用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题1

1、用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题教案1，部分学生因对向量加法和减法的不熟练，在用向量表示几何关系时存在困难；2、学生虽然学过向量共线的条件和平面向量基本定理的内容，但现阶段对向量的认识还不够深刻，学自主应用向量解决数学问题的意识还没有树立起来；3、虽然学生通过对平面向量基本定理这一节例5的学习，学会了在三点共线的条件下如何用向量表示几何关系的方法，但因时间关系，这一结论并没有去挖掘它的应用。情应对策略1、课前要求学生自己复习向量的加法和减法、向量共线的充要条件和平面向量基本定理有关知识；分2、在上完§的平面向量基本定理后，布置教材P110.第7题和一些用向量表示几何关系的

2、练习，让学生能较熟练地用向量表示几何关系，为学习本节课的知识作准备；析3、通过探求三点共线的向量结论中一的几何意义，加深学生对这一结论的认识与理解，逐步增强学生应用向量的意识。1、能熟练地用向量表示几何关系；矢口识2、能说出三点共线的向量结论中一的几何意义；与3、模式识别：能应用三点共线的向量结论求平几中的共线线段的比值问题；技能4、培养学生应用向量解决数学问题的意识。目标过程1、复习三点共线的向量结论；与方法2、启以、引导学生发现三点共线的向量结论中一的几何意义；目标3、巩固与应用，增强学生应用向量解决数学问题的能力。情感学会合作与交流；态度在独立思考的基础上获取知识，获得成功的体验；与感受

3、向量应用的广泛性。价值观教学三点共线的向量结论的应用重点教学难点应用向量解决数学问题的意识教具多媒体课件准备注：为了简单起见，平面几何简称为平几；师指教师，生指学生。教学过程（师生活动）设计理念和实施方法师:上节课我们学习了三点共线的向量结论（如右图）BA1、“人+v=1”可提问创A、B、C三点共线的充要条件是：有唯一实数学生，上课伊始适当的问设对人ururuu、v ,使 OCOAOB 且。/题能让学生注意力转移 到课堂上来；入+v =1 ；A2、板书本节课课题：情用三点共线的向量结论有何意义这就量本节课需要解决的问题。解决平几中的一类求值景问题电脑显示本节课课标：1、探求的几何意义；2、应用

4、.问题1、电脑显示结论已知如图，A、B、C三点共线， O为线段AB外一点。2、这节课的知识较抽象， 过多使用电脑会给学生探1、uur uu urOC _OA _OB理解和掌握知识造成障碍。因此，板书对于学生2、uu uu ur/OB _OA _OC/理解知识是很有好处的。3、两个问题的答案如下：cA索师:生:师:XO请同学们完成上面两个问题（请学生说出答案）1、 5、 2； 2、 5、 777225请说出1的系数比生：一2un 51r 2 urOC - OA - OB 77ir5 ur 7 uuOB_ OA _ OC224、让学生经历师:结合图形，你对这一比值有什么新的发现没有操作 观察 猜想

5、生:CB 恰好等于线段值。CA这一过程。师:再次发挥同学们的想像能力，上述线段能否从1式的向量表达5、这节课的重点是知道式中得到怎样得到的结论并会应用，证明的技生:能；将1式各向量的终点联结就能得到。巧性较强。对高一学生在师:系数之比与用向量表达式写出的线段比位置上有何关系教学中有时采用“重形式分生:交叉关系。轻实质”的方法能让学生师:从以上过程你对此有什么猜想更好地学习本节课的主生:系数之比等于（由向量表达式写出的）“交叉线段”长之比要知识。因此，证明过程师:uuuruu若A、B、C三点共线OCOAOB且入+ g =1让有兴趣的学生课外完 成。CB我们是否能作这样的猜想：一二。CA师:大家算

6、一下2的系数比，你又有什么发现析生:5_ BC_、型_ 5 _ 57 - BA '可与成BA T 717 . CB师：由此我们可得猜想 _ =CB。这一猜想是正确的。它的证明留给同 CA学们课外完成，当你完成了这一结论的证明后，完全有理由相信自己对向 量的认识会提高一个层次！师：综上所述，我们有下面结论：A、B、C三点共线的充要条件是有唯一uiruruu实数对入、V,使OCOAOB ,其中_CB人+ v=1; _=一。CA师：这一结论的右边表示什么的比值这两线段有何位置关系左边又表示什么的比值生：线段；两线段共线（或三点共线）；向量表达式的比值。师：这些特点告诉了我们什么（略停）求解三

