江苏省高考数学押题试卷

1、2013年高考数学模拟试题一 填空题1. 复数 .2.设一个椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列，则此椭圆的离心率e .NYNy0结束y-1x>0输入x开始y1Y输出yx<03. 函数f(x)lg(x2ax1)在区间(1,+)上单调增函数，则a的取值范围是_.4. 下面的流程图可表示分段函数是_.5. 在平面几何里,有勾股定理:“设ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2BC2.”拓展到空间,类比平面几何里的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系,可以得到的正确的结论是“设三棱ABCD的侧面ABC, ACD, ADB两两互相垂直,则有_.6. 在区间1，1上随机

2、取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为 .7. .8. 已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8,则曲线yf(x)在点(1, f(1)处的切线方程是 .9. 从正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是 (1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(2)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点. 其中正确的结论有_个.10. 设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若3Sn,4Sn+1,5Sn+2成等差数列，则q的值为 11. 设点O是ABC

3、的外心，AB17，AC15，则· 12. 小李拟将1,2,3, n这n个数输入电脑, 求平均数, 当他认为输入完毕时, 电脑显示只输入n1个数, 平均数为35, 假设这n1个数输入无误,则漏输的一个数是 .13. 正数x, y满足(1x)(1y)2, 则xy的最小值是 14. 设x是一个正数, 记不超过x的最大整数为x, 令xxx,且x, x, x成等比数列, 则x .二 解答题15. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，C1B1AB，且C1B1=3，AB=4，ABB1=60o.(1)求证：平面CA1B平面A1AB；(2)求直线AC

4、1与平面BCC1所成的角的正弦；(3)求三棱锥A1BCC1的体积.16. 设an是正数数列, 其前n项和Sn满足Sn(an1)(an3).(1)求数列an的通项公式；(2)令bn,试求数列bn的前n项和Tn.17. 在平面上，给定非零向量b，对任意向量c，定义cab.（1）若a(2,3), b(1,3), 求c；（2）若b(2,1)，证明：若位置向量a的终点在直线AxByC0上，则位置向量c的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量b，当位置向量a的终点在抛物线C：x2y上时，位置向量c终点总在抛物线C： y2x上，曲线C和C关于直线l对称，问直线l与向量b满足什么关系？18. 如图，两个工

5、厂A，B相距2 km，点O为AB的中点，现要在以O为圆心，2 km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MAAB，NBAB据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y是受A，B两厂“噪音影响度”的和，设AP为x kmOP N M B A（1）求“总噪音影响度”y关于x的函数关系，并求出该函数的定义域；（2）当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？19. 已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心

6、，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；（1）求椭圆的离心率；A·F2F1yBxO·（2）己知a=7，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由20. 已知函数f(x)2xalnx.(1)若a0,证明：对于任意两个正数x1,x2,总有f()成立；(2)若对任意x1,e, 不等式f(x)(a3)xx2恒成立，求a的取值范围.加试题21.从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分A选修41几何证明选讲如图, 在锐角ABC中, 三条高AD, BE, CF交于点H, 证明点H是DEF的内心.(三条内角

7、平分线的交点)B选修42矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设曲线C: xy1在矩阵(0)对应的变换作用下得到曲线F，且F的方程为x2y2a2(a0), 求和a的值.C选修44参数方程与极坐标在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数), 圆C的参数方程是(为参数), 直线l与交于两个不同的点A, B, 点P在圆C上运动, 求PAB面积的最大值.D选修45不等式证明选讲证明：对任意正数ab的算术平均A有BA.22. 【必做题】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（1）求这名学生在上学路上到第三个路口

8、时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.23. 【必做题】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P,Q分别是直线BD1, AC上的动点,且PQ与BD1, AC都垂直, 则称线段PQ是异面直线BD1与 AC的公垂线段.(1) 求直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值;(2) 求异面直线BD1与 AC的公垂线段PQ的长; (3) 求二面角BCD1A的余弦值.解答1. 0.2. . 由ab2c, a2b2c2, 两式相除得abc, 与ab2c相加得2ac,从而e.3.填(,0. g(x)x2ax1的对称轴x1,且 g(1)a0, 所以a0.4. f(

