非线性方程解法

1、第七章 非线性方程解法2. Newton-下山法.每次迭代在改变量前加一因子以保证收敛:x n+1=xn-n f(xn)/f(xn)这儿n在0,1间,可用各种方法搜索,例如用分半法取1,1/2,1/4,试探,使下山条件f(xn+1)<f(xn)成立为止。牛顿下山实验上机题目:牛顿下山法上机实验实验目的:编制求单变量非线性方程组的程序.实验要求: 上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言，算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等；用编好的程序在atlab环境中执行。利用Newton下山法来解方程；计

2、算步骤：准备 选定初始近似值x，计算f=f(x),。迭代 按公式 x迭代一次，得新的近似值x, 计算.最初=1，之后奖减半进行试算直到下山条件 f(xn+1)<f(xn)成立。控制 如果满足f(xn+1)<f(xn)则终止迭代，；否则转步骤4； 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数N，或者=0，则方程失败；否则以（x，）代替（）转步骤2继续迭代。算法例题：用牛顿下山方法解方程 x-x-1=0，取迭代初值 x=1.5, d=10.Newton下山法的Matlab程序：function x=newton_xiashanfa(f,x0,d,max)y=diff(f); %取导数y=inl

3、ine(y); %定义yf=inline(f); %定义fx(1)=x0;l=1;disp('k l x '); %以指定格式输出'k','x'.for k=1:max x(k+1)=x(k)-l*f(x(k)/y(x(k); % 计算公式 if abs(f(x(k+1)<abs(f(x(k) %判断是否小于d if abs(x(k+1)-x(k)<d break end else if abs(f(x(k+1)>abs(f(x(k) l=l/2; end w=k; end for k=1:wdisp(sprintf('

4、%d %f %10f ',k,l,x(k) %输出算结果 endx=x(k+1);运行结果：x=newton_xiashanfa('x3-x-1',1.5,10(-6),3)max =3k x f(x(K+1) f(x(k)3 1.325213 0.662708 0.463111x = 1.5000 1.3478 1.3252 1.3247Newton下山法的流程图:：流程图解释：1） 输入；2）把1 赋给;3）把赋给；4）判断，若那么表明下山成功，停止；若，那么到步骤5）；5）判断 ，若 ，重迭；否则把腻给 ，到步骤3）；3.   

5、60;   用差商代导数:x n+1=xn-f(xn)(xn-x n-1)/(f(xn)- f(xn-1)它免除了计算导数. Newton法解方程组试以二个未知数的非线性方程组为例介绍.与一维情况一样,在初始近似(x0, y0)用Taylor展开线性化.取线性部分的零点为新的近似,即解方程组求出x,y,再计算x1= x0+x, y1=0+y求出1次近似后,再用同样方法求2次近似,再求3次近似,4次近似,直到相邻两次近似之差(的范数)在预定许可范围内.下面看个例子；例         &

6、#160;    用Newton法解方程组, 解：取初始近似(1,1)T 计算结果如下表：nxyJ（系数矩阵）f1f01.00001.00002.0000 2.0000-2.0000 2.0000-3.0000-2.000011.25002.25002.5000 4.5000-0.7500 2.25001.62500.312521.00002.02782.0000 4.0556-0.9722 2.00000.11190.055631.00022.00012.0004 4.0002-0.9999 2.00020.0007664-0.000005441.00002.0

7、0002.0000 4.0000-1.0000 2.00000.4666×10-70.1835×10-7一般情况下n个未知数的非线性方程组k次近似x(k)=(x1(k),x2(k),xn(k)T用Taylor展开并线性化得线性方程组。令则线性方程组可写成 J(k)x= -f(k)解出x后便可算出x(k+1)=x(k)+x；这样得到算法如下：给出初始近似x(0)=(x1(0),x2(0),xn(0)T对k=0,1,计算J(k),f(k)解J(k)x= -f(k)求x计算新近似x(k+1)=x(k)+x直到x注：非线性方程组的Newton法与非线性方程的Newton法形式上可以