7、点共线的线段的比值问题，可将其转化为求三点共线的向量结论中的系数。我们所学的向量知识可与平几知识联系起来！6、得到结论后重要的是 引导学生分析结论的特 点，能模式识别。巩 固 练 习应用1想一想uuu 1 uu 4 uu1、已知平面上不同的四点满足：CM -CA -CB ,55A试指出M、A、B的关系。AM 3/2、已知如右图1,若 一，/MB 2uuur ur，贝1JCM _CA+_CBB图 1cuu 1 uu 3 LuCA3、已知 OC OA OB,44CB4、已知op 8uMr工型_. 55PN应用2-做一做例1、已知如右图，AE=2EC ABC的中线AM交BE交于点G,PAG钻/由求的

8、值。GMAK思路分析：要求的是 AG与GM两线段V的比值，且两线段是共线的，故可考虑GVXe转化为用本节课的结论。'. BMC解：: A、G、M三点共线，可设uruuuuruu1 uirBGBA （1）BMBABC2uu 1 uu 2 uur又丁 A、E、C三点共线，AE 2ECBE 一 BA 一 BC33uu uruu uruu1 uut uu2t uuQ BG与 BE共线，可设BG=tBEABAC- ABAC233答案：1、三点共线uur21r 3 rL2、CM -CA - CB 553、334、一8=t13= 1 uu 1 ur 4 uur AG 41_2t_ 7 BG _BA

9、_BM = _-2=-3555GM 1引导学生总结解题思路：uur(1)由A、G M三点共线用结论表示 BG ;ur(2)由A、E、C三点共线用结论表示 BE ;ur uu(3)将BG与BE转化成用相同的基底表示；uur uu(4)根据两向量 BG、BE共线，通过比较对应向量的系数转化为方程组求值。例2已知如下图，G为4ABC的重心，过点 G的直uiruu线分别交边AB、AC于点E、F,且AEAB ,uuruir11AFAC (0)o求证：一一 3。思路分析：从图中可看到 E、F、G三点共线，可试着去找适当的基向量/ fuureZg 表示AG ,些时作辅助线再找匚；BMCur一个与AG共线的向

10、量就是自然的事了！解：连结AG并延长交BC于点M,则AM为BC的中线。uu uuuu E、G、F 三点共线，可设 AG tAE (1 t) AFuuuu uuuuuu uuuu又丁 AEAB , AFAC: AGt AB(1 t) ACuu2 uir2 1 uu1 uu1 uu1 uuAG-AM-(- AB- AC)= - AB-AC33 2233(t 3111c(1 t) 1 33解题过程的回顾与总结是调动学生参与课堂，也 是一次学生自我提高的 的过程。例题用多媒体显示学生练习教师巡视，对学 生练习中出现的问题给 予指导。答案：4: 1课外 引申用本节课所得到的结论证明第 23届IMO试题(

11、见课外作业)给学有余力的学生展示 自己的平台的机会！课堂小结是使知识系统 化；课堂练习:AB 已知如图 一BCDF一 2FBDE , /士求一的值。EC课外作业（用试卷打好发给学生）1、已知如右图，AE=2EC ABC的中线AM交BE交于点G,卜.BG ，吉求的值。GE1、作业的布置是检查学 生对本节课所学知识的 掌握情况；2、作业的布置要分层次， 给不同层次的学生获得 进步的机会。这样才能真 实全面的了解学生的掌 握情况。答案：1、3: 23231、探索得到了三点共线的向量结论中一的几何意义;2、应用这一结论解决平几中的一类求值问题;3、应用结论来求值时，选择适当的基底将几何关系用向量表示，

12、再用向 量共线来建立方程组进行求解；4、本节课仅是根据同学们现在具备的知识讲了向量的一个应用。实际上, 随着同学们知识的积累，你会发现向量的应用是很广泛的，这节课只想起 到一个抛砖引玉的作用，课后同学们可去网上查询有关这方面的知识！CE上的2、（第23届IMO试题）如图，M、N分别是正六边形对角线 AC、点。若B、M、N三点共线，且-AMACCNCEC用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题教案说明向量是数与形的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身，在解决平面 几何问题时能起到奇特的作用。在用向量解决平面几何问题时，首先就是要将几何关系转化 为向量表示（即选择适当的基底），然

13、后再借助向量运算来解决。因此，本节课实际就是让学 生学会：在三点共线条件下，知道将几何关系转化为向量问题来解决。本节课的教学目标是按三维目标来确定的。它包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。知识与技能目标有4点，它们是相互联系层层递进的关系。目标 1是基 础，目标2是内容，目标3是获得技能，目标 4才是这节课的根本意图。我国新一轮课程改 革提出：改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极的学习态度，使获得知识与形成 技能的过程成为学会学习和形成价值观的过程。这就要求我们的教学过程应更多的考虑学生, 要让他们在课堂上参与适应的探索并能在这一过程中感受成功的喜悦。本内容是学生学习

