材料力学讲义(精)

1、§ 1-1材料力学的任务1 .几个术语1-1 (b)困1-1 (a)桥式起重机构件与杆件：组成机械的零部件或工程结构中的构件统称为构件。如图1-1a所示桥式起重机的主梁、吊钩、钢丝纯；图 1-2所示悬臂吊车架的横梁 AB, 斜才f C曲B是构件。实际构件有各种不同的形状，所以根据形状的不同将构件 分为：杆件、板和壳、块体.块体杆轴杆件：长度远大于横向尺寸的构件，其几何要素是横截面和轴线，如图 1-3a 所示，其中横截面是与轴线垂直的截面；轴线是横截面形心的连线。按横截面和轴线两个因素可将杆件分为：等截面直杆，如图 1-3a、b;变截面 直杆，如图1-3c；等截面曲杆和变截面曲杆如图1

2、-3b。板和壳：构件一个方向的尺寸（厚度）远小于其它两个方向的尺寸，如图 1-4a 和b所示。块体：三个方向（长、宽、高）的尺寸相差不多的构件， 如图1-4c所示。在本教程中，如未作说明，构件即认为是 指杆件。困12悬臂吊车架图1-4板壳和块体图1-3杆件的种夷横撬面变形与小变形：在载荷作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形， 如图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB,受力后将由原来的位置弯曲到 AB'位置, 即产生了变形。小变形：绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多， 以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时，通常不考虑变形的影响， 而仍可以用变形前的尺寸，此即所

3、谓“原始尺寸原理”。如图 1-1a所示桥式 起重机主架，变形后简图如图1-1b所示，截面最大垂直位移f 一般仅为跨度l 的1/15001/700, B支撑的水平位移A则更微小，在求解支承反力 R、RB时, 不考虑这些微小变形的影响。2 .对构件的三项基本要求强度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗断裂破坏的能力。例如储气罐不应 爆破；机器中的齿轮轴不应断裂等。刚度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗变形的能力。如机床主轴不应变形 过大，否则影响加工精度。稳定性：某些构件在特定外载，如压力作用下，具有足够的保持其原有平衡状 态的能力。例如千斤顶的螺杆，内燃机的挺杆等。构件的强度、刚度和稳定性问题是材

4、料力学所要研究的主要内容。3 .材料力学的任务1）研究构件的强度、刚度和稳定性；2）研究材料的力学性能；3）为合理解决工程构件设计中安全与经济之间的矛盾提供力学方面的依据。构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的力学性能有关，因此实验研究 和理论分析是完成材料力学的任务所必需的手段。§ 1-2变形固体及其基本假设在外力作用下，一切固体都将发生 变形.，故称为变形固体，而构件一般均由固 体材料制成，所以构件一般都是变形固体。由于变形固体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性 质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其 作下列假设：1 连续性

5、假设：认为整个物体所占空间内毫无空隙地充满物质。2均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同。3各向同性假设：认为物体内在各个不同方向上的力学性能相同。§ 1-3 外力及其分类外力是外部物体对构件的作用力，包括外加载荷和约束反力。1. 按外力的作用方式分为：体积力和表面力1）体积力：连续分布于物体内部各点上的力，如物体的自重和惯性力。2）表面力：作用于物体表面上的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于物体表面的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用于一点的力，如火车轮对钢轨的压力等。2. 按外力的性质分为：静载荷和动载荷1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不

6、再随时间变化，保持不变或变动很不显著，称为静载荷。2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击载荷三种情况。交变载荷是随时间作周期性变化的载荷；冲击载荷是物体的运动在瞬时内发生急剧变化所引起的载荷。1-4 内力、截面法和应力的概念1 内力由于构件变形，其内部各部分材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料间因力图恢复原有形状而产生的相互作用力，称为内力。注意：材料力学中的内力，是指外力作用下材料反抗变形而引起的内力的变化量，也就是 “附加内力”，它与构件所受外力密切相关。图1-62.截面法假想用截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。如图1-5所示