9、x)5. SBCD2SABC2SACD2SABD2.6. 0cos,在区间1，1上的解应满足和,解得x1,和1x.所以0cos的概率是.7. 8.过程是8. 8. 方法一 在等式f(x)2f(2x)x28x8中将x全部换成2x得f(2x)2f(x)(2x)28(2x)8,联立两式解得f(x)x2.所以曲线yf(x)在点(1, f(1)处的切线方程是y12(x1),即2xy10.方法二在等式f(x)2f(2x)x28x8中令x1解得f(1)1,对等式f(x)2f(2x)x28x8两端求导得f '(x)2f ' (2x)2x8,令x1解得f '(1)2, 所以曲线yf(x)

10、在点(1, f(1)处的切线方程是y12(x1),即2xy10.9. 填4. 四边形ABCD适合(1), 四面体ACB1D1适合(2), DB1C1D1适合(3), DA1C1D1适合(4),因此正确的结论有4个.10. 8Sn+13Sn5Sn+2, 即8(Snan+1)3Sn5(Snan+2), 所以8an+15an+2, q.11. 32.解法一 ·()···32.解法二 取BC的中点D, 则··()···()·()(22)32.12. 设删去的一个数是x,则1xn, 则删去的一个数是1,则

11、平均数不减, 平均数为,删去的一个数是n,则平均数不增, 平均数为, 所以35, 69n71.当n71时, 35,解得x56,当n70时无解,所以x56. 13.方法一 因为(xy)24xy, (1x)(1y)2,所以, xy1xy,(1xy)24xy,即12xy(xy)24xy, 1(xy)26xy,所以两边同除以xy得 xy6.方法二 因为(1x)(1y)2,所以,21xyxy1xy2(1)2,所以1,xy(1)232,所以3xy2,两边平方得1(xy)26xy,所以两边同除以xy得 xy6.方法三 由柯西不等式得(1x)(1y)(1)2,所以1,xy(1)232,由于函数f(t)t在(0

12、,32上单调递减,所以xy326.14. ,因为x, x, x成等比数列, 则112,所以1x2x2,于是x1,从而化为1x,注意到0x1, 解得x,所以x.15.(1) 在三棱柱ABCA1B1C1中, C1B1CB, 所以CBAB, 又因为CBB1B, ABB1BB,所以CB平面A1AB, 因为CBÍ平面CA1B, 所以平面CA1B平面A1AB；(2)由C1B1平面A1AB, 得平面A1AB平面BCC1. 过A作AH平面BCC1, H为垂足, 则H在B1B上, 连接C1H, 则AC1H为直线AC1与平面BCC1所成的角.连接AB1, 由四边形A1ABB1是菱形, ABB1=60o,

13、可知ABB1为等边三角形, 而H是BB1的中点, 又AB14, AH2, 于是在直角C1B1A中, AC15,在直角AH C1中,sinA C1H, 因此, 直线AC1与平面BCC1所成的角的正弦等于.(3)因为四边形BCC1B1是矩形，C1B1=3，ABB1为等边三角形,所以BB14, 所以BCC1的面积为×3×46, 由(2) AH平面BCC1, AH2,所以三棱锥A1BCC1的体积V×BCC1的面积×AH4.16. (1)由a1S1(a11)(a13)及an0得a13.由Sn(an1)(an3),得Sn-1(an-11)(an-13).所以an(a

14、n1)(an3)(an-11)(an-13)(aa-1)2(anan-1).整理得2(anan-1)(anan-1)(anan-1).因为anan-10,所以anan-12, 即an是以3为首项公差为2的等差数列,于是an2n1.(2)因为an2n1,所以Snn(n2), bn(),Tnbk()(1).17.(1) c(2,3)(1,3)(,).(2)设a(x,y), c(x,y),则(x,y)(x,y)(x2y)(2,1)(xy, xy),所以, 于是，故A(xy)B(xy)C0,从而, (3A4B)x(4A3B)yC0.由于A, B不同时为零,所以3A4B, 4A3B也不同时为零.于是向量

15、c的终点在一条直线(3A4B)x(4A3B)yC0上.(3)设b(b1, b2), 则bb1,对任意实数t, 取a(t,t2), 则c(t,t2)(2(t,t2)×(b1, b2)(b1, b2)(t,t2)(2tb12t2b2)(b1, b2)(12b)t2b1b2t2, 2b1b2t(12b)t2).因为c的终点在曲线C上,所以(12b)t2b1b2t2)22b1b2t(12b)t2. 由于t为任意实数,比较式两边t的系数得12b0, (2b1b2)22b1b2, 12b0,从而, bb, b1b20,所以, b±(,).对曲线C中任意点(x0,y0),可知(y0, x

