苏教版六下数学第六单元正比例和反比例教材分析

1、【第六单元正比例和反比例】本单元在比和比例，以及常见数量关系的基础上编排。通过两个数量保持商一定或者积一定的变化，教学正比例和反比例关系。让学生在建立正比例和反比例概念的同时，受到函数思想的熏陶，为第三学段的数学教学打基础。正比例和反比例历来是小学数学的重要内容之一。与过去教材相比，本单元进一步加强正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像以及简单应用，淡化脱离现实背景的判断，加强正、反比例知识与现实生活的联系，不要求应用正比例、反比例解决实际问题。全单元编排三道例题，具体安排见下表：例1 正比例的意义例2 正比例关系的图像及应用例3 反比例的意义（一） 抽象常见事例中的数量变化规律，形成正比

2、例概念当两个互相有关的变量x和y在变化过程中保持其比值不变时，称x与y成正比例关系。就学生而言，日常生活中接触具有正比例关系事例的机会是比较多的，有学习正比例知识的现实背景。如速度保持不变的物体，运动的时间与路程；单价不变的物品，购买的数量与总价；每小时工作量不变，工作的时间与工作的总量但是，正比例是相当抽象的数学概念，理解正比例关系的内涵，用符号概括表示正比例的本质特征，都有一些难度。随着正比例概念的逐步形成，数学思维能够得到很好的发展，把握具体事例中的数学内容，概括数学规律的能力会有提高。正比例关系是较简单的函数关系，学习正比例的概念，能受到函数思想的熏陶，对以后的中学数学学习很有好处。例

3、1让学生初步感知“两种相关联的量”以及成“正比例关系的量”的含义。后者是例题的内容重点，因为成正比例关系的两个量必定是相关联的。认识正比例关系之前，应该先认识相关联的数量。教材选择汽车在公路上行驶的事例，用表格呈现一辆汽车行驶时间和路程的数据，要求写出几组相对应的路程和时间的比，发现各个比的比值都是80，理解这个80是这辆汽车每小时行驶的千米数，由此得出描述这辆汽车行驶过程的数量关系：路程数量速度（一定）。在这个数量关系式中，路程比时间等于速度是旧知识，速度“一定”是这个情境的特点，是正比例概念的生长点。这一段教材组织学生感知正比例现象，教学不宜过快。在观察汽车行驶的时间与路程的表格时，要看到

4、行驶的时间越多，路程越长，不仅为体会“相关联的量”作准备，还有利于感受汽车行驶速度保持不变。要说说表格里的数据，从1小时行驶80千米、2小时行驶160千米、3小时行驶240千米理解路程和时间的“相对应”。还要说说表格里两个省略号的意思，想象汽车继续行驶，体会速度始终是每小时80千米不变。教材指出路程和时间是两种相关联的量，用“时间变化，路程也随着变化”具体解释两种量“相关联”的含义。认识“相关联的量”是建立正比例或反比例概念的前提，两种量成正比例或反比例关系，它们必定按某种确定的关系相随着变化。学生只要知道一种量变化，会引起另一种量的变化，就初步体会了两种量“相关联”的意思。教材接着指出“当路

5、程和对应时间的比的比值总是一定时，行驶的路程和时间是成正比例的量，它们之间的关系是正比例关系”。这是对正比例意义的初步描述，学生在这些描述中首次感知正比例关系。要让他们注意其中的两点：一是理解“比的比值总是一定”的意思，并适应这样的表述。这里可以用“也就是速度一定”具体解释比的比值总是一定。“比的比值总是一定”是正比例关系的固有属性，能够描述所有正比例关系的本质特征，学生应该学会这样的表述。二是理解正比例关系是两个量之间的关系，成正比例的量一定是指两个数量。“试一试”在另一组数量中继续感知正比例关系。教材用表格给出购买同一种铅笔的数量与总价，让学生根据买1支0.4元、买2支0.8元、买3支1.