7、：（1） 截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；（2）被假想截开的任一部分上的内力必定与外力相平衡。例1-1 钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面nn-m上的内 力。解：（1）沿m- m截面假想地将钻床分成两部分。 取m- m截面以上部分进行研 究（图1-6b）,并以截面的形心。为原点。选取坐标系如图所示。（2）为保持上部的平衡，m-m截面上必然有通过点。的内力N和绕点。的力 偶矩M（3）由平衡条件Z叫=O,Pa-M- 0因此用截面法求内力可归纳为四个字：1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。3）代：用作用

8、于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力 4）平：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未知的内力。3.应力参照图1-7,围绕K点取微小面积 垃。根据均匀连续假设，心上必存在分布内力，设它的合力为 AF, AP与的比值为（a）国卜7应力的枫含*丫瓦氐是一个矢量，代表在AZ范围内，单位面积上的内力的平均集度，称为平均 应力。当趋于零时，/觇的大小和方向都将趋于一定极限，得到,.Af dPp = hm= am =P称为K点处的（全）应力。通常把应力 p分解成垂直于截面的分量 U和切 于截面的分量？，。称为正应力，f称为剪应力。应力即单位面积上的内力，表示某微截面积处内力的密集程度。应力的国际单位

9、为 N/m2,且1N/m2=1Pa （帕斯卡），1GPa=1GN/rp=109Pa, 1MN/m=1MPa=10N/m2=106Pa。在工程上，也用 kg/cm 2为应力单位，它与国 际单位的换算关系为1 kg/cm 2=0.1MPa§ 1-5变形与应变对于构件上任“一点” 材料的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，它们 分别由线应变和角应变来度量。1 .线应变£通常用正微六面体（下称微单元体）来代表构件上某“一点”。如图 1-8,微 单元体的棱边边长为金库也,变形后其边长和棱边的夹角都发生了变化。 变形前平行于x轴的线段MN®长为卜,变形后M和N分别移到M&#

10、39;和N', M印的长度为&工十血,这里M二两-血于是表示线段MN5单位长度的平均伸长或缩短，称为平均线应变，若使朋脚趋近于零，则有一点线应变,M da e - ttm = 但。Ax dx称为M点沿x方向的线应变或正应变，或简称为应变。线应变，即单位长度上的变形量，为无量纲量，其物理意义是构件上一点沿某 一方向线变形量的大小。2 .角应变y如图1-6,正交线段M明口 ML经变形后，分别是 财M和Ml1 o变形前后其角度的变化是 -N订M州，当N和L趋近于M时，上述角度变化的极限值是(2 JJim -4/财胪码R 2就tO称为M点在xy平面内的剪应变或角应变。剪应变，即微单元体

11、两棱角直角的改变量，为无量纲量例1-2图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布 力p作用，已知边长l =400mm受力后沿x方向均 匀伸长A l =0.05mm试求板中a点沿x方向的正应 变。解：由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为 板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相 同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。£x£= = U510'6 , x 方向；400例1-3图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的 薄方板，b=250mm若在p力作用下CD干下移A b=0.025 ,试求薄板中a点的剪应变。0.025"250"= 100x10解：由于薄

12、方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变, 且处处相同。§ 1-6杆件的基本变形形式杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式，在工程结构中，杆件的基本 变形只有以下四种：1 .拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合 的一对力引起的，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后 的变形（图1-10）。2 .剪切：变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的一对力引起的，表现 为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。如连接件中的螺栓和销钉 受力后的变形（图1-11 ）。3 .扭转：变形形式是由大小相等、 转向相反、作用面都垂直于杆轴

13、的一对力偶引起的，表现为杆件 的任意两个横截面发生绕轴线的 相对转动。如机器中的传动轴受 力后的变形（图1-12） 0种基本变形，称为组合变形杆件同时发生几4 .弯曲：变形形式是由垂直于杆 件轴线的横向力，或由作用于包 含杆轴的纵向平面内的一对大小 相等、方向相反的力偶引起的， 表现为杆件轴线由直线变为受力 平面内的曲线。如单梁吊车的横 梁受力后的变形（图1-13） o§2-1轴向拉伸与压缩杆件及实例轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到，虽然杆件的外形各有差异，加 载方式也不同，但一般对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情况进行简化， 计算简图如图2-1。轴向拉伸是在轴向力作用下