16、0)在曲线C上, 反之亦然. 故曲线C：x2y与曲线C：y2x关于直线l：yx对称. l的方向向量d(1,1), 因为d ×b0,所以db, 即直线l与向量b垂直.18. （1）连结OP，设，则在AOP中，由余弦定理得在BOP中，由余弦定理得则，即有，定义域为 （2）解法一：由（1）得 = 当且仅当，即时取等号，此时答：当AP为km时，“总噪音影响度”最小 （2）解法二：令，则，由，得(舍)当时，函数在上是单调减函数；当时，函数在上是单调增函数当，即时，y有最小值答：当AP为km时，“总噪音影响度”最小19. （1）由，得直线的倾斜角为，则点到直线的距离，故直线被圆截得的弦长为，直线

17、被圆截得的弦长为，（3分）据题意有：，即，（5分）化简得：，解得：或，又椭圆的离心率；故椭圆的离心率为（2）假设存在，设点坐标为，过点的直线为；当直线的斜率不存在时，直线不能被两圆同时所截；故可设直线的方程为，则点到直线的距离，由（1）有，得=，故直线被圆截得的弦长为， 则点到直线的距离，故直线被圆截得的弦长为， 据题意有：，即有，整理得，即，所以4|7kkmn|3|7kkmn|,即4(7kkmn)3(7kkmn)或4(7kkmn)3(7kkmn),也就是(49m)kn0或(1m)kn0与k无关.于是或,故所求点坐标为（1，0）或（49，0） 方法二 对式两边平方整理成关于的一元二次方程得，关

18、于的方程有无穷多解，故有：，故所求点坐标为（1，0）或（49，0） （注设过P点的直线为后求得P点坐标同样得分） 20. (1) f()2×alnalnalnaln.因为, 所以1, ln0,又a0,故aln0,所以f()成立.(2)因为f(x)(a3)xx2对x1,e,恒成立，故2xalnx(a3)xx2, a(xlnx)x2x,因为x1,e,所以xlnx0,因而a.设g(x), x1,e.因为g' (x),当x(1,e)时, x10, x1lnx0,所以g' (x)0,又因为g(x)在x1和xe处连续, 所以g(x)在x1,e时为增函数,所以ag(e).附加题21

19、.从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分A选修41几何证明选讲如图, 在锐角ABC中, 三条高AD, BE, CF交于点H, 证明点H是DEF的内心.(三条内角平分线的交点)证明 在四边形BDHF中, 由于HDBD, HFBF, 所以B,D,H,F四点共圆，HDFFBH.因为BHAC, 所以FBH90oBAC, 即HDF90oBAC,同理, 在四边形CDHE中, C,D,H,E四点共圆，HDE90oBAC,于是, HDFHDE.由对称性, DFHEFH, 所以H是DEF的内心.B选修42矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设曲线C: xy1在矩阵(0)对应的变换作用下得到曲线F，

20、且F的方程为x2y2a2(a0), 求和a的值.解 设P(x0,y0)是曲线C上任意一点, 点P(x0,y0)在矩阵对应的变换下变为点P'(x0',y0') , 则有 , 所以 .又因为点P在曲线C上，所以由x0y01,得(x0'2y0'2)sinqcosq(cos2qsin2q)x0'y0'1,要使得方程变为x2y2a2(a0),必须cos2qsin2qcos2q0,因为0,所以q.这时a22, a.C选修44参数方程与极坐标在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数), 圆C的参数方程是(为参数), 直线l与交于两个不同的点A

21、, B, 点P在圆C上运动, 求PAB面积的最大值.解 直线l的普通方程是xy10, 圆C的普通方程是x2y21, 它们交于两点A(1,0), B(0,1), 设点P的坐标为(cos,sin)(02p), 则点P到直线l的距离为d,当时,d取最大值, 因为AB,所以当P为(,)时, PAB面积最大,最大值为.D选修45不等式证明选讲证明对任意正数ab的算术平均A有BA.证明 因为BA,所以BA,而,所以 BA. 22. 【必做题】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.解（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到