第七章线性空间与线性变换§1线性空间定义与性质

1、第七章第七章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换 1 线性空间定义与性质线性空间定义与性质 定义定义 设设V为为非空集合，非空集合，P为一数域（对四则运算封闭的数集合）。为一数域（对四则运算封闭的数集合）。V中有两种运算中有两种运算 “加法加法”：任意：任意， V,唯一确定唯一确定 = = + V； “数乘数乘”：任意：任意V及及任意任意k P,唯一确定唯一确定= kV.且满足以下且满足以下8条运算律：条运算律：+= +；( + )+ = +( +);V中存在零元素中存在零元素0，使，使+0= 0+=；任意任意V，存在其负元素，存在其负元素-V，使，使 +(- )= 0；1 = ;任意任意k

2、 , lP,(kl) =k(l)=l(k); k(+)= k+k ；(k+l)=k+l. 则称则称V为数域为数域P上的上的线性空间线性空间.第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换1 线性空间定义与性质线性空间定义与性质(续续1)例例1 Rn对向量的加法和数乘构成对向量的加法和数乘构成R上的上的线性空间。线性空间。向量向量空间必为线性空间。空间必为线性空间。线性空间为线性空间为向量向量空间的抽象，空间的抽象，线性空间中的元素也称为线性空间中的元素也称为“向量向量”。例例2 Pxn=f(x)=a0+a1x+an-1xn-1|ai P (次数小于次数小于n的多项式全体的多项式全体)对多

3、项式的加法和数乘构成对多项式的加法和数乘构成P上的上的线性空间。线性空间。n次多项式全体不是次多项式全体不是线性空间线性空间例例3 Pmn=A=aijmn|aij P对矩阵的加法和数乘构成对矩阵的加法和数乘构成P上的上的线性空间线性空间第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换1 线性空间定义与性质线性空间定义与性质(续续2)例例4 设设R+=全体正实数全体正实数。对任意。对任意a,b R+，定义，定义1.加法：加法：a b=ab; 2.数乘数乘:k a=ak.问：问： R+是否是是否是R上的上的线性空间？线性空间？第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换1 线性空间定义

4、与性质线性空间定义与性质(续续3)线性空间线性空间的性质：线性空间线性空间的性质：1、零元素唯一；、零元素唯一；2、任意元素的负元素唯一；、任意元素的负元素唯一；3、0=0；4、若、若k=0,则则 k=0或或=0.第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换1 线性空间定义与性质线性空间定义与性质(续续4)定义：设定义：设W为线性空间为线性空间V的非空子集，若的非空子集，若W对对V的加法、的加法、 数乘也构成线性空间，则称数乘也构成线性空间，则称W为为V的（线性）子空间。的（线性）子空间。定理定理1 线性空间线性空间V的非空子集的非空子集W为为V的子空间的充要条件的子空间的充要条件为为

5、W对对V的加法、数乘封闭的加法、数乘封闭.如如0、V均为均为V的子空间，叫作的子空间，叫作V的平凡子空间的平凡子空间.又如又如11121222.0.00.nnijnnaaaaaWaPa为为Pnn的子空间的子空间.第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换2 基、维数、坐标基、维数、坐标向量空间的理论可平行移到线性空间中来向量空间的理论可平行移到线性空间中来.如线性组合、线性表示、线性相关、最大无关组、秩等如线性组合、线性表示、线性相关、最大无关组、秩等.又又1.1, 2,m线性相关的线性相关的充要条件为：充要条件为： 存在不全为零的数存在不全为零的数k1,k2,km,使使 k11+k

6、2 2+kmm=0；2.向量组向量组A可由向量组可由向量组B线性表示，则线性表示，则 rArB；线性无关的线性无关的充要条件为：充要条件为：k11+k2 2+kmm=0 时时ki必全为零；必全为零；3.设设1, 2,m线性无关，线性无关， 而而1, 2,m，b线性相线性相 关，则关，则b可由可由1, 2,., m唯一地线性表示唯一地线性表示.第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换2 基、维数、坐标（续基、维数、坐标（续1）定义定义 设设V为数域为数域P上的上的线性空间，线性空间， V中中向量向量 1, 2,., r 满足：满足： 称称k1,k2,.,kr为为在基在基1, 2,.,

