高中数学圆锥曲线重要结论

1、1.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2.PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.,以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.5.若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.6.椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则.7.椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , ).8.过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q，A为椭圆长轴上一个顶点，连AP 和AQ交F椭圆

2、准线于M、N两点，则MFNF.9.过椭圆焦点F的直线与椭圆交于P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.10.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。1.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2.PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切：P在右支；外切：P在左支）4.若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.5.若在双曲线（a0,b0）

3、外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦.6.双曲线（a0,bo）的焦点为F1，F 2，点P为双曲线上一点，则双曲线的焦点角形.7.双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , 当在右支上，, 当在左支上时,8.过双曲线焦点F作直线与双曲线交于P、Q，A为双曲线长轴上一顶点，连AP 和AQ交于焦点F双曲线准线于M、N，则MFNF.9.过双曲线焦点F的直线与双曲线交于P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.10.AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点则，即。11.在内，被Po所平分的中点弦的方程.过Po的弦中点的

4、轨迹.1.若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.2.设椭圆（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.3.若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0e时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.4.P为椭圆（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.5.椭圆与直线有公共点的充要条件是.6.已知椭圆（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且（1） ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值

5、是.7.过椭圆（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.8.已知AB在椭圆（ ab0）上，线段AB的中垂线与x轴相交于点, 则.9.设P点是椭圆（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .10.设A、B是椭圆（ ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .11.已知椭圆（ ab0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.12.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的

6、圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.13.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率)（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 14.椭圆（abo）的顶点,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点轨迹.15.过椭圆上一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.1.双曲线顶点,，与y轴平行的直线交双

7、曲线于P1、P2,A1P1与A2P2交点轨迹.2.过上一点作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.3.若P为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.4.设双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.5.若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1e时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共

8、线且和在y轴同侧时，等号成立.7.双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是.8.已知双曲线（ba 0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1） ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.9.过双曲线（a0,b0）右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.10.双曲线（a0,b0）,A、B在双曲线上，线段AB的中垂线与x轴交于, 则或.11.设P点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .12.设A、B是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲

9、线的半焦距离心率，则(1). (2) .(3) .13.已知双曲线（a0,b0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.15双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率)(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线

10、段分成定比e.半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。求的最小值。双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离 例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数） ， 再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则 消去t，得 例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。 解析：的几何意义为，曲线上的点与点（3，3）连线的斜率，如图所示 例4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为_。 例5. 已知椭圆：，直线：，P是上一点，

11、射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。如图，共线，设， ，则， 点R在椭圆上，P点在直线上， 即 化简整理得点Q的轨迹方程为： （直线上方部分）例6. 求经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程。 设 则圆心为，在直线上 解得 故所求的方程为例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。 解：设，则 <2-1>得即 设P1P2的中点为，则 又，而P1、A、M、P2共线 ，即 中点M的轨迹方程是例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB为直腰作直

12、角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线的方程； （2）计算出点P、Q的坐标； （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.(1 ) 显然, 得直线的方程为；（2）由方程组解出、； （3）, . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程得 =0即 在直线方程中，分别令y=

13、0，x=0，求得 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 代入得 即为所求顶点P的轨迹方程例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. （1）原点到直线AB：的距离.故（2）把中消去y，整理得 . 设的中点是，则 即则k=±. 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，ABF2的面积最大值为12 （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程 （1）设, 对 由余

14、弦定理, 得 得 （2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入，消去得 ,整理为的一元二次方程，得 .则x1、x2是上述方程的两根且，也可这样求解： AB边上的高 ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 另一解法 设过左焦点的直线方程为： 椭圆的方程为：由得：于是椭圆方程可化为：把代入并整理得： 是上述方程的两根.,AB边上的高,当且仅当m=0取等号，即由题意知, 于是 .故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 例5 已知直线与椭圆

15、相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.（1）设A、B两点的坐标分别为 得, 线段AB的中点坐标为（）. 由已知得，故椭圆的离心率为 . （2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由已知得 ，故所求的椭圆方程为 .例6 已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ，故，所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得例7 如图，在RtABC中，CBA=90°，AB=2，AC=。DOAB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；A O B C（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围（1）建立平面直角坐标系, 如图所示| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=动点P的轨迹是椭圆曲线E的方程是 . （2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得设M1（, 则 i) L与y轴重合时， ii)