14、，杆件产生伸长 变形，也简称 拉伸；轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。实例如 图2-2所示用于连接白螺栓；如图2-3所示桁架中的拉杆；如图2-4所示汽车 式起重机的支腿；如图2-5所示巷道支护的立柱。ifl 2-1相向我体和压缩用了？输由南拉构件国2-5轴向任编构件用IT/由拉仲杓转通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点：1 .受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线 重合，即称轴向力。2 .变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。§2-2横截面上的内力和应力1.内力在图2-6所示受轴向拉力P的杆件上作任一横截面mm取左段部分，

15、并以.内力的合力N代替右段对左段的作用力。由平衡条件 £X=0,得 N-P二0由于F>o （拉力），则 N =合力N的方向正确。因而当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用 N表示。若取右段部分，同理= Q,知，得M二PQ图中N的方向 也是正确的。材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由平衡坐标方程决定。习 惯上将轴力N的正负号规定为：拉伸时，轴力 N为正；压缩时，轴力N为负。2 .轴力图 轴力图可用图线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横坐标表示 截面位置，纵轴表示轴力大小。例2-1 求如图2-7所示

16、杆件的内力，并作轴力图。(a)Pi=5kNIj*”Nk、)AiPi =5kNP2 15kNsT图2-7解：（1）计算各段内力AC段：作截面1 1,取左段部分（图b）。由£X = Q得M = 5kN（拉力）C眠：作截面22,取左段部分（图c）,并假设方向如图所示。由£丫 = 0得M + 1 II则：JVa=-10kN （压力）/的方向应与图中所示方向相反。4r、0感1-8十他惊议kN=10 kN。图线。由图2-7国2 9支根面上的应力（2）绘轴力图选截面位置为横坐标；相应截面上的 轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出 可知CB段的轴力值最大，即注意两个问题:1）求内力时，外力不能

17、沿作用线随意移动（如 P2沿轴线移动）。因为材料力 学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性原理的应用是有条件的。2）截面不能刚好截在外力作用点处（如通过 C点），因为工程实际上并不存在 几何意义上的点和线，而实际的力只可能作用于一定微小面积内。3 .轴向拉（压）杆横截面上的应力1）由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的 强度.，因此必须用横截面上的 应力来度量杆件的受力程度。为了求得 应力分布规律，先研究杆件变形，为此 提出平面假设。平面假设：变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆 轴线，如图2-8所示。根据平面假设得知，横截面上各点沿轴向的正应变相同，由此可推知横

18、截面上 各点正应力也相同，即 。等于常量。2）由静力平衡条件确定 ff的大小 由于删=5办,所以积分得则:(7 =一AN - adA - ce4Jr式中：。一横截面上的正应力；1一横截面上的轴力；R一横截面面积 正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。y ）引起的正应对于图2-9所示斜度不大的变截面直杆，在考虑杆自重（容重 力时，也可应用（2-1）式图 2-10(2-1)例2-2旋转式吊车的三角架如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为10用6cm2的角钢制成，尸=1前kN,5=30。求ab杆横截面上的应力解：（1）计算AB杆内力 取节点A为研究对象，由平衡条件工¥=口，得

19、27蝮=2P = 260 z /计小、则-kN （拉力）（2）计算AB杆应力MPa例2-3起吊钢索如图2-11所示，截面积分别为4=3峦,4 =4 cm2* 七=50通过如图3-1所示的钢杆受剪 和图3-2所示的联接轴与轮的m P - 12 kN,材料单位体积重量：#°028N/cm3,试考虑自重绘制轴力图，并求1解：(1)计算轴力AB段：取1-1截面 跖尸+"均BC段：取2-2截面§ 3-1剪切及其实用计算1.工程上的剪切件Ili 匕运经fiWO下典刃(b)图3 I则秆受理圉作用，并产生剪切变形剪面上的剪应力为(3-1)键的受剪情况，可以看出，工程上的剪切件有以

20、下特点:1）受力特点杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力2）变形特点两外力作用线间截面发生错动，由矩形 变为平行四边形。（见动画：受剪切作 用的轴栓）。因此剪切定义为相距很近 的两个平行平面内，分别作用着大小相 等、方向相对（相反）的两个力，当这 两个力相互平行错动并保持间距不变 地作用在构件上时，构件在这两个平行 面间的任一（平行）横截面将只有剪力2.剪应力及剪切实用计算剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力 Q相平行的剪应力相等，于是受式中：。一剪力；上一剪切面积；丁一名义剪切力。剪切强度条件可表示4片幺3为： A （3-2）H二立式中：口一构件许用剪切应力。剪切面为圆形

