高中数学竞赛初赛试题(含答案)

1、高中数学竞赛初赛试题一选择题1.如果集合 AB 同时满足 AUB=123.4 AnB = 1, A，1,B#1 就称有序集对（A,B）为“好集对”。这里的有序集对（A，B ）意指当A丰B, （A,B洌（B,A）是不同的集对,那么“好 集对” 一共有（）个A 64 B 8c 6 D 22 .设函数 f （x） = lg（10"+1 ）,方程 f （_2x）= f（2x 羽解为（）A.log2 lg2 -1 B.lg log210 -1 C.lg lg2 1D.log? log21013 .设 A=100101102|499500是一个 1203位的正整数，由从 100到500的全体三位

2、数按顺序排列而成那么A除以126的余数是（）A 78 B 36 C 6 D 04 .在直角L ABC中，/C=90，CD为斜边上的高，D为垂足. AD =a, BD =b,CD =a-b=1 .设数列GJ的通项为Uk = ka "a -b2-lia -1lb尸 k 1Hb贝如，）3 ,A U2008 = U2007 . U2006B. U2008 = U2007 一 U2006C. 2007U2008 = 2008U2007D. 2008U2008 = 200730075 .在正整数构成的数列1.3.5.7删去所有和55互质 的项之后，把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列峪，

3、易见a1 =1 R = 3 a3 = 7a4,=叫巨那必a2007 = A. 9597B. 5519C. 2831D. 27596.设A = . 1 cos30 + . 1+cos70 +-. 1+cos110 +“1 1+cos870B 二 仁cos30 + 1-cos7 0 + .1 1-cos11 0 + 11-cos87 0则 A:B =A2-2 B 2+、2.B.22C. .2-1 D. ,2+1二.填空题7 .边长均为整数且成等差数列，周长为60的钝角三角 形一共有 f中.8 .设n之2007，且n为使得& =函-亚+i小2+&)取实数值的最小 正整数，则对应此n的

4、K为9 .若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如 6,8,10 都是奇异数.那么在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,799这 10 个数中奇 异数有个.10 .平行六面体 ABCD-ABiGDi中，顶点A出发的三条棱 aa,ab,ad的长度分别为2,3,4，且两两夹角都为60,那么这 个平行六面体的四条对角线ACi,BDi,DBi,CA的长度(按顺序)分别为11 .函数f(：x(g的迭代的函数定义为 f。x )= f (x ) f F %x 户 f ( f (x ),111f(n x 尸 f (f(Rx),gC)(x )=g (x),g，x)=g(

5、g(x )川 g(nkx)=g(g(n'*x)其中n=2,3,4f（9Xx）= g（6）（y）设 f （x）= 2x3,g（x）=3x+2 ,贝U方程组f9%y尸g（6）（z）的解为 | f（9%z户 g（6x）12 .设平行四边形ABCD中，AB = 4,AD = 2,BD = 2T3，则平行四边形ABC原直线AC旋转所得的旋转体的体积为三解答题13 .已知椭圆r：3x2+4y2=12和点Q（q,0）,直线l过Qfi与交于AB 两点（可以重合）.1）若/AOB为钝角或平角（O为原点），q = 4,试确定l的斜 率的取值范围.2）设A关于长轴的对称点为A,F为椭圆的右焦点，q=4,试判

6、断A和F，B三点是否共线，并说明理由.3）问题2）中，若q#4,那么A,F,B三点能否共线？请说明理由.14 .数列 仅由下式确定：xn+ n =1,2,3JlLxi =1，试求 2xn 1lgx2 00整数部分k = lgx2 01（注bl表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.）15 .设给定的锐角LABC的三边长a,b,c,正实数x,y,z满足 ay、上zx_c评其中p为给定的正实数，试求 x y zs = ( b+ c;2a(x+C 2ab y)的最大值z并求出当s此最大值时，x,y,z的取值.安徽省高中数学联赛初赛试题一、选择题1 .若函数丫=9)的图象绕原点顺时针旋转微后，与函数