7、 r下的坐标下的坐标.1) 1, 2 , . ,r线性无关；线性无关； =k1 1 +k2 2+.+kr r2) V中任意向量中任意向量均可由均可由1, 2,., r线性表示：线性表示：则称则称1, 2,., r为为V的一组基的一组基，称称V为为r维线性空间维线性空间 （dimV=r）.1212(,.,).rrkkk 第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换 2 基、维数、坐标（续基、维数、坐标（续2）例例1 求求Pxn（次数小于（次数小于n的多项式全体）的一组基与维数的多项式全体）的一组基与维数. 解：解：1,x,x2,xn-1线性无关，线性无关，(当当 k0+k1x +k2x2

8、+ +kn-1 xn-1 = 0时，时，ki必全为必全为0）又对任意又对任意f(x)=a0+a1x +a2x2+ +an-1 xn-1 Pxn,显然显然f(x)可由可由1,x,x2,xn-1线性表示，线性表示，1,x,x2,xn-1为为Pxn的一组基，的一组基，dim Pxn=n.第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换 2 基、维数、坐标（续基、维数、坐标（续3）解：设解：设Eij Pmn，且其第，且其第i行第行第j列元素列元素aij=1，其余元，其余元素均为素均为0，则，则Eij(i=1,2,m;j=1,2,n)线性无关，线性无关，例例2 求求Pmn=A=aijmn|aij P

9、的一组基与维数的一组基与维数. 又对任意又对任意A=aijmn Pmn,A可由可由Eij(i=1,2,m;j=1,2,n)线性表示线性表示: Eij(i=1,2,m;j=1,2,n)为为Pmn的一组基，的一组基， 11mnijijijAa Edim Pmn=mn第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换 2 基、维数、坐标（续基、维数、坐标（续4） 设设1, 2 , . ,r为线性空间为线性空间 V的一组的一组基基,则则 V =L(1, 2,., r) = k11+k22+ . +krr |kiP 第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换 2 基、维数、坐标（续基、维数、

10、坐标（续5）2;21;1.cbcabc 例例3 Px3中，求中，求f(x)=2x2-x+1在在基基:1,x,x2 与基与基: 1,x+1,(x+1)2下的下的坐标坐标. 解：解： f(x)在基在基下的下的坐标为坐标为1，-1，2；设设f(x)=a+b(x+1)+c(x+1)2,则则 f(x)=a+b+c+(b+2c)x+cx2f(x)在基在基下的下的坐标为坐标为:4,-5,2.2;5;4.cba 第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换111 12121212 122221122.nnnnnnnnnnaaaaaaaaa定义：设定义：设：1，2，n

11、及及：1,2,n为线性为线性空间空间Vn的两组基，且有基变换公式：的两组基，且有基变换公式：记作：记作： 称称A=aijnn为从基为从基到基到基的过渡阵的过渡阵.1112121222121212.(,.,)( ,.,).nnnnnnnnaaaaaaaaa 第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换3 基变换与坐标变换（续基变换与坐标变换（续1）12.nxxXx定理定理2 设设A为从基为从基：1，2，n到基到基：1,2,n的过渡阵，则（的过渡阵，则（1） A可逆可逆,且从且从基基到基到基的过渡阵为的过渡阵为A -1；（；（2）若向量）若向量在在两组基下的坐标分别为两组基下的坐标分别为及

12、及 X=AY (Y=A-1X)12.nyyYy则则第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换4 子空间的维数与基子空间的维数与基 维数公式维数公式定理定理3 设设： 1，2，t 与与 ： 1,2,s是线性空间是线性空间V中的两个向量组，则中的两个向量组，则（1） L(1，2，t)=L(1,2,s)的充要条件为：的充要条件为： 组组与组与组等价；等价；（2）dim L(1，2，t)=r.第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换4 子空间的维数与基子空间的维数与基 维数公式（续维数公式（续1） 定义定义 设设W1，W2是线性空间是线性空间V的两个子空的两个子空间，则间，则V的