21、时，其剪切面积为：4海37 代的曾如面3-3所示的平键，键的尺寸为bx"其剪切面积为:例3-1电瓶车挂钩由插销联接，如图3-4a。插销材料为20#钢，3 = 30M, 直径a = 2口 mm。挂钩及被联接的板件的厚度分别为，=&mm和1 9 = 12 mm 0 牵引力产=15kN 0试校核插销的剪切强度。解：插销受力如图3-4b所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿 nn-m和nn两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程 容易求出插销横截面上的剪应力为尸二W =15x10'.=23,9MPa < 口A 2乂.20乂10口了故插销满足剪切

22、强度要求。例3-2如图3-8所示冲床，% = 400 kN,冲头= 40° Mpa冲剪钢板以=350MPa设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。解：（1）按冲头压缩强度计算d 3 3-2挤压及其实用计算挤压：联接和被联接件接触面相互压紧的现 象，如图3-5就是怫钉孔被压成长圆孔的情 况。有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力 作用线平面上的投影。式中：同材料的许用挤压应力，一般b=（L72）/cm图3 7区的桥/E面（2）按钢板剪切强度计算挤压时，以表示挤压面上传递的力，4表% = -T- 4 % 示挤压面积，则挤压应力为/(3-3)z <= 1 04所以cmi图3-6m版面的

23、挤压面图3-5裨打扎耕在图挤压面对于圆截面：,如图3-6c所示对于平键:如图3-7所示例3-3截面为正方形的两木杆的桦接头如图所示。已知木材的顺纹许用挤压应力M= &必尸，顺纹许用剪切应力以=1MPa ,顺纹许用拉应力巧卜10MPa o若P=40kN作用于正方形形心，试设计 b、a及'。解：1.顺纹挤压强度条件为2.顺纹剪切强度条件为baJ .ba 2F _ 40x10-M- SxlO6=50x1。'/(a)(b)3.顺纹拉伸强度条件为司(c)联立（a）、（ b）、（c）式，解得b 21上4父/。一% = 114mmI > 35.1l（T2m = 351mm a

24、> 4.4 102m = 44mm例3-4 2.5理挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为P= 12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm h=16mm,2=70mm圆头 半径R= 14mme图3-10）。键的许用切应力【3 = 87MPa轮毂的许用挤压应力 取0=100MPa试校核键连接的强度。解： （1）校核剪切强度 键的受力情况如图3-10c所示，此时剪切面上的 剪力（图 3-10d）为 Q = P = n.RN = 22100N对于圆头平键，具圆头部分略去不计（图 3-10e）,故剪切面面积为A = blbi2-2R)=23（7 2乂4）=lL76cm

25、2=上 70><2。7所以，平键的工作切应力Q _12100 " U70x"T - i0,3106Pa-10.3MPa< s-87MPa足剪切强度条件（2）校核挤压强度 与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。 轮毂挤压 面上的挤压力为P = 12100N挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的h接触高度为5,则挤压面面积（图3 10f）为121003.30x10T刃广（勺一（7.0 - 2x上4）P、一夕彳- 故轮毂的工作挤压应力为-3Kzp必也满足挤压强度条件。所以，此键安全。§4-1扭转及其工程实例工程上的轴是承受扭转 变形的典型构件，

26、如图 4-1所示的攻丝丝锥，图 4-2所示的桥式起重机 的传动轴以及齿轮轴等。1.受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反外力偶一一扭转力偶。其相应内力分量称出现扭转变形则这种受力形式称为纯扭转为扭矩.变形特点：横截面绕轴线发生相对转动,内力分量,§ 4-2扭矩和扭矩图1 .外力偶矩加如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩 源不是直接给出的，而是通过轴所传 递的功率R和转速n由下列关系计算得到的。N m = 9550 (4-1a)如轴在m作用下匀速转动/角，则力偶做功为工”#,由功率定义dAd 0N =酢i = m 出 dtdt角速度中与转速n （单位为转/