6、2元，填出买4支、5支、6支的总价，初步感受铅笔的单价每支0.4元不变，数量在变化，总价也在变化。然后通过四个连续的问题，深入研究这里的数量与总价的关系。第（1）问是说说总价随着哪个量的变化而变化，寻找两种相关联的量，确认总价和数量这两种量相关联。第（2）问是写出几组相对应的总价和数量的比，并比较各个比的比值，发现它们的比值都相等。第（3）问要解释比值的意思，理解它就是铅笔的单价，体会比值相等，同时用式子“总价/数量单价（一定）”表示总价和数量之间的变化关系。学生写出数量关系式不会有多大的困难，而单价“一定”往往会忘了标注，要提醒他们写出单价一定。第（4）问是作出铅笔的总价和数量成正比例的判断

7、，学生已经写出了总价和数量的关系式，看到了总价和数量的比的比值保持不变，作出总价和数量成正比例的判断会水到渠成。教材编排这个“试一试”的意图主要有两点：一是丰富对正比例关系的感性认识。学生在例1里感知了路程和时间成正比例，现在又感知了总价和数量成正比例，能体会日常生活中经常有成正比例关系的量。正比例关系的共同特点是对应数量的比的比值一定，这就为抽象出正比例概念积累了资源。二是再次经历发现两种量成正比例关系的过程，如果再遇到两种相关联的量，就能像这样写出一些相对应数量的比，从比的比值是不是保持一定，判断两种量是不是成正比例的量。学生在例1和“试一试”中，两次从感知了正比例的具体含义，只要概括出两

8、个实例的数量关系的共同本质特征，就能形成正比例的概念。教材紧接着“试一试”，用字母x和y分别表示两个相关联的量，用k表示它们的比值，用式子“x/yk（一定）”表示它们的关系，抽象概括了正比例的意义。这是一段数学化程度很高的思维活动，用符号揭示正比例关系的特征，不仅有利于学生深刻认识正比例的意义，也是发展数学思考的极好机会。用字母组成的式子表示正比例关系是教学的一个难点。要把抽象的字母与具体的数量联系起来，使学生感到字母代表了许多具体的数量，如字母x代表路程、总价字母y表示时间、数量还要体会用字母表示正比例意义的好处，明白速度一定的路程和时间、单价一定的总价和数量，都具有关系式x/yk（一定）。

9、凡是具有这样关系的两种相关联的变量，就是成正比例的量。“玉米”卡通提出“生活中还有哪些成正比例的量？能举例说说吗？”引导学生带着初步形成的正比例概念，回归日常生活，通过寻找成正比例关系的量，进一步体验正比例关系的本质特征。这是数学概念教学经常需要的“具体化”环节。为了帮助学生更好地理解正比例的意义，巩固正比例概念，教材安排了三个层次的练习题。第一层次是“练一练”第1题，要求学生研究生产零件的数量和时间的关系。教材为研究关系设计了两个问题，学生只要顺着问题写出几组对应数量的比，并计算比值，根据比值都相等，作出成正比例关系的判断。第二层次是“练一练”第2题和练习十第1题，研究做服装的数量和用布的数

10、量、订阅趣味数学杂志的数量和总价是否成正比例。教材只在表格里给出几组做服装的数量和用布的数量，几组订阅的份数和总价，要求学生自主开展判断活动。他们可以借鉴例题、“试一试”以及“练一练”第1题里的判断线索与方法，通过几组对应数量的比的比值相等，作出做服装的数量和用布的数量、订阅杂志的份数和总价成正比例的判断。第三层次是练习十第2题，引导学生体会两种相关联的量有可能成正比例，也可以不成正比例。在正方形按比例放大的情境中，由于周长/边长4（一定），周长和边长成正比例；而面积/边长边长，不存在相同的比值，面积和边长不成正比例。学生在上述的判断中，能够获得对正比例比较深刻的认识，他们的正比例概念会更加清