13、子集的子集 W1W2= | W1且且 W2， W1+W2= 1+ 2| 1 W1， 2 W2 分别称为这两个子空间的交与和分别称为这两个子空间的交与和. 定理定理4 线性空间线性空间V的两个子空间的两个子空间W1，W2的交与和仍是的交与和仍是V的子空间的子空间.第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换4 子空间的维数与基子空间的维数与基 维数公式（续维数公式（续2）dimW1+dimW2 = dim(W1+ W2)+dim(W1W2)定理定理5 (维数公式维数公式)设设W1，W2是线性空间是线性空间V的两个子空间，则的两个子空间，则 第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性

14、变换5 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示则称则称T为为V上的线性变换上的线性变换. 定义：设定义：设V是是数域数域P上的线性空间上的线性空间,T是是从从V到到V的一个变换，且满足：的一个变换，且满足：1）对任意）对任意，V, 有有 T( + )=T()+T();2）对任意）对任意V及及任意任意k P,有有 T(k )=kT(). 设设= T()，称，称为为 的像，的像， 为为的原像的原像.第七章第七章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示(续续1)1. T()= , T(-)= - T();线性变换的简单性质：线性变换的简单性质：2. T(k

15、11+k22 +kss) =k1T(1)+k2T(2) +ksT(s)3. 若若1,2 , s线性相关，则线性相关，则 T(1),T(2) ,T(s)线性相关线性相关.反之未必反之未必.第七章第七章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示(续续2)几种特殊的线性变换：几种特殊的线性变换：1.单位变换（恒等变换）单位变换（恒等变换）I:任意任意V,I()= .2.零变换零变换O:任意任意V,O()= .3.数乘变换数乘变换K:任意任意V,K()= k.第七章第七章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示(续续3)

16、例例1 Pxn中，中，f(x),定义定义 (f(x)=f/(x)则则为为Pxn上的线性变换上的线性变换.Rn中的线性变换中的线性变换Y=AX与与n阶方阵一一对应阶方阵一一对应.第七章线性空间与线性变换第七章线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示(续续4)111 12121212 122221122( ).().().nnnnnnnnnnTaaaTaaaTaaa定义：设定义：设 ：1，2，n为线性空间为线性空间V的一组基，的一组基，T为为V上的线性变换，且上的线性变换，且记作：记作： 称称A=aijnn为为T在基在基下的矩阵下的矩阵.1112121222121212.(

17、( ), (),., ()( ,.,).nnnnnnnnaaaaaaTTTaaa 第七章线性空间与线性变换第七章线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示(续续5)任意任意 V ，设，设 =k11+k22+knn所以所以T由由T(1)，T(2)，T(n)确定，即由确定，即由A确定确定. 取定取定V的一组基，则的一组基，则T与与 A一一对应一一对应.1112121222121212.( ,.,)( ,.,).nnnnnnnnaaaaaaTaaa 则则 T() =k1T(1)+k2T(2)+knT(n)第七章第七章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示线

18、性变换及其矩阵表示(续续6)几种特殊的线性变换的矩阵：几种特殊的线性变换的矩阵：1.单位变换单位变换I (在任何基下在任何基下)的矩阵为的矩阵为:2.零变换零变换O (在任何基下在任何基下)的矩阵为的矩阵为:3.数乘变换数乘变换K (在任何基下在任何基下)的矩阵为的矩阵为:E(单位矩阵单位矩阵).O(零矩阵零矩阵):12120.00.0( ),(),.,()( ,.,).00.nnkkKKKk kE.第七章第七章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示(续续7)例例1 Pxn中，中，f(x),定义定义 (f(x)=f/(x)取基取基1,x,x2,xn-

19、1,求求在此基下的矩阵在此基下的矩阵A.解解: (1)=0, (x)=1, (x2)=2x, (xn-1)=(n-1)xn-2, 0100.00020.00003.0.0000.10000.0An第七章第七章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换5 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示(续续8)例例2 R3中，取两组基，中，取两组基，： 1=(2,2,1)T, 2=(1,1,-1)T , 3=(-1,0,1)T是是R3上的上的线性变换：线性变换：123100( )0 ,()1 ,()0111 :1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T ,3=(0,0, 1)T分别求分别求在在基基, 下的矩阵下的矩阵A和和B.第七章第七章 线性空间线性空间 与线性变换与线性变换 5 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示(续续9) 定理定理6 设设T为线性空间为线性空间V上的线性变换，上的线性变换，从基从基：1，2，n到基到基：1,2,n的过渡阵为的过渡阵为P ，T在两组基下的矩阵分别为在两组