27、分，即r/min ）。关系为=2m，0。（单位为弧度/秒，rad/s ）。由于1kW=1000N m/s, H千瓦的功率相当于每秒钟作功破=1。皿父川，单位为N- m；而外力偶在1秒钟内所作的功为用=烧出=2研用/60 （N-项由于二者作的功应该相等，则有，J；：，. /60由此使得（4-1 ）式。式中：N一传递功率（千瓦，kW 越一转速（r/min ）N m = 7024如果传递功率单位是马力（PS）,由于1PS=735.5Nm/s,则有用（N nj）（4-1b）式中：浦一传递功率（马力，PS）羯一转速（r/min ）2 .扭矩了求出外力偶矩加后，可进而用截面法求扭转内力一一扭矩。 如图4-

28、4所示圆轴， 由£% =。,从而可得A A截面上扭矩T T-m= H =就称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则， 丁矢量离 开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正， 反之为负。例4-1传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率为=5°马力，从动轮B、C、D输出功率分别为方L%”马力，%=2。马力，轴的转速为盟= 3Q（iHmrn。 试画出轴的扭矩图。351Mm7(CN-ib解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶阁15%=7024 = 117ONmKJhN rtiITO瞰切片=雨亡=7024- = 351N- m 25L>n憎a

29、-7024-468Kmn从受力情况看出，轴在BG CA AD三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在 用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。在BC段内，以表示截面I I上的扭矩，并任意地把写的方向假设为如图4-5b 所示。由平衡方程工出，有TH得 T1=fig = -35 IN- tn负号说明，实际扭矩转向与所设相反。在BC段内各截面上的扭矩不变，所以在 这一段内扭矩图为一水平线（图4-5e）。同理，在CA段内，由图4-5c,得右十%+%=0. % =%-噂=-7口2N，m在AD段内（图4-5d） , %一%=°； %=% =处89加与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图 4-5e其中最

30、大扭矩发生于CA段内，且4=702 NmO对上述传动轴，若把主动轮 A安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如 图4-6所示。这时，轴的最大扭矩 1 = "7°Nm。显然单从受力角度，图4-5 所示轮子布局比图4-6合理。§ 4-3薄壁圆筒的扭转当空心圆筒的壁厚t与平均直径D （即2r）之比1/2。时称为薄壁圆筒.d七.1 .剪应力与剪切互等定理 卜 若在薄壁圆筒的外表面画上一系列互相平行的纵向直阳线和横向圆周线，将其分成一个个小方格，其中代表性的一个小方格如图4-7a所示。这时使筒在外力偶加作用下扭转，扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角。纵线均倾斜一微

31、小倾角,从而使方格变成菱形（见图4-7b），但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有 正应力,横截面上只有切于截面的 剪应力,因为筒壁的厚度“艮小，可以认为 沿筒壁厚度剪应力不变，又根据圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力7沿圆环处处相等。根据如图4-7c所示部分的平衡方程£飞尸=r-有 m =, 工(4-2)如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的相应于 4-7a上小万块的单元体，它的厚度为 壁厚t,宽度和高度分别为 必，砂。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于 p-p,q-q圆周面的左、右侧面上有剪应力f ,因此在这两个侧面上有剪力

32、意砂, 而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为 （这为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应力 厂作用（据 工,也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足即所以（4-3）上式表明，在一对相互垂直的微面上，垂直于交线的剪应力应大小 相等，方向共同指向或背离交线。这就是剪应力互等定理。图表 所示单元体称纯剪切单无体。-7d2.剪应变与剪切胡克定律用4-8背W费力他与图4-7b中小方格（平行四边形）相对应，图 4-7e中单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量此直角的改变量称为剪应变或角应变。如图4-7b所示若步为圆筒

33、两端的相对扭转角，1为圆筒的长度，则剪应变;为T (4-4)薄圆筒扭转试验表明，在弹性范围内，剪应变 才与剪应力7成正比,片“少（4-5）式（4-5）为剪切胡克定律；仃称为材料剪切弹性模量，单位：GPa对各向同性材料，弹性常数 区"仔三者有关系华岛(4-6)3.变形能与比能若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体如图 4-8所示，由于变形的相对性，可设单元体左侧面不动，右侧面上的剪力由零逐渐增至右侧面因错动沿汇方向的位移由零增至 对工。因此剪力所作的功为dW =dw等于单元体内储存的变形能au ,故剪切单元体的变形能白(4-7)以单元体的体积4厂除dU得单位体积内的剪切变形能，即比能dUu

