平面向量的数量积的性质

1、最新资料推移平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量“，b, 0为“与b的夹角.1. 若“力=0,则“与有什么关系？【提示】a b = O , r方HO #.cos 0 = 0 r 0 = 90°，"丄力2. a a等于什么？【提示】lablalcos 0° = kzl2.如果e是单位向量，则ae=e-a = ucos“，e；(2 丄 bOub = 0；(3) a-a = a2 即z v ab ,(4) cos a9 b=亦函(kdlblHO)；5)a-bab.平面向量数量积的运算律交换律：a b=b a,（2）分配律：（“+）c=“c+c；数乘向量结合

2、律：对任意实数2 ,2仍=（如7 =靜它互动探究咬疑难师生互动扳知施"合作探 究区I向量的数量积运算卜例（2013-海淀高一检测）已知=5個=4皿与b的夹角为120°,求a b. （2）求“在方向上的射影的数量.【思路探究】 利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】(l)ab = Slblcos 0 東!扌隹二 5X4Xcos 120。二 5X4X(冷二-10.八5(2).|tdcos 0二 5Xcos 120。二-/5在b方向上的射影的数量为-1.I规律方法I1 在书写数量积时，“与方之间用实心圆点“ ”连接，而不能用“ X ”连接， 更不能省略不写.2. 求平面向量

3、数量积的方法若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a二1“11方IcosO.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量,可利用数量积 的几何意义求1. (2013-玉溪高一检测)已知31=6,血1=3, ab=-2，则“在方向上的射 影的数量是()A.4B.4C. 2D.2ab - 122、【解析】COSO ,= 77=巧,向量"在向量b方向上的射影的数量为kdcoso "> = 6X(-剳二-4 ,古攵选A.【答案】A2. 已知01=6, e为单位向量，当向量“、e之间的夹角0分别等于45。，90°,135。时，分别求出a e及向量“在e方向上

4、的正射影的数量.【解】 当向量“和e之间的夹角3分别等于45。，90。，135。时，k/1-lelcos 45° = 6X 1 X芈=32 ； 资 1推k/l-lelcos 900 = 6X 1X0 = 0 ；k/l-lelcos 135。= 6 X 1 X （-半）二-3返当向量"和e之间的夹角0分别等于45。, 90° , 135°时，在e方向上的正射影的数量分别为：l“lcos 0 二 6 X cos 45° = 3返；lalcos 0 二 6 X cos 90° = 0 ；k/lcos 0 = 6Xcos 135°

5、二-3/2.与向量模有关的问题卜例已知向量“与的夹角为120°,且lal=4, 11 = 2,求：（1）0（2）1（+方）（一2"）1思路探究】 利用a a = “2或二松求解.【自主解答】 由已知 a b = lalllcos 0 = 4X2Xcos 120° = -4 t(r = lai2 = 16 #(.'a + b卩二(“ + )2二“2 + 加上 + 沪二16 + 2乂(4) + 4二12 ,0 +勿二 2羽(2)T( +)(“ -2b) = a2 - a b - 2b2 = 16 - ( - 4) - 2X4 = 12 r".l(a

6、+")(“ -2b) =12.I规律方法I1. 此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系.2利用“.“二“2 =如2或二百，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.> 变 Jt illl 练设°、勺是夹角为45。的两个单位向量，且“=引+2勺，b = 2e+e2,试求0般新资料推移+勿的值.【解】'-V/ + 二(° + 22)+ (2e + 02) 3(g + 血)I.".la + b = I3(g +2)l = 3e + eA = 3yj(s + 2)2=+ 2e-e2 + ei = 3j2 + y2.卜例与向量夹角有关的问题(201

7、4济南高一检测)若向量“M, c两两所成的角均为120°,且lal = l, b=29 lcl=3,求向量a+b与向量a+c的夹角0的余弦值.【思路探究】先利用已知条件z分别求出(a + b)a + c) f 0 +勿和0+c的大小,再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】(“ +)(“ +c) = a2 + ab + ac + bc9=1 + lX2Xcos 120°+ lX3Xcos 120° + 2X3Xcos 120°= -5 za+b = yj(a + b)2 = yja2 + 2a b + b2= 12 + 2X1X2Xcos 1200 + 2

8、2 = 3 ,a+c = ja2 + 2a c + c2 二 * f9(a + b) (a + c)' 23回g" |“ +典+c| 二庇百-14 '所以向量“ + D与“ + c的夹角0的余弦值是-警.I规律方法I1 求向量“ / b夹角的流程图最新资料推荐免复杂的运算.娈貳an练(1) (2014-辽宁师大附中高一检测)若向量“与不共线,“ bHO,且c=a鴛阮则“与c的夹角为()兀A.O B.&7TC371(2) (2014-贵州省四校高一联考)若lal=2, 11=4且(“+")丄“，则“与的夹角是()cHO , .F丄c ,与c的夹角为扌z