14、了向量的一些基本概念、向量的加法与减法、向量共线的充要条件、 平面向量基本定理和三点共线的向量结论后进行的一节探究式的习题课。平面向量基本定理 这一节的例5学生知道了这样一个结论： A> B C三点共线的充要条件是： 有唯一的实数对入、uur ur uu小使OC OA OB ,其中入+科=1。并且通过上节课的学习，学生还知道了在三点共线条件下写向量表达式的一种方法：如右图分母m+n代表线段AB的份数，即右边两向量终点表示的线段,m代表线段CB的份数,即左uuruu边向量OC和右边向量OB两向量终点表示的线段，n代表线段CA的份数，即左边向量uurOC和uu右边向量OA两向量终点表示的线段

15、。系数m、n与它对应的线段恰好是交叉关系；当分点在线段的外部时，添加一个负号，其位置由系数和为1确定。在三点共线的条件下学生能较为熟练的写出向量表达式作为基础来进行这节课的教学。对一的几何意义的探求分四个阶段进行：先由1、2两个特例得猜想:CB；再由检CACB验特例2的系数完善猜想，得猜想 2: | |二 一 ；然后指出这一猜想的正确性（不证明）CA后通过课堂的应用1、应用2和课堂练习来巩固知识。本节课最关键的是教师引导学生得猜想1和猜想2,这也是本节课最难的。因为这一过程思维跳跃性很强，要反复结合向量表达式和CB图形，稍有不慎，学生的思维链一断，这节课就变得毫无意义了！结论 | |=CB在课

16、堂上没CA有证明，从这一意义上说失去了数学的理性思维，少了很多的“数学味”，但对高一的学生来说却是很必要的（要知道，正是因为有时我们过分追求理性思维才让学生产生“数学就是繁和难的演绎与推理”这种想法，让他们畏惧数学！）。有时这种“重过程轻实质”的方法，能减轻学生的学习负担，不会因技巧性强、冗长的证明过程冲淡本节课的主题。本节课的最终目的是要让学生感受到一点向量应用的广泛性，并希望能逐步增强学生应用向量解决数学问题的能力。若着眼点仅是这一节课，探索一的几何意义的过程对高一学生而言有 些难，甚至可以说没必要。但若将这节课放到整个高中阶段这根知识大链上来看又是怎样的 呢仅从以下两个例子就可见向量在中

17、学数学知识中的地位了：1、向量与三角知识的融合。在推导正弦定理、余弦定理均用到了向量知识。但是在教 学过程中这一点还没有引起我们足够的重视，甚至有些教师对教材中用向量方法证明正弦和 余弦定理弃之不用，课堂教学中仅仅是为了得到一个结论，证明方法仍是沿用以前的老教材 中的方法。应该说这是一种教学资源的浪费！正弦和余弦定理究竟要解决的是什么问题初中 解决角与边有哪些方法高中与角和边有关的又有哪些知识通过这种引导，让学生将所学的向 量的数量积与三角形知识联系起来，这样既能让学生掌握这种证明方法，又能让学生树立应 用向量的意识；2、向量在立体几何中的应用。这几年来高考对立体几何知识大题的考查都是能建立直

18、角 坐标系，大题的得分率比以前大大提高。但这也给部分学生（甚至于我们的教师）留下了这 样一些印象：只要会建立直角坐标系就行了；立体几何对逻辑推理和空间想像能力的要求降 低了；向量在立体几何中的应用关键是能建立直角坐标系等等。比如高二数学教材下B第51页例2,题如下：已知在一个60o的二面角的棱上有两个点 A、B, AC BD分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于 AB的线段，又知 AB=4cm, AC=6cm, BD=8cm求CD的长。对于高三的同学来说也很少想到用向量方法来解决的。在不建立直角坐标系的条件下用向量来证明线线平行、线面平行，求线面角、二面角的平面角这方面的意识学生就更弱了！培养学生应用向量的意识不是一朝一夕就能实现的，而要把这种意识转化为一种能力那 就更是需要一个长期的、不断训练的过程了。我从最不理想的角度考虑过这节课的效果，若 有学生在上课时由于注意力不集中导致后面的内容听不懂了，若他看到用向量方法能这样简 捷的解决平面几何问题时，他只要能这样想：哦，原来还可以这样呀！我就觉得是我这节课 的收获了！从这个方面来看，这节课是