34、 =为对图4-8所示线弹性情况，当剪应力在剪切比例极限以内时，u = rr=0+ 有 2 .26f 2 '(4-8a)dU = - tdV对图4-8所示线弹性关系（比例极限以内），有 2 对图4-7b所示受扭薄壁圆筒，由于其剪应力与剪应变均处处相同，则整个圆筒的变形能为U = L 两.，L £/，2霭U = -WS:=八,二(4- 8b)§ 4-4圆轴扭转时的应力和强度条件平面假设及变形几何关系如图4-9a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆 轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：（1）各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，

35、但大小，形状及相互间距不变；y W F K R * * 中 .m F 窜中磬 用 l v vb v w> k y >> w> .窜."工 .s 卜事 .（2）由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度；"认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形! - - 7平面，只是各截面绕轴线相对“刚¥ T" V >r ,J." V Vr ?, v' y v > , y 中 > > p , 中, y 中 >, >" , j/ v &

36、gt; r性地”转了一个角度。从图4-9aN'N 窜* 卜 |r ¥ V ¥ V, I1* 4 V* I勖 I * 事 事 品 ip iu 9kl iu u k 呼 iu *窜，卜 胪事取出图4-9b所示彳觊段dx ,其中>, 台 >>*， >>, ? ¥ ¥ h > ¥ + h F T >" y >> J" >> >" S'> >' ! ¥ + R F > ¥ + L > ?

37、 >"+ L >两截面pp,qq相对转动了扭转角b' V " 冉1 W卜 V >" 卜 窜 " 叫 r L v 月 * +¥ T' T" >" ? ¥ 1* 1* >* ? X 1" A > >" 1" T p >" >" T" T ? X 1" * ? ¥T ? >" >" 1" >" > >&q

38、uot; 1* rd巴纵线ab倾斜小角度？成为ab',而在半径/（双）处的纵线cd根据平面假设，转过d/后成为cd'（其相应倾角为 花，见图4-9c）由于是3Y二相中小变形，从图4-9c可知：成减°。于是J兀（a）对于半径为R的圆轴表面（见图4-9b）,则为 七 （b）出4-11静力平等良系步4物理关系扭薄壁圆筒相同，在为4处截出厚为d，/半径对相距dy而相交于 （正微六面体）如图的薄圆筒（图4-9b）,用一 轴线的径向面取出小方块 4-9c此为受纯剪切单元体。由剪切胡克定理和式（a）得”G嘤这表明横截面上任意点的 剪应力。与该点到圆心的距离成正比，即。"Q

39、;当。.我，5取最大值。由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图 4-10 03.静力平衡关系dA,由力_T在图4-11所示平衡对象的横截面内，有近2小声 扭矩 偶矩平衡条件£.一°,得人 Z, = f ,dA令声(4-9)产为几此处d尸/dx为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为m4或cm4。2T=G正' 怎一西,、则"或1f (4-10)。(4-11 )将（4-10）式代回（c）式，得 乙TR=T_ 石一丽 /、 f (4-12)则在圆截面边缘上，为最大值五时，得

40、最大剪应力为 蹄 此处 * （4-13）叫称为抗扭截面系数,单位为m3或cm3。由此得圆轴扭转强度条件（4-14）注意到此处许用剪应力 尸不同于剪切件计算中的剪切许用应力。它由危险剪 应力%除以安全系数n得到，与拉伸时相类似：2塑性材料一工一"/为脆性材料由相应材料的扭转破坏试验获得，大量试验数据表明，它与相同材料的拉伸强度指标有如下统计关系：塑性材料盘"3 3巴；脆性材料4. k叫计算对实心圆轴对空心dA = 2 叩 da圆轴(4-16)例4-2 AB轴传递的功率为 = 7 5kW ,转速荏=3加#"皿o如图4-12所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面

