高考复习资料之正态分布

1、高考复习资料之正态分布一、基础知识回顾1 夕甘1正态分布：若总体密度曲线就是或近似地是函数 f(X)= 石e 2坊，X迂(亠，畑)的图象 其中：n是圆周率；e是自然对数的底；X是随机变量的取值，1为正态分布的平均值；二是正态 分布的标准差.这个总体是无限容量的抽样总体，其分布叫做正态分布.正态分布由参数，二唯 一确定，记作 N(d；") ,E( )= A ,D( )=T2 .2函数f(x)图象被称为正态曲线.(1) 从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为.x=h.并在x=p时取最大 值。(2)从x=y点开始.曲线向正负两个方向递减延伸.不断逼近 x轴.但永不与x

2、轴相交.因此 说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的,(3)当卩的值一定时，b越大，曲线越 矮胖”总体 分布越分散；b越小，曲线越 高”总体分布越集中.第1页共3页第#页共3页3.把 N(0,1)即卩=0, b称为标准正态分布，这样的正态总体称为标准正态总体，其密度函数为.x (-円+8),相应的曲线称为 标准正态曲线.1丄X2f(x)2 °24 .利用标准正态分布表可求得标准正态总体在某一区间内取值的概率.(1) 对于标准正态总体N(0,1) . ： (Xo)是总体取值小于xo的概率，即:G(xo) = P(x :： Xo).其中Xo 0 .其值可以通过 标准正态分布表”查得，也

3、就是图中阴影部分的面积，它表示总体取值小于x0的概率.(2)标准正态曲线关于y轴对称。因为当x00时，：:Xo) = P(x :： x0)；而当x0 : 0时，根据正态曲线的 性质可得：(x0) =1 ny-Xo)，并且可以求得在任一区间xx?)内 取值的概率：P(X1 : X ；：x2) =(x2)-门(儿),显然(0)=0.5.5对于任一正态总体NC-2)，都可以通过使之标准化 N(0,1)，那么，x_PX4P( : x)=P( <)= W().求得其在某一区间内取值的概率.acr例如：N(1,4),那么，设 =-,则 N(0,1)有 P( <3)=P( <1)=&quo

4、t;(1)=0.8413.(1)=08413、(2)=0.9772 (3)=0.9987第2页共3页、例题和标准差(T.1下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值(1)f(x)f(x)x22，(xd)2-8(3)f(x)2_2(x 1)22 e2正态总体的函数表示式是xV +8,(-8V xV +8(-8V xV +8f(X)二2e -2(x 1)2(-8VxV +8)( 1)求 f (x)的最大值;第3页共3页第#页共3页(2) 利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴.3利用标准正态分布表(1)=0.8413(2)=0.9772=0.998)求标准正态总体在下面区间取值的 概

5、率.(1) (0, 1)；(2) (1, 3);(3) (-1, 2).4 .利用标准正态分布表(1)=0.8413(1.84)=0.9671),求正态总体在下面区间取值的概率.(1)在 N(1,4)下，求 F(3)(2)在 N(L)下，求 P( j-1.84 <X< 卩 +1.84* 5 .对于正态总体N(),二2)取值的概率：(1) ( p- T 卩 + T：(2) ( p2 t p +2T(3) ( p-3 t p +3T取值的概率分别为 68.3%、95.4%、99.7%。因此我们时常只在区间(p3 t p +3)内研究正态总体 分布情况，而忽略其中很小的一部分，这一部分情

6、况发生为小概率事件。6. 下列关于正态曲线性质的叙述正确的是(1) 曲线关于直线x= p对称,这个曲线只在x轴上方；(2) 曲线关于直线x= t对称，这个曲线只有当x (-3 t 3 T时才在x轴上方；(3) 曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4) 曲线在x= p时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5) 曲线的对称轴由p确定，曲线的形状由t确定；(6) t越大，曲线越 矮胖”总体分布越分散；t越小，曲线越 高”总体分布越集中.()(A)只有(1 )(4 )(5 )(6 )(B)只有(2)(4 )( 5 )(C)只有(3)( 4 )(5 )( 6 )

7、(D)只有(1 )(5 )( 6 )7. 把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一个新的曲线b,下列说法不正确的是(A)曲线b仍然是正态曲线(B)曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等(C) 以曲线a为概率密度曲线的总体的方差比以曲线b为概率密度曲线的总体的方差大2(D) 以曲线a为概率密度曲线的总体的期望比以曲线b为概率密度曲线的总体的期望小 28.在正态总体N (0,9)中，数值落在(-8-1) U (1,+ 8里的概率为(A) 0.097(B )0 .046(C)0.03(D)0.0039设随机变量ZN(2,4),则D()等于2(A)12 (B)2(C)0.5(D)410设随机变

8、量 N (卩，万且P( Z< C)=$(CZ则C等于()(A)0(B)卩(C)-卩(D) d2111. 正态总体的概率密度函数为f(x) ： e 8,x-：打；3；,则总体的平均数和标准差分别是(A)0 和 8(B)0 和 4(C)0 和 2(D)0 和. 212填空题(1) 若随机变量 N(1,0.25),则2 Z勺概率密度函数为 .(2) 期望为2,方差为2二的正态分布的密度函数是 .已知正态总体落在区间(0.2,+韵概率是0.5,则相应的正态曲线f(x)在x=时，达到最高点已知 tN(0,1),P(Z< 1.96)=(1.96)1=0.W)96)=.(5) 某种零件的尺寸服从正态分布N(0,4),则不属于区间(-4,4)这个尺寸范围的零件约占总数的.(6) 某次抽样调查结果表明，考生的成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%,则考生成绩在60至84分之间的概率为 .参考答案：11(1)0,1(2)1,2(3)-1,0.5;2.(1)x=-1 时 fmax(x) ： ,(2)对称轴为 x=-1.3.(1)0.3413(2)0.1574(3)0.8185丁2兀4. (1)F(3)=0.8413(2) P( -1.84 <<X< 卩