7、y=g(x曲图象重合，则()(A) g(x)=f，(x) (B) g(x )=f(x ) ( C) g(x)= f，(x) (D) g x)=-fx2 .平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为()(A)椭圆 (B)双曲线的一部分(C)抛物线的一部分(D)矩形3 .下列4个数中与cosl+coszFl+cosZOoS最接近的是() (A) -2008(B) -1(C) 1(D) 20084 .四面体的6个二面角中至多可能有()个钝角。(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 65 .写成十进制循环小数的形式 =0.0004981162549811 625 H20082008其循环节的

8、长度为()(A)30 (B)40(C)50 (D) 606 .设多项式(1 +x 2008 =a0 +aix+HI +a2008x2008 5则 a0a1, 1隔 中共有() 个是偶数。(A) 127 (B) 1003(C) 1005(D) 1881二、填空题n7 .化简多项式 ' Cnkcmxkjm 1-Xn" = k z=m8 .函数f(X尸，fx 的值域为、5 4cos x 3sin x9 .若数列an满足a1 >0,an = &+第二,(n*2)且具有最小正周1 -a1anJ期 2008,则 a10 .设非负数a1, a21,a2的和等于 1 ,则a1

9、a2a2lHa3 -a2 0 a)的最次值为11 .设点A(1,1), B、C在椭圆x2+3y2=4上，当直线BC的 方程为 时，L ABC的面积最大。12 .平面点集 G=(i,j)|i=1,2,|1,n;j=1,2,|,n,易知 G2 可被 1 个 三角形覆盖(即各点在某个三角形的边上)，G3可被2 个三角形覆盖，则覆盖G2008需要 个三角形。三、解答题13 .将6个形状大小相同的小球(其中红色、黄色、蓝 色各2个)随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小球，记刈为盒中小于颜色相同的盒子的个数， 求 n的分布。14 .设ai圭1,an =“nan"n至2b其中1 表示不超过X

10、的最大 整数。证明：无论ai取何正整数时，不在数列 g的素 数只有有限多个。15 .设圆。1与圆。2相交于A, B两点，圆。3分别与圆。1, 圆。2外切于C, D,直线EF分别与圆。1,圆。2相切于E, F,直线CE与直线DF相交于G,证明：A, B, G三 点共线。全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷一、填空题（每小题8分，共64分）1 . 函 数 f（ = xp7 2x 的4x值x域是.2 .函数y=的图象与y=ex的图象关于直线x + y =1对称.3 .正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于.,> >_22A.-4 .设椭圆工+2=1与双曲线xy=1相切，则 t 1 t

11、 -1t =.5 .设z是复数,则|z1|+|zi | + |z + 1|的最小值等于:6 .设a,b, c是实数,若方程x3+ax2+bx+c = 0的三个根构 成公差为1的等差数列，则a, b, c应满足的充分必 要条件是:7 .设。是 MBC 的内心，AB=5 , AC = 6 , BC = 7 , OP =xOA+yOB +zOC 5 0Ex,y,zW1,动点P的轨迹所覆盖的平 面区域的面积等于 .8 .从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三 角形的概率是.二、解答题（共86分）9 . （20分）设数列M满足ai=。, an=后,n之2 .求an的 71 an通项公式.10 .

12、（22分）求最小正整数n使得n2十n+24可被2010整 除.11 . （22分）已知MBC的三边长度各不相等，D, E, F 分别是NA, NB, 4的平分线与边BC , CA , AB的垂直平分线的交点.求证 :ABC 的面积小于 .QEF 的面积.12 . (22分)桌上放有n根火柴，甲乙二人轮流从中取 走火柴.甲先取，第一次可取走至多n1根火柴，此后 每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走 火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当 n=100时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.全国高中数学联赛安徽省预赛试题 一、填空题(每小题8分，共64分)1 .以|X表示集合X的元

13、素个数.若有限集合A,B,C满足AUB=20, |bUc=30, cUa=40,贝 U | AB 仆 C| 的最大可 能值为.2 .设2是正实数.若 f (x) =Tx2-6ax+10a2+Yx2+2ax + 5a2, xw R 的最小值为10,则a=-3 .已知实系数多项式f (x) =x4 +ax3 +bx2 +cx + d满足f(1) =2 , f(2)=4, f(3)=6 ,则f(0) + f(4)的所有可能值集合为.4 . 设展 开式(5x+1)n =a。+ax+anxn, n*2011 . 若 a2011 =max(a0,a1,，an),贝n=z>AB5 .在如图所示的长方体