41、。已知 人九皿 d=2rn o试计算 AC以及CB段的最大与最小剪应力。tHm由截面法ON 1 5 t9550 = 9550 =199N，m解：(1)计算扭矩 轴所受的外力偶矩为360(2)计算极惯性矩AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为Zbi = "口 = 7,95cm321及二= 6.38cm432(3)计算应力 为(4-10)AC段轴在横截面边缘处的剪应力CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为=37,5 106 Pa =37.5MPa 2*0 = 3L2iO6 Pa=31.2MPa 1户？ 2T n*=货= = 418x10*=46.8MPa% 2§ 4-5圆轴扭

42、转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式TdxT J 77正 (rad)(4-17)式中1G4称为圆轴的抗扭刚度，它为 剪切模量与极惯性矩乘积。叫 扭转角川越小。200扭转的刚度条件:囹4 13T让产二%五，为单位长度相对扭角，则有 叫 (rad/m)端陛=与。'产(rad/m)(4-18)180 x加(° Zm)(4-19)例4-3如图4-13的传动轴，杵= 5UUr/min,必=50马力,跖=200马力，电= 300马力，已知图=7。MPa=1 ° Zm,仃=8口 GPa求：确定AB和BC 段直径。mA =7024 %=

43、 7024解：1 )计算外力偶矩舞(N 项tn£ =7024 区=2809 6界(nj- mmc - 7024” 42144(N nj)作扭矩丁图，如图4-13b所示。J - 16丁 ” 1卞=AB段：由强度条件,2)计算直径d' 延1167 _ i 16x7024 X岸百b(mm由刚度条件幺讨327x180(327024180V 8。又。隈后42= 84.6/ 一_x吊 a】=84 6 (mm 取mmBC段：同理，由扭转强度条件得mm由扭转刚度条件例4-4如图4-14所示等直圆杆，已知碑口 =1° KNm,试绘扭矩图。解：设两端约束扭转力偶为 小,热耳(1)由静力

44、平衡方程£飞=0得。一端+唯一%=0 ； %=年此题属于一次超静定。(2)由变形协调方程(可解除B端约束)，用变形叠加法有 必一鬼 鬼十羯一口 “)(3)物理方程虑到假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示§ 4-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算螺旋弹簧如图4-15a所示。当螺旋角m<5°时，可近似认为簧丝的横截面与弹 簧轴线在同一平面内，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧1.弹簧丝横截面上的应力如图4-15b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡cD T-PD方程，横截面上剪力Q =尸，扭矩 20Q APK 二二由引起的剪应力

45、月 取口，而且认为&均匀分布于横截面上（图4-15c）;若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由 丁引起的最大剪应力（图4-15d）.T J6F .卯口所以在簧丝横截面内侧A点有d ' ,%PD二心!-2D 4三(4-20)L , d k = 1 + 其中 2D(4-21 )当% < % ,略去剪应力刀，所引起的误差M5%，可用近似(4-23)8PD疝“(4-22)对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹 簧，%的值并不太小，此时不仅要考虑剪力 还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析 和修正系数k的选取可见有关参考书。密圈弹簧丝的强度条件是：式中：口一弹簧丝材料的许用剪应力2.

46、弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为这是弹簧的整体的压缩（或拉伸） 变形。如图4-16a、b,外力对弹簧做功W = -PA20簧丝横截面上，距圆心为 总的任意点的扭转剪应力为T# 2PD 16 9Dq77 一应* 一(a)32_ 12卯3/如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是"元（b）弹簧的变形能应为7（c）此处a* = d小曲，其中必"2第#4#,弹簧丝总长为5=足-理，n为弹簧有效 圈数。于是积分式（c）得 “"也(d)由U = -PA,则得到18F炉福 64FR%>-1 =- O? Gd*(4-24)r

47、= d_c- ef式中万是弹簧圈的平均半径。若引入记号。80% ,则式（4-24）可写成。（4-25） 广代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见 义与心成反比，,越大则人越 小。例4-5某柴油 机的气阀弹簧，簧圈平均半径氏=59一5mm , d = 14 mm ,有效圈数理=5。弹簧工作时受尸皿=3 kn求此弹 量与最大剪应力（略去弹簧曲率簧丝直径<?= 80 GPa 0簧的最大压缩Ti图 4-17c的影响）解：由变形公式求最大压缩量1= >产4% = 64 乂*5乂10%59.5又11户又5一"一赤研I而西一=54x10-% = 54.3考虑剪切力 时八 d .8P

