2019版一轮优化探究理数练习：第三章第一节导数的概念及其运算含解析

1、课时作业塞可籃易J一、填空题11 已知曲线y= -上一点A(1,1)，则该曲线在点A处的切线方程为 .X1 1解析：y' =(X)' = X2,故曲线在点A(1,1)处的切线的斜率为一1,故所求的切 线方程为 y 1二一(x 1),即为 x+ y 2 = 0.答案：x+ y 2= 02 已知 f(x) = x解析：设 P(xo, yo), v f' (x) = 4x3 1, f' (xo)=4x3 1,由题意知 4x0 1= 3, xo = 1,则 yo = 0即 P(1,0). + 3xf' (2),则 f' (2)=.解析：由题意得f'

2、; (x) = 2x+ 3f', f' (2) = 2X 2 + 3f' (2), f' (2)= 2.答案：23若曲线f(x)= x 点P是曲线x2 y 2lnx= 0上任意一点，则点P到直线y= x 2的最短距离为.解析：y= x2 2ln _x = x2 In x, y' = 2x 丄，x1 1令y' = 1,即2x x= 1,解得x= 1或x=豕舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y= x,其到直线y= x 2的距离.2即为所求.答案：2nn 已知函数 f(x) = f'(4)cos x+ sin x,则 f(4)的值为.

3、解析：因为 f' (x) = f' ©sin x+ cos x,所以 f' (4) = f'($鬥寸+ cos 4? f' (4)=2 1,故冊=f' (4)cos 4+ sin 4? f(4) = 1. x在点P处的切线平行于直线3xy= 0,则点P的坐标为 答案：16设直线 尸一3x+ b是曲线 尸x3 3x2的一条切线，贝U实数b的值是.解析：求导可得y' = 3x2 6x,由于直线y= 3x+ b是曲线y= x3 3x2的一条 切线，所以3x2 6x= 3,解得x= 1,所以切点为(1， 2),同时该切点也在直 线y=

4、3x+ b上，所以代入直线方程可得 b= 1.答案：17.等比数列an中，a1 = 2, a8 = 4，函数 f(x) = x(x a” ( a2)(x a8)，则 f' (0)解析：f' (x) = x'(x a1)(x a2)(x a8) + (x a”(x a2)(x a8)' x=(x a1)(x a2)(x a8) + (x a1)(x a2)(x a8) ' x所以 f' (0)= (0 a”(0 a2)(0 a8)+ (0 a”(0 a2)(0 a8)' 0 = aa2a*. 因为数列an为等比数列，所以 a2a7= a3a

5、6 = a4a5= aa8= 8,所以 f' (0) = 84= 212. 答案：2128.设函数f(x) = £3 +逻严x2 + tan出其中氏0,务，则导数f'的取值范围是.解析：f' (1)= (sin 0 x+ , 3cos 0x)|x= 1=sin 0+ 3cosr n 3 n二+ n 3, r，n2 sin(+ 3) 庁,1, f' (1) 2, 2.答案：2, 29如图中，有一个是函数 f(x) = fx3+ ax2 + (a2 1)x+ 1(a R,a0)的导函数 f' (x)t-x解析：I f' (x) = x2 +

6、 2ax+ (a2 1),导函数f(X)的图象开口向上.又 aM0,二其图象必为第(3)个图.由图象特征知f' (0) = 0,且一 a>0, a= 1.1 1 故 f(1)= 3 1 +1 = 3.1答案：1二、解答题10. 求下列函数的导数.(1) y= (2x2 + 3)(3x 1);(2) y= ( X 2)2;(3) y= x sin qcos .解析：(1)y' = (2x2 + 3)' (3x 1) + (2x2 + 3) (3x 1)' = 4x(3x 1) + 3(2x2 + 3)=218x 4x+ 9.(2)V y= ( X 2)2 =

7、 x 4 x+ 4,1 *工'一冷 l/j-) ' + 4 *- 1 4 » 1 2 JL -.x x 1(3) v y=x sin 2cos 2=xqs in x,1=x' (qsin x)'1 cos x.111. 设函数f(x) = ax+x+b(a, b Z),曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 y= 3.(1) 求y=f(x)的解析式；(2) 证明曲线y= f(x)上任一点处的切线与直线x= 1和直线y= x所围三角形的面积 为定值，并求出此定值.1解析：(1)f' (x) = a x+ b 2,12a+ 2+ b =

8、 3于是a 2+b2=0解得*a二 9 或b81由 a, b Z,故 f(x) = x+.x I1(2)在曲线上任取一点(xo, xo+x；二).2由f' (x°)= 1 厉p知，过此点的切线方程为y X： 1二1 y(x令x=1得y=汨，切线与直线x=1的交点为(1,汨).令y=x得y= 2xo 1,切线与直线y= x的交点为(2xo 1,2xo 1).直线x= 1与直线y=x的交点为(1,1).1 x0+112从而所围三角形的面积为21x01 1| |2x0 1 1匸2|x01 |2x0 2匸2.所以所围三角形的面积为定值2.12. 设函数f(x) = x2 aln x与

9、g(x) = gx .x的图象分别交直线x= 1于点A, B, a且曲线y= f(x)在点A处的切线与曲线y= g(x)在点B处的切线斜率相等.(1)求函数f(x), g(x)的解析式；当a>1时，求函数h(x) = f(x) g(x)的最小值；1 1当a<1时，不等式f(x)>m g(x)在x 4, 2】上恒成立，求实数m的取值范围.解析：(1 )由 f(x) = x2 aln x,2得 f' (x) =宁.由 g(x)=ax x,得 g' (x) 2Yx a 得 g (x)= 2a x.又由题意可得f' (1) = g' (1),2 a即2

10、a=IT,1故 a = 2 或 a=2所以当 a= 2 时，f(x) = x 2ln x,1g(x)=尹x；12 1当 a = 2时，f(x) = x 2ln x,g(x)= 2x x.(2) 当 a>1 时，h(x) = f(x) g(x)=x 2ln xx+ x,2 11所以 h' (x)二2xx2+22 x 1 x+1 x1x 2&(x 1)4 xx+ x+ x+ 1 2x由 x>0,>0.4 x , x+ , x+x+ 1 ；x2x故当x (0,1)时，h' (x)<0, h(x)单调递减； 当 x (1,+x)时，h' (x)>0, h(x)单调递增, 所以函数h(x)的最小值为(3) 当 a=1时,f(x) = x2 *ln x,g(x)= 2x x.1 1 当x 4,刁时，2,1 4x 1f(x)=2x矿 4x2<0，i if(x)在【4，2上为减函数，i i if(x)> f(2)= iixii i当x 4, 2时，g(x)二2衣二为>0, g(x)在【4, 2上为增函数,