14、 A B CD F G由，设P是矩形EFGH的 中心，线段AP交平面BDE于点Q.若 AB =3, AD =2, AE=1,贝if PQ =6 .平面上一个半径r的动圆沿边长a的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积 为y7 .设直角坐标平面上的点（x,y）与复数x + yi 一对应. 若点A,B分别对应复数z,z（z更R）,则直线AB与x轴 的交点对应复数y （用z表示）.8 .设n是大于4的偶数.随机选取正n边形的4个顶 点构造四边形，得到矩形的概率为-二、解答题（第910题每题22分，第11 12题每 题21分，共86分）9 .已知数列an湎是 a1 =a2 =1,an=1 （建3）,74

15、求an的通项公式.10 .已知正整数a1,a2,an都是合数，并且两两互素，求证：-a a2 an 211 .设 f (x) =ax3 +bx +c ( a,b, c是实数)，当 0 4 x«1 时,04 f (x) 41.求b的最大可能值.12 .设点 A(-1,0), B(1,0), C(2,0) ,D 在双曲线 x2y2=1 的左支上，D#A,直线CD交双曲线x2.y2=1的右支于点E.求证：直线AD与BE的交点P在直线x上.2安徽高中数学竞赛初赛试题2012年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷 （考试时间：2012年9月8日9:0011:30）注意：1.本试卷共12小题，满分1

16、50分：2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答;3.书写不要超过装订线；4.不能使用计算器。一、填空题（每题8分，共64分）1,设函数/(x) = arcsin(cos(x),则/(/(/(x)的最小正周期为。2 .设实数x,y满足F - 8x + / - 6y + 24 = 0 ,则x - 2,的最大值为3 .c咤-c吟+c喏-c衅+ c喏=（用数字作答）。4 .设两点C,。在以线段48为直径的半圆弧上，线段4C和线段BD相交于点E，5.44 = 10, JC = 8, BD = 5桓,则ABE 的面积为X2设两个椭圆+产去之和X2y2-5+ )2r2-3r-5 /2+/-7公共的焦点，则/ =06

17、.如图，设正四棱锥尸-ZBC。的体积为1, E,RG,H分别是线段 力氏CD P8, PC的中点，则多面体BEG - CFH的体积为=i有第6题图7 .不超过2012且与210的最大公约数是1的正整数共有 个。8 .设随机变量XN（1,2）, 丫阳3,4） ° 若p（x<o）= p（y>。），则。=二、解答题（第9一10题每题25分，第11一12题每题18分，共86分）9 .已知/8C 的周长为 1,并且sin2/+ sin 28 = 4sin 4sin 3。（1）证明：43C是直角三角形；（2）求/8C面枳的坡大值。10,设无穷数列凡满足"Ni十(证明:ff-

18、lm当内之2时，凡之后；不存在实数。使得/疡工对所有打都成立.I L设"2 "，州是正整数，求所有满足/(/ +1) = /(工/ +!的内次实系数多项式工312.设“22 0对平面上的任意对个向艮%,%4，以"表示满足口，且叩% 。的实数对亿力的个数，证明:v.l 44解 答一、选择题1 .C. 2 A 3c 4 A 5.B 6.D.2 .逐个元素考虑归属的选择.元素1必须同时属于A和B.元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同 时属于A和B,有2种选择：属于A但不属于B,属 于B但不属于A.同理，元素3和4也有2种选择.但元素2, 3, 4不能同时不属于A,

19、也不能同时 不属于B.所以4个元素满足条件的选择共有2M2M2一2=6种.换句话说，“好集对” 一共有6个. 答：C.3 .令 y =ig(io/+1),贝(y>0,且 i0+i=ioy, 10/=10y-1,-x = lg(10y -1),x= lg(10y -1).从而 f ,(x) = lg(10x -1).令2x,则题设方程为f(-t)=f(t),即lg(10t +1) = lg(10t 1),故lg(10t + 1)(10t 1) =0 , (10t+1)(10t 1) =1 , 102t=2, 2t =lg2,解得 2x =t=2lg2 . 从而 x = log2(2lg2)

