ,3 , ,n),n)或或b bi i0 0(i=1 ,2 ,3 , (i=1 ,2 ,3 , ,n) ,n)时时, , 等号成立等号成立. .222112222122221)()(nnnnbabababbbaaa柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式211212)(niiiniiniibaba注注: :简记简记; ;积和方不大于方和积积和方不大于方和积.141.1.已知：已知： ， , ,证明：证明： 。 122 ba222 nm22bnam2.设x，y，zR，求 的最大值。 22222zyxz