141《生活中的优化问题举例一》课件(新人教选2-2)

1、规格（规格（L）21.250.6价格（元）价格（元）5.14.52.5问题背景：问题背景：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？）对制造商而言，哪一种的利润更大？例例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是

2、厘米，已知在不是瓶子的半径，单位是厘米，已知在不考虑瓶子的成本的前提下，每出售考虑瓶子的成本的前提下，每出售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？的利润何时最大，何时最小呢？2( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 解：解：每个瓶的容积为每个瓶的容积为:)(343mlrp p每瓶饮料的利润：每瓶饮料的利润：238 .0342 .0)(rrrfyp p p p

3、 32= 0.8 (-)3rr)60( r)(343mlrp p极小值极小值例例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知在不是瓶子的半径，单位是厘米，已知在不考虑瓶子的成本的前提下，每出售考虑瓶子的成本的前提下，每出售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮

4、料的利润为y，则，则238 .0342 .0)(rrrfyp p p p 32= 0.8 (-)3rr)60( rr(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 f (r)在在(0，6上只有一个极值点上只有一个极值点由上表可知，当由上表可知，当r=2时，利润最小时，利润最小极小值极小值解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则238 .0342 .0)(rrrfyp p p p 32= 0.8 (-)3rr)60( r当当r(0，2)时，时，( ) (0)0f rf答：当瓶子半径为答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，时，每瓶饮料的利润最大，当瓶

5、子半径为当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小时，每瓶饮料的利润最小.28.8p p故故f (6)是最大值是最大值r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 极小值极小值而当而当r(2，6时，时，( ) (6)_f rf例例2、海报版面尺寸的设计：、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为心面积为128dm2，上、下两边各空，上、下两边各空2dm，左、右两边各，左、右两边各空空1dm，

6、如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？2dm2dm1dm1dm解：设版心的高为解：设版心的高为xdm，则版心的，则版心的宽宽 dm，此时四周空白面积为，此时四周空白面积为128x128( )(4)(2)128S xxx51228 (0)xxx2512( )2Sxx( )016-16Sxxx令令可可解解得得（舍舍去去）x(0，16)16(16，+)S (x)0S (x)-+减函数减函数 增函数增函数 极小值极小值列表讨论如下：列表讨论如下：S(x)在在(0，+)上只有一个极值点上只有一个极值点由上表可知，当由上表可知，当x=16，即当版心高为，即当

7、版心高为16dm， 宽为宽为8dm时，时，S(x)最小最小答：当版心高为答：当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，海报四周的时，海报四周的 空白面积最小。空白面积最小。2512512( )28( )2S xxSxxx，解决优化问题的方法：解决优化问题的方法： 通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有力的工具，其基本思路如以下流程图所示力的工具，其基本思路如以下流程图所示优

8、化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案问题情景二：汽油使用效率何时最高问题情景二：汽油使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量我们知道，汽油的消耗量 w (单位单位:L)与汽车的速度与汽车的速度 v (单位单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车是汽车速度速度 v 的函数的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题：根据实际生活，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大汽油的消耗量越大?（2）当汽车的行驶路程一定时，是车速

9、快省油还是）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是 车速慢的时候省油呢？车速慢的时候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说汽油的使用效率越高（即越省油）。汽油的使用效率越高（即越省油）。 若用若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则来表示每千米平均的汽油消耗量，则这里的这里的w是汽油消耗量，是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程是汽车行驶的路程wG =s如何计算每千米路如何计算每千米路 程的汽油消耗量？程的汽油消耗量？例例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的平均消耗率平均消耗率 g（即每小

10、时的汽油消耗量，（即每小时的汽油消耗量， 单位单位: L / h）与汽车行驶的平均速度与汽车行驶的平均速度v（单位（单位: km）之间，有如图的）之间，有如图的函数关系函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来，那么如何根据这个图象中的数据来解决汽油的使用效率最高的问题呢？解决汽油的使用效率最高的问题呢？v(km/h)g (L/h)O12090305051015分析：分析：每千米平均的汽油消耗量每千米平均的汽油消耗量 ，这里，这里 w是汽油是汽油消耗量，消耗量，s是汽车行驶的路程是汽车行驶的路程w=gt，s=vtwG =sgtgvtvwG =sP(v，g) 的几何意的几何意

11、 义是什么？义是什么？gv如图所示，如图所示， 表示经过原点表示经过原点与曲线上的点与曲线上的点 P(v，g)的直线的直线的斜率的斜率kgvmin(90)kf所以由右图可知，当直线所以由右图可知，当直线OP为曲线的切线时，即斜率为曲线的切线时，即斜率k取取最小值时，汽油使用效率最高最小值时，汽油使用效率最高0.07例例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量耗油量y（升）关于行驶速度（升）关于行驶速度x（千米（千米/小时）的函数解析式小时）的函数解析式可以表示为：可以表示为：若已知甲、乙两地相距若已知甲、乙两地相距100千米。千米

12、。 （I）当汽车以）当汽车以40千米千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油为乙地要耗油为 升升; （II）若速度为若速度为x千米千米/小时，则汽车从甲地到乙地需小时，则汽车从甲地到乙地需行驶行驶 小时，记耗油量为小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为升，其解析式为: . (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？最少？最少为多少升？313( )8(0120).12800080f xxxx17.5 1 0 0 x3213100180015( )(8).(0120),1280008

13、012804h xxxxxxx3213100180015( )(8).(0120),1280008012804h xxxxxxx332280080( )(0120)640640 xxh xxxx练习练习2：已知某厂每天生产：已知某厂每天生产x件产品的总成本为件产品的总成本为225000200()40 xcx元 若受到产能影响，该厂每天至多只能生产若受到产能影响，该厂每天至多只能生产800件产品，件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？解：设平均成本为解：设平均成本为y元，每天生产元，每天生产x件产品，则件产品，则25000200(0800

14、)40cxyxxx225000140yx 001000yx由，可求得练习练习2：已知某厂每天生产：已知某厂每天生产x件产品的总成本为件产品的总成本为225000200()40 xcx元变题：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产变题：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？函数在函数在(0，1000)上是减函数上是减函数800 xy当时， 取最小值答：每天生产答：每天生产800件产品时，平均成本最低件产品时，平均成本最低练习练习、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的、经统计表明

15、，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量耗油量y（升）关于行驶速度（升）关于行驶速度x（千米（千米/小时）的函数解析式小时）的函数解析式可以表示为：可以表示为：若已知甲、乙两地相距若已知甲、乙两地相距100千米。千米。 （I）当汽车以）当汽车以40千米千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油为乙地要耗油为 升升; （II）若速度为若速度为x千米千米/小时，则汽车从甲地到乙地需小时，则汽车从甲地到乙地需行驶行驶 小时，记耗油量为小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为升，其解析式为: . (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？最少？最少为多少升？313( )8(0120).12800080f xxxx17.5 1 0 0 x3213100180015( )(8).(0120),1280008012804h xxxxxxx3213100180015( )(8).(0120),1280008012804h xxxxx