20、=l 02g l2g-1 . 答：A.3.注意126 =2M7M9,2,7和9两两互质. 因为A三0 (mod2),A 三(1+0+0) + (1+0+1) + (1+0+2)+ (4+9 + 9)+(5 + 0+0)三 100+101 +102+500 三(100+500)父401 2 三120300三6 ( mod9), 所以a三6 ( mod18).(1)又因为 103 三 一1 ,103n 三(-1)n( mod7 )，所以400400A=Z (500 -i)M103i 三工(500 -i)父(-1)i i z0i 4三(500 -499) (498 -497) (496 -495)(

21、102 -101) 100(mod7) .(2)由(1), (2)两式以及7和18互质，知a三6 (mod126).答：C.另解： 126 = 2x63 5 63999999 , 999999 =106 1 , (106 1)(106n 1),n =1,2,3,.所以A =100 101200 101102 101194 103104 101188 +- +497498 106 4= 100 x (101200 -1) +101102 x (101194 -1) +103104 x (101188 1) +.一+497498 x (106 -1) +(100 101102 1031044974

22、98 49950。=999999B +100 +(101102 十 49950。尺200+2=999999B 100 60060200=999999B +60060300 = 999999C + 60360 ,其中B, C为整数.从而A = 63D+60360 = 63E + 6 ,其中D , E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6. 答:C.4.易见 CD2 = AD ED ,即(a-b)又已知a b = 1 ,故b2 b 1 = 0 .kk 1_a (1-q ) uk -,1 -qk 1, , xk 1a-( -b)a b, k =1,2,3一 .2

23、ab=1, a(a-1)=1, a -a-1=0； b(b+1)=1.显然Uk是首项为ak,公比为q = -b的等比数列的前7ak+1项和.故从而Uk ' Uk 1 =-Lb)k 21 k 2 k 1k 2k 1 i相飞a a-(-b)一 (一b)ak1(a 1)-(-b)k1(-b 1)a b1 k 12k 12 1二a a (-b)b a b= 4ak43 -(-b尸=山书,k = 1,23a b故答案为A.(易知其余答案均不成立)另解：易见 CD2=AD ED ,即(ab)2=ab,又已知 a -b = 1,1ab=1, (a+b)2 = (ab)2 +4ab = 12+4父1

24、= 5 , a+b"5 .解得显然1是首项为b32ak，公比为q = J的等比数列的前k + 1项和，故kk 1、 k 1k 1a (1 -q ) a -(-b)Uk 1 -q1 35、k 1/ 一 5、k 1=忑 ( 一 I) 'k =1,2,3,于是数列Q 就是斐波那契数列1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,，它满足递推关系U"=UkJUk，k= 1,2,3,. 所以答案为A.5. Q可看成是在正整数数列1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,中删去所有能被2, 5或11整除的项之后，把余 下的各项按从小至大顺序排成的数列 .由三阶容斥原理，1, 2,

25、3, 4,，m中不能被2, 5或11整除的项的个数为xm/ 1 j511_ j55_ j221 J0. j110其中e 一不表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.估值：设2007 = Xmm m m m m_ _ _ + +十 5 11 55 22 10m111=m (1-)(1-)(1)1251111 4 10411= mx m x= m, 故m 之 2007M定 5519.2 5 11 114又因为5519X5519 =5519 .一 2|5519J1|5519 |十 |5519 |十 5519 55 J 一 221J0|5519：110=5519-2759-1103-501+100+2

26、50+551-50=2 007,并且5519不是2,5,11的倍数,从而知a2007 = 5519.答：B.又解：Q可看成是在正整数数列1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,中删去所有能被2, 5或11整除的项之后， 把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2, 5, 11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54,-53,，0, 1, 2, 3,，55 中不能被 2, 5, 11 整 除的数为 1,3, 7,9; - 13, 17,19; 21,土23,±27, ±29; ±31, ±37, ±39;±41,±43