8、一致；x(k+1)=x(k)-(f (x( k)-1f(x( k) 这儿f (x( k) =J( k)Newton线截法:（给予参考）流程图解释：1） 输入和最大循环次序N；2）把1 赋给k;3）判断是否等于零，若=0，则输出奇异标志，停止；若，则到步骤 4； 4）把赋给；5）判断，若那么输出方程的近似解，即输出 ，停止；否则到步骤6；6）判断k 是否等于 N ，若k=N ，那么，输出迭代法失败标志，停止；否则过步骤7； 7）把k+1 赋给 k,把赋给，到步骤3；总结分析:Newton法收敛速度快，可是每步迭代要计算f(x)及它的导数，计算量大，有时计算导数较困难，而初始近似x只在x附近才能保

9、证收敛，如果x给的不适合可能不收敛。使用简化Newton和Newton下山法可将一阶方法加速为二阶.并可避免以上错误。 切线法     (x1,y1) x0 x2 x1 (x0,y0)方法这次我们用线性插值函数也就是用割线来构造近似.由初始近似x0, x1作线性插值函数,取其零点为x2:x2=x2-f(x2)(x2-x1)/(f(x2)- f(x1)一般x n+1=xn-f(xn)(xn-x n-1)/(f(xn)- f(xn-1)称为割线法.它要求两个初始值.下面来个例子。例2. 求f(x)=x3- x-1=0在区间1,1.5内的一个实根；解：割线法取

10、x0=1,x1=1.5,计算结果见表：.nxn01.0000000000000011.5000000000000021.26666666666667341.3252141139641451.3247138858183161.3247179553629071.3247179572447581.32471795724475割线法不用算f(x)的导数,又具有超线性收敛,是多点迭代法.常用的有效方法之一. 收敛性割线法在f(x)=0单根附近是p=(51/2+1)/2阶收敛的,并且有x n+1-f()/(2f()p-1x n-p割线法较Newton法收敛慢,但每步不必计算导数,总计算量也有可能低于New

11、ton法.因此,割线法颇具竞争力.          弦截法与抛物线法 弦截法用牛顿法求方程的根每步除计算f(x)外还要计算它的导数，当函数比较复杂时计算导数往往较困难，为此可以利用已求函数值来回避导数值的计算，这类方法建立在插值原理基础上的。设，是f(x)=0的近似根，利用f(),f()构造一次插值多项式(x),并用(x)=0的根作为f(x)=0的新近似根。由于。因此有因之，按上式求得的x实际上是弦线与x轴交点的横坐标，这种算法因此而称弦截法。（详看书上例题10）。为了在Matlab环境中实现弦截法有

12、兴趣着可以由以下程序编出它的算法：function x=xianjiefa(f,x0,x1,d,max)f=inline(f);x(1)=x0;x(2)=x1;for k=2:max x(k+1)=x(k)-f(x(k)*(x(k)-x(k-1)/(f(x(k)-f(x(k-1); if abs(x(k+1)-x(k)<d break end disp(sprintf('%d %f %f',k,x(k),x(k+1)end抛物线法设已知方程f(x)=0的三个近似根，以这三位节点构造二次插值多项式(x)并适当选取(x)的一个零点x，作为新的近似根，这样确定的迭代法过程称抛物

13、线法。其计算公式为：为了在Matlab环境中实现抛物线法有 兴趣着可以由以下程序编出它的算法：function x=paowu(f,x0,x1,x2,d,max)f=inline(f);x(1)=x0; x(2)=x1; x(3)=x2; w1=(f(x(2)-f(x(3)/(x(2)-x(3); t1=(f(x(1)-f(x(3)/(x(1)-x(3); t2=(f(x(1)-f(x(2)/(x(1)-x(2); w2=1/(x(1)-x(2)*(t1-t2); w=w1+w2*(x(3)-x(2);for k=3:max x(k+1)=x(k)-2*f(x(k)/(w+sqrt(w2-4*f(x(k)*w2); if abs(x(k+1)-x(k)<d break end disp(sprintf('%d %f %f',k,x(k+1),f(x(k+1)end x=x(k+1)弦截法和抛物线法是是属于插值方法，它们都不用算f(x)的导数，又具有超线性收敛，也是常用的有效的方法之一。这类方法是多