48、D 八 14潭共2.5乂103义2乂59,3r0-3.心而,方/+行/一而刃一=LD59s 292Mpit不考虑剪力影响时5=27加尸鼻，相差5.9% 0由于% 一"">%0 ,还应 考虑曲率影响，此处从略。§4-7非圆截面杆的扭转问题工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩 形截面，如图4-17a。杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘 曲”（图4-17b）。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻 横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有 剪 应力没有正应力，这

49、种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图 14-7c）: 1）边缘各点的剪应力与周边相切，沿周边方向形成剪流T2）发生在矩形长边中点处，大小为：八，郎承"" （4-26）次大剪应力发生在短边中点，大小为 与="/曲,四个角点处剪应力表（见有关 q 参考书）。注意到：对 眼""" 非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。h1->10寸=上一当白 时，截面成为狭长矩形，此时3 ,若以5表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为=T 1% ,可,77卜片%（4-28）-h /,=

50、 -h其中 3,3，此时长边上应力趋于均匀，如图 4-17d所示。在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面 处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面 上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆 件约束扭转”专题；（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由 扭转处理。例4-6某柴油机曲轴的曲柄截面I I可以认为是矩形的，如图 4-18。在实用计算中，具扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若 12 m ,宓=102 mm ,已知

51、曲柄所受扭矩 为7 = 281 N- m ,试求这一矩形截面上的最大剪应力甜 4-20a（a）（b）国4 I。耳受心胃解：由截面I一I的尺寸求h 102 4-=4 64得上22 查表，并利用插入法，求出口二口卫87于是得:=19 8MpmT281 =1 劭/0.237 X102X1Q-3(22 x 10 3)2§4-8薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件：杆件的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸（高和宽）。若杆件截面 壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线，如图 4-19a,则称为开口薄壁杆件。若 为封闭的则称为闭口薄壁杆件（图4-19b）1 .开口薄壁杆件的自由扭转可把截面视为一个狭长矩形（图4-20

52、a）或几个狭长矩形的组合（图4-20b） 应力和变形计算可引用狭长矩形截面杆的结果。最后计算公式仍用（4-28）,只是明 ”意义作D 岗4Vg适当改变（1）截面可展成一个狭长矩形的，其中 h为截面展开为狭长矩形时的 中线长度，如图4-20b,&=2。（2）截面可视为n个狭长矩形组成的。可按横截面投影形状保持不变（刚周界）假设，即根据各矩形的扭转角（ 的附贝点）和整 个横截面扭角/相同，而整个截面的扭矩T等于各矩形截面承受的分扭矩之和（(4-29)海4Tl说明：片如发生在壁最厚的对于各种型钢，考虑圆角和壁厚不均匀影响，对“要乘以修正系数野,对角钢杯=上0°，槽钢 好口2 ,工字

53、钢衣=上2。2 .闭口薄壁杆件受扭闭口薄壁杆件如图4-21所示对横截面上剪应力的假设：（1）沿周边的切 线方向作用；（2）沿壁厚均匀分布。当壁厚变化时，则剪流有广储产后圈广川'=£ （常量）根据截面内剪应力组成扭矩的条件：q = f 於此处 2J（积分代表截面中线所围面积）于是有T2公分_ T741以心加(4-30)W = m /利用功能原理，对杆长为J的整杆可写出扭转力偶 m所做的功2,变形ml ds，阳? 去U - y Jj-f能8Gq J的）。由"=炉可求得4GH那）（4-31a）若壁厚不不变,dsmis改* 涉，则 心),有4G“野(4-31b)。其中s为截面中线的周长。,77s772 尸 77孤= = ' 剑二，）- 4G 如。4G 五。2G/J,(2)闭口例4-7图4-22,所示为开口与闭口圆环薄壁杆件，试比较二者的自由扭转剪 应力和扭角。设两杆材料相同，并具有相同的长度/，平均半径r和壁厚不。转-3卜, (3)比较为I力可见开口薄壁杆件的应力和变形都远大于同样情况下的闭口薄壁杆件阳5】受零构件的重制§5-1弯曲及其工程实例裁P：瞅向对称面杆件轴城图5-2时称弯曲图5-1为 工 程 中 常见的桥式起重机大梁和火车轮轴，它们都是受弯构件 弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的 变形。通常将承受弯