27、, ±47, ±49;±51,士53,共 40 个.（或 由欧拉公式，1, 2, 3,，110中不能被2, 5, 11 整除的数的个数，等于 1, 2, 3,，110中与110 互质 的数 的 个数， 等 于111、0 (11Q) =110 M (1)M(1)M (1)=40 ) 2511一显然1, 2, 3,中每连续110个整数，不能被2, 5, 11整除的数都有40个.所以，1 , 2, 3, , 110x50 = 5500 中，不能被2,5, 11整除的数有40X50=2000个.大于5500 中的数不能被2, 5, 11整除的，是5500+1, 5500+

28、3, 5500+7, 5500+9, 5500+13, 5500+17, 5500+19,. 所以5519是第2007个不能被2, 5, 11整除的数，亦 即所求的a20°7=5519. 答：B .6.显然 三+十伫三一 十十。了= cos1.5 - + cos3.5 - +cos5.5 一+.i十cos43.5 -；B _ 1 - cos3 1 - cos71 - cos87、2 -2.2.2=sin1.5sin 3.5 sin 5.5 :：:sin 43.5 .注 意至U2cos8sin 1 0 = sin(i+1 ) 一sin(8 一 1-)2 sin 9sin1 0 = co

29、s(8 -1 ) - cos(9 +1 ),所以2 sin 1二 (sin2.5 -sin 0.5 ) (sin 4.5 -sin 2.5 ) (sin6.5 -sin 4.5 ) (sin 44.5 -sin 42.5 )= sin44.5 -sin 0.5 =2cos22.5 sin 22 )b .' B2 sin 1= (cos 0.5 - cos2.5 ) (cos 2.5 - cos4.5 ) (cos4.5 - cos6.5 )(cos 42.5 o-cos44.5 )=cos0.5 - cos44.5 =2 sin 22.5 sin 22 .故A: B =(2sin1A

30、) : (2sin1 B ) = (2cos22.5 sin22 ): (2sin 22.5 sin22 j= cot 22.5= 21.答：D.另解:-A =cos1.50 +cos3.50 +cos5.50 +cos43.50.2'-B =sin1.5 +sin3.5 ' + sin5.5 '+sin 43.5,A B：i (cos1.5 isin1.5 ) (cos3.5 isin3.5)(cos43.5 i sin 43.5 )2. 221， 一_、， 一一 、k=(cos1.5i sin1.5 )(cos2isin2 )k=01 -(cos2 i sin2 )

31、二(cos1.5 i sin1.5 )1 - (cos2 i sin2 )1-(cos44 isin44)二(cos1.5 i sin1.5 )1 一(cos2 i sin2 )-2 _ _ ' 一 一 一二(cos1.5.一 l、2sin 22 -2i sin 22 cos22isin1.5 ) 厂2sin 1 - 2isin1 cos1_ (cos1.5 isin1.5 )(-2isin22 )(cos22 isin22 )(-2i sin1 )(cos1 i sin1 )sin 22，=r(cos22.5 +i sin22.5 ).sin 1因为金和区是实数，所以£ =

32、加22 8s22.5.2，2. 2 sin1B _ sin 22 sin 22.5 ,2 sin 1A: B2A B cos22.52cos 22.5,2. 2 sin 22.52sin 22.5 cos22.51 cos45sin 451 二2、2答：D.:、填空题（满分54分，每小题9分）7 .解：设 ABC三边长a,b,c为整数，a +b +c =60,a之bc,a,b,c成等差数列，A为钝角，则必有2b=a q b2 c2 ：二 a2.易 向单彳导 60=a+b+c=b+(a+c)=b + 2b=3b , b = 20, a + c=40 ； b2= (a+c)(a-c) , 即 20

33、2 < 40( a - c),10 < a - c. 因 止匕50 <(a +c) +(a -c) =2a,25 < a ,即a 26 .另夕卜， b+c >a,60 = a+b+c a a+a =2a,a <30, a M 29 .易检验(a,b,c) = (26,20,14),(27,20,13),(28,20,12),(29,20,11)者口是 钝角三 角形. 答：4.8 . 注意到 x=j2-也,y = 7TQ2 满足 x2 +y2 =(272)+(2+6) =4 , x,y A0 , 故可令 x = 2cosP , y = 2sin, 0 <