11、楚、牢固，判断两个相关联量成不成正比例的能力也会有很大的提高。（二） 用图像直观表达正比例关系，感受两种量的同步变化例2教学正比例关系的图像。这是按课程标准的要求“根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值”编排的。小学数学里正比例关系的图像，在直角坐标系上是以原点（0，0）为端点，向右上方延伸的射线。中学数学里，相关联的两种量不单取正数，还可以取负数，正比例关系的图像是经过或者不经过原点的直线。所以，本单元把正比例图像说成“直线”是恰当的。图像能够直观形象地表示一种量变化，另一种量也随着变化，两种量相对应的数的比的比值相等。正比例图像比较简单，特征比较明

12、显，适宜让学生初步接触。教材直接呈现一幅根据例1的数据画成的图像，设计的三个问题体现了教学正比例图像的三个步骤：第一步认识方格纸上的点，按照“A点表示1小时行80千米”“B点表示5小时行400千米”，要求学生说出方格纸上标出的其他各点的具体含义。学生有数对确定位置的知识与经验，能够体会各个点都表示汽车在某段时间内所行驶的路程，还能体会这些点是根据每组对应的时间和路程在方格纸上画出来的。教学这一步，应先观察方格纸上的横轴和纵轴，了解横轴用来表示行驶的时间，纵轴用来表示行驶的路程。再观察各个点的位置，了解各个点表示的时间与路程。第二步认识正比例图像的形状。连接方格纸上的各点，所有点都在一条直线上。

13、这就是说，正比例关系的图像是一条直线。了解正比例图像是直线，将会起两点作用：一是根据图像的形状，可以判断两种相关联的量成不成正比例关系。如果方格纸上表示两种量所有对应数量的点都在同一条直线上，这两种量是成正比例的量；如果表示两种量对应数量的点不在同一条直线上，这两种量一般不成正比例关系。二是可以检验画出的正比例图像是否正确，如果成正比例关系的两种量的所有对应数量的点，不在同一条直线上，表明描点出现了错误，应及时检查并纠正。第三步应用图像，估计行驶时间所对应的路程或者行驶路程所用的时间。要指导学生联系数对确定位置的经验，利用画垂线和平行线的技能尽量使估计的结果准确些。如估计2.5小时行驶多少千米

14、，先要在横轴上找到表示2.5小时的点，过这点画横轴的垂线，得到垂线与图像的交点，再过交点作纵轴的垂线，根据垂足在纵轴上的位置估计行驶的路程。像这样画图，在方格纸上是比较方便的，借助方格纸的横线与纵线，很容易画横轴与纵轴的垂线。所以，课程标准明确规定在方格纸上画或使用正比例的图像。“练一练”和练习十里配合例2的习题大致有以下内容：第一，按两种相关联量的几组相对应的数据，画出正比例图像。经历在方格纸上描点、连线等活动，体验正比例图像是一条直线。如“练一练”。第二，利用正比例图像进行估计。根据已知的数量，说出相对应的另一个数量。这是应用正比例图像解决简单的实际问题，有助于加强正比例的概念。几乎每一道

15、题里都有这个要求。第三，根据图形，判断两种相关联量成不成正比例关系。前面已经说过，图像是一条直线的，两种量成正比例关系；图像不是一条直线的，两种量不成正比例关系。如练习十第3题。这些都是基本要求，每一个学生都应该达到。个别习题的题材，学生可能不太熟悉，如练习十第5题，弹簧挂上物体后长度会伸长。可以取一根弹簧，分别挂上质量明显不同的若干个物体，让学生看到，挂上质量轻的物体，弹簧伸得短；挂上质量重的物体，弹簧伸得长。体会物体质量与弹簧伸长的长度是两种相关联的量，它们有相对应的数据。（三） 调动学生的主动性和能动性，教学反比例的意义例3教学反比例的意义。教材安排的教学活动线索和例1十分相似：用60元