34、 8 < .从而 4c 02 s = 2V2- V2 = 4cos2 日 -2- J =2cos2日-1 =cos，= cos28故 0 =2 4，以8，3 3 二、n 3n ；7 .an = （cosi sin）cos +888isin等.an取实数，当且仅当sin孚=0,当且仅当n=8k, 88kwZ.满足此条件且n之2007的最小正整数n为2008 ,此时 3x2008a。 a2008 cos. cos753. 1.8答：-1.9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方 p3 （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积 P1P2（P1,P2为 不同的质数）.由定义可得27 =33是奇

35、异数（第一类）；42 = 2x3x7不是奇异数；69 = 3x23是奇异数（第二类）；111 =3乂37是奇异数（第二类）；125 =53是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；343 =73是奇异数（第一类）；899 = 900 -1 =302 -12 = （30 + 1） （30-1） =31*29 是奇异数（第二 类）；3599 =3600 -1 =602 -12 = （60+1） （60-1） =6俨59是奇异数 （第二 类）；7999 =8000 -1 =203 -13 =（20 -1）（202 +20 +1）=19父421 是 奇异数（第二类）答：8.10 .解：将向量瓯，A

36、B 5而分别记为a, b, c.则 a =a=2,b=b=3,H=c=4,JULj JAjAC1 =a+b+c,AC = a + b + c,BD1 = a-b + c )DBi = a b -c.耳匚 |、2n 2 f -* 2 f212-2 1T - I f -所以 AC1 =(a+b+c) =a +b +c +2(a b +b c + c a)2. 22.、 一 02.22.=a b c 2(ab bc ca)cos60 = a b c ab bc ca =22 32 42 2 3 3 4 4 2 =55,故 ag|=755.类似地，可算得，BDi=V19, |DBi=V15,ca =+

37、27=3J3.答：、55,卢9, j15, 3V3.11 .令 x-3=t ,易见 x=t+3, f(x) =2x3 = 2(t+3) 3 = 2t+3 , f (x)=2(2t+3) -3 =22t+3,，f (x) =2nt+3 ； 令 y+1=s , 易 见 y=s1, g(y)=3y+2=3(s1)+2=3s1 , g (y) = 3(3s 1) + 2 = 32 s1,， g(y)=3ns-1, n=1,2,3，.因此，题设方程组可化为 29(x-3) 3 = 36(y 1)-1,(1)<29(y-3) +3 = 36 (z + 1)-1,(2) 9_629(z-3)+3 =

38、36(x+1) 1.(3)(1)-，-(3),-(1)得"9629(x-y)=36(y-z),(4)29(y-z) =36(z-x),(5) 9629(z-x) =36(x-y).(6)所以x - y = 0= y - z = 03636 236 3x-y=29(y-z)=R(z-x)=.(x-y)- x = y = z.代入（1）得_96_-2 x=2 2 ,6-31x=323 ,512x-1533 = 729x+728 ,323 x 二一 .2 (x -3) +3 =3 (x +1) -1 , 512(x -3) +3 = 729(x+1) -1 ,31所以原方程组的解为x =

39、y = z=-323 .31323x = y = z = -.3112 .以V一表示平面图形T绕直线l所得旋转体体积.记直线 AC为1,作BM,DN_Ll,交l于E,F,分别交CD ,AB于M,N .过。作PQ_Ll , 分别交 AB,CD于P,Q .由于。是BD 的中点，所以P,Q分别是BN,DM的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为V =V平行四边形 ABCD二 2（V.adn -l ' V平行四边形NPQD）.由于 AB =4, BD =2j§, AD =2 , 易见 ZADB =90： / DBA = 30 =,AO,AD2+DO2=" = V7,AC=2V

40、7D A D C=C C A,A DF FN .2S.ADO AD DO 2 32DF 二二二 二 21AO AO .77AF = JAD2-DF2 =佟=土 从而由圆锥体积公式得77. 712二一二 DF2 AF 一JT12 416 二X =-77.716 7 .49CF=AC - AF= 2,7 -414410.7 J 7 7CO = AO =1)CF : CO = DF : QO ,QO=寸二2历.从而由圆锥体积公式得V平行四边形NPQD _L =V梯形FOQD_L1 2 -：QO CO 312V CDF.V CQO _L =4 DF CF -33 77 2549工)“1000 一 34

41、325122565712255516657 >、c > 16 657、> 1057302、, 7 二V = 2(7 ! : 7 ?. )=2,7?. ( ) = 2 . 7三,=49122549 12251225175.答：所求体积为302位:17513 .解：I ）可设i :x = my+4）与联立得(3m2+4)y2 +24my+36 =0 . 这是y的一元二次方程,B（X2,y2）,则 y +丫2由题设条由判别式。解得m2".记A(Xi"i),- 24m36O 2 . . ) y1y2_2.3m 4 73m 4件， 0a,0B = XiX2+y1y2

42、 <0, 即(my1 +4)(my2 +4) +yy2 <0 ,得(m2 1)y1 y2 - 3 一：二 m :二 5.m(y1 y2) 16 :二0(m2 +1) 36- 十4m -24m-+ 16<0225m33m2 4 3m2 4，J)2m3<一,25即 9(m2 +1) 24m2 +4(3m2 +4) <0 .得-3m2 +25 <0 ,故l的斜率的取值范围为（).因为 F(1,0)，所以 FAi =(为一1,一丫1), FB = (X2.1,y2),从而(xi 1)y2 -(X2 -1)(-yi) =(myi 3)y2 (my2 - 3)yi八 -

43、36- - 24m-二 2my1y2 3( yi y2) =2m 2 3 203m2 4 3m2 4"二可与市共线，即Ai与F、B三点共线.III)假设q#4,过Q(q,0)的直线与交于A、B,且A 关于长轴的对称点为Ai,如果Ai、F、B三点共线.我们 另取点P(4,0).设直线AP与交于Bi,那么如II)的证明，A、F、B三点必共线.故B与Bi重合，从而直线AB和ABi重合，就是AQ与AP重合.所以P与Q重合，q = 4,与假设矛盾.这就是说，q#4时，三点A、F、B不能共i人，22- 4Xnxn ixn线.I4.解：,=l=2Xn+: xn iXnxn2006故n i Xn i

44、i2006)=4Z (Xn2 +i), Xnn i亦即i i2 一 2X2007Xi2006=4£ xn2 +8024 , n d2006=4% xn2 8025 .X2 00 7n =1*)由于9=XnJ<1, n =1,2,3，,且显然Xn>0 ,故 是递减2Xn 1数列，且x _ x1 _1 xx233x2=27=3，X3=TTT177112006%，Xn2n 122006二1(Jn291 2006 3 219<1+2() =1+ 父2004 <1519n 119 121由（*）式得18025 :二 ：二4 151 8025 =8629X2007康，1、

45、,21 ； X2007 ； L-8629802512lg 8629 ： lg X2007 ： lg-lg 8629 <2lg X2007 <-lg 8025 ,- 4 < 2lg X2007 <-3 ,32 < lg X2007 < ,k =g X2007- -2 .15.证明：因为 ABC是锐角三角形，其三边a,b,c满足a,b,c>0 ,以及222222222b+c>b,c+a>b,a+b>c,b +c > a , c + a > b , a +b > c .因此，由平均不等式可知222222222222(b c

46、 - a )x (c a - b ) y (a b - c )z12222-(b2 c2 -a2)x2(2 y2 z2 d22d22z 1 , 222 2,zX 1 , 2/2 2/X'、)-(ca -b )y ()-(ab-c )z (2)y 2x z 2y x222.222222,a y z b z x c x y ,ayz bzx cxy、222, 2.="2十2一 十= (- + 十-)-2(bcx + cay + abz )x y z x y z'从而22,22,2,222,2 , ayz bzX cXV、22(b+c) -a x +(c+a) -b y +