16、钱购买笔记本，用表格给出笔记本单价1元，可以买60本；单价2元，可以买30本；单价3元，可以买20本；单价4元、5元、6元分别可以买15本、12本、10本从表格里的数据体会总价60元确定不变，如果笔记本的单价不同，购买的数量就不同。虽然反比例与正比例有明显的不同，但探索正比例关系的活动经验，仍然能应用于反比例的学习中。例3没有像例1那样，提出一系列连续的问题，而是直接提出“表中的两个量是怎样变化的？这种变化有什么规律”，给学生较大的探索空间。教材希望学生在表格的两组数据中看到：单价和数量是两种相关联的数量，单价变化会引起数量的变化；看到单价与数量变化时，总价始终不变，即单价与数量的乘积保持不变

17、。于是得出描述这种变化的数量关系式“单价数量=总价（一定）”。在上述探索与交流的基础上，教材指出：单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化。当单价和数量的积总是一定时，单价和数量成反比例关系，单价和数量是成反比例的量。从而揭示反比例的概念，让学生意义接受这个概念。“试一试”呈现生产240个零件，工作效率和工作时间的几组对应数量。表格里已经给出工作效率分别是每小时120个、80个、60个，相应的工作时间分别是2小时、3小时、4小时，要求继续填写工作效率每小时48个、40个所对应的工作时间，体会这个问题情境里的工作总量不变，工作时间随着工作效率的变化而变化。教材通过四个问题，引导学生经

18、历“寻找相关联的两个量计算相对应的两个数的乘积解释乘积的实际意义用数量关系式表示工作总量与工作效率、工作时间的关系判断工作效率和工作时间成反比例”这一系列数学活动。这是识别两种量成不成反比例关系的思考线索，无论教材有没有提出辅助性问题，都应该像这样进行分析。通过例3和“试一试”的教学，学生初步感知了反比例的含义，于是教材接下来用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示两个量的乘积，把反比例关系表示成“xyk（一定）”，帮助学生进一步形成反比例的概念。举例说说生活中还有哪些成反比例的量，是把抽象的数学概念具体化。以反比例意义来衡量身边相关联的量，发现具有反比例关系的实际事例，既能加强对反比例关系的

19、体验，更有利于培养数学意识。配合反比例意义的练习题分三个层次安排。“练一练”第1题是第一层次的习题，在呈现两种变量的五组对应数据的表格下面，提出一些问题，引导学生研究反比例关系，得出两种变量成反比例关系的结论。“练一练”第2题和练习十一第1题是第二层次的习题，教材不再提供有关问题，要求学生自主开展反比例关系的研究活动，并对自己的发现作出解释。练习十四第3题是第三层次的习题，相关联的两种量有可能成反比例关系，也有可能不成反比例关系，关键在于两种量中相对应数量的乘积是不是保持不变。如长宽长方形面积（一定），长与宽是成反比例的量。（长+宽）2长方形周长，尽管这里的周长一定，但不符合xy=k（一定）的

20、特征，长与宽不成反比例关系。中学数学里，反比例关系的图像是一对双曲线。小学数学里，反比例关系的图像是一条曲线。无论是画出图像还是利用图像进行估计，都比较麻烦。所以，教材不把反比例图像作为基本教学内容，只是在“你知道吗”里略作介绍。练习十第48题是正比例和反比例的综合练习。第4题引导学生利用已经掌握的“圆柱底面积高=体积”，“钢材质量钢材体积=1立方分米钢材的千克数”，“儿童身高年龄”或“儿童身高年龄”没有实际意义，“圆的周长直径=”等数量关系，判断哪些量成正比例，哪些量成反比例，哪些量既不成正比例，也不成反比例。使学生明白，两个相关联的量，可能成正比例，可能成反比例，可能不成正比例也不成反比例，从而帮助他们形成比较全面的认识。第5题从正比例角度研究图上距离与实际距离之间的关系，包括以下内容：在