47、(a+b) -c z W(+) =Px y z亦即yy第上式取等式当且仅当x2=y2=z2,亦即x=y=z=.因 a b c(a+b+c)S MP2 S < P2' a b c13（第12题答图）2008参考答案（网友解答，不排除有错）1D 2D 3B 4A （B） 5c 6D 7.cm 8.（-4对洞 9.错题 10.； 11.x 3y 2=0 12.133882113 .P =0 ，P =1 =P =2 =0,P=3 一15515接着用14 .思路：先用反证法证明存在N,使HnMN+1； 数学归纳法证nN时，n-2<an<n+1 ;最后证n之N时， an 

48、1;an+ «an七,这样即一，切自然数m（m占aN）都在数列Q中, 结论正确。15 .利用根轴概念，只需证明$C,D,E,F四点共圆, 以A （或B）为中心进行反演不难得证！2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分）1.答案：4-2 而8.提不：因 0ExE4,设 x-2 = 2cos。（ 0 <a <n ） ?贝U y =4cosa _2sin u +4 =2/5cos（a + 平）+4 （其 中 co S = 2.5 'sin*2,中为锐角），所以当 C(=0 时,ymax=8,当 £ 十中”时,

49、ymin =42/5, 故 y. 4_2,5,8 .2. 答案：1ln(1x)y-1, yT1-x, 1 x =e1_y,解得 y =1 -ln(1 -x). 答案：3.提示：因两函数图象关于直线x + y=l对称，所以3提示：正八面体由两个棱长都相 等的正四棱锥组成，所以任意两个相 邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底 面所成二面角口的两倍.= tana =应， cos2 « =-1 =- 5 贝 U cos2G = 2cos2 a -1 = 一1 .1 tan2 ：334 .答案：4522知，t>1,(日为参数)代入双曲提示：由椭圆方程工工=1t 1 t -1设其参数方程为xj

50、匚cosy = , t -1sin 线方程 xy=1 得 sin2e = 2 . ,t2-1因两曲线相切，金=1, t -15 .答案：1+点提示：在复平面上,设A(-1,0), B(1,0) , C(0,1),则当Z为AABC 的费马点时)|z-1|十|z -i |十|z + 1取得最小值,最小值为6.答案:23, aa ab = -i_ac=327 3设二个根为口 -1,« 5口 +1）则32x +ax +bx+c = (xa +1)(xot)(xa-1),右边展开与左边比较得.a = W ,b = - -1：a ,这就是所求的充要条件.b =(a -1)a + ot(ot +1

51、) + (a +1)(o( 1) = 3a2 1 ) -c =(a - 1)o( (a +1) , 7肖去。得 .a2 .- 27 - 37 .答案：12褥提示：如图，根据向量加法的 几何意义，知点P在图中的三个平 形四边形及其内部运动，所以动点 P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于MBC面积的2倍，即12技8 .答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共 有0个三角形，其中直角三角形有12葭；个，所求“构成直角三角形”的概率是12 C： =6C； 一 7:、解答题（共86分）9 .解：特征根法.又 an+2=4+2an,an.1=d ,1 - an J1 an(10 分)an 2

52、( O an d 2/ o2 an -2二(一2)二(一2)an 1an 1 -1an _2 - 1二111 «2)na (- n2n (- n2-）（220 分）10.20101 n2 n 24 =2 2n2 n2 n2 nn 24 = 0mod2n 24 = 0mod3n 24 = 0mod5n 24 = 0mod672n n = 0mod3« n2 +n =1mod5n = 43mod67分）又 n2 +n =0mod3 £ n =0或 2mod3n2+n=43mod67 = n=10或 56mod67n =77.(22 分)(10n2 + n = 1mod5 £ n = 2mod5故所求最小正整数11.证明：由题设可证 A, BC, D, E,F六点共圆.(10 分)不妨设圆半径为 1,则有 S&bc =(sin2A + sin2B + sin2C),1八=-(sin A sin B sinC).由于 sin2A sin2B sin2C11八 1 八= "(sin2A sin2B) -(sin2B sin2C) -(sin2C sin2A)=sin( A B)sin( A - B) sin( B C)sin( B - C) sin(C A)s