9、故选D.(2)因为(“ +")丄“ f 所以(“ + by a =a2 +a b = 0 # B 卩 ub = - a2 = - 4 t 所以ab - 4J2兀cosv“ f 二亦和二卡肓二-2 /又因Vf /曰0 /兀/所以"与的夹角是/ 故选A.【答案】(1)D (2)A巧分耕解疑娇锲邀昭骅混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误典例 设两向量ei, e2满足：leil = 2,匈=1, e, ei的夹角为60。.若向量 2"+7勺与向量ei+/e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【错解】由已知得e“2二2Xlxg二1 ,于是(2tei + 7&#

10、171;2)-(ei + tei) = 2tey + (2卩 + l)evei + Itei = 2P + 15/+ 7.最新资科推殍因为2街+ 7e2与<?i + te2的夹角为钝角,所以 2+15/ + 7<0 ,解得-7<r< -【错因分析】 当两向量反向共线时,其数量积为负，但夹角不是钝角而是 平角.【防范措施】 若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180。,其数量积也为负.【正解】 由已知得eg二2X 11 ,于是(2tei + le2)-(ei + tei) = 2te + (2尸 + l)e-e2

11、+ 7tei 二 2只 + 15/ + 7.因为2te+7e2与ei + te2的夹角为钝角,所以 2t + 15f + 7<0 ,解得-7<t< - 2«但是，当2te +7e?与ei +"2异向共线时,它们的夹角为180° ,也有2r+15/ + 7<0 ,这是不符合题意的.此时存在实数2 ,使得2tei + lei X(e + tei),即 2/ 二久且 7 =z/ ,解得 t =故所求实数f的取值范围是-7Z -宇U零-4)-课堂小结1 两向量“与b的数量积是一个实数，不是一个向量,其值可以为正（当“H0, 工0,0。冬0<9

12、0。时），也可以为负（当“H0, 工0,90。<00180。时），还可以为0（当 “=0或力=0或0=90。时）.2. 数量积对结合律一般不成立，因为d）.c = l“ll勿cos“，b c是一个与c 共线的向量，而（”c） = kdlclcos （a, c是一个与共线的向量，两者一般不 同.3“在b方向上的射影与在“方向上的射影是不同的，应结合图形加以区 分.極堂练生生互动达取标"习区I 東!扌隹【答案】3. 已知"1=4,血1=6, “与的夹角为60。,则向量“在向量方向上的射影是解析】向量a在向量b方向上的射影是blcos 60°二4 X二2.【答案】

13、24. 已知01=4,血1=5,当(l)a/b； (2丄氐(3)“与b的夹角为30。时，分别 求“与的数量积.【解】(1)当“I"时，若“与D同向，则0二0。，二 k/llblcos 0° = 4X5 = 20 ；若a与b反向,则0二180。,.ii b = l«IIZ>lcos 180° 二4X5X( - 1)二-20.(2) 当"丄b时，<a ,方二彳.兀"b = l«IIZ>lcos = 4X5X0 = 0.(3) 当"与b的夹角为30。时，a-b = k/ll/?lcos 30°

14、 = 4X5X= 103.课下測自我许付課考处评区I一、选择题1.01=1, I刿=2, c=a+b且c丄“，则“与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】C丄"；设“与的夹角为0 t则(“ +b) a = 0 ,所以"=0 ,所以“2 +她20二0,般新资料推移则 1 + 2cos 6 = 0 ,所以 cos 0 二-* ,所以 0 = 120。.故选 C.【答案】C2. 若向量“与的夹角为60。，01=4,且(“ + 2"(“一3切=一72,则“的模 为()A.2B.4 C.6D.12【解析】&

15、#39;-'(a + 2b) (a - 3b) = a2 - a b - 6b1=1“卩-l“lllcos 60° - 61 方卩=la卩-201 - 96 = - 72 ,.-.1</12-21«1-24 = 0/= 6.【答案】C 3. /ABC 中，AB AC<0f 则人(7是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 *【解析】ABAC = IABIL4CleosA<0 t cos A < 0./.A 是钝角/ABC是钝角三角形.【答案】C4. (2014-怀远高一检测)已知，与/为互相垂直的单位向量，a=i2j,

16、b=i+ 且“与方的夹角为锐角，则实数人的取值范围是()A. (8, _2)U(2, gB. &, +8)MT，|)u伶 +8)D(-8, I)【解析】:ah二(i -勿(i +万)=1 -22>0# A v g ,又“、同向共线时,a b > 0，设此时a = kb(k > 0)'贝！K -万二k(i +万)，k 丫必二-2 , “、b夹角为锐角时f 2的取值范围是(-00/-2 二应 #2)U(-2 , £),故选 A.【答案】A5. (2014-皖南八校高一检测)在O4B中，已知Q4=4, OB=2,点、P是AB的垂直平分线/上的任一点，则OP

17、 AB= )A.6B.-6 C.12D.-12f* >ff】f【解析 设AB的中点为M f贝OP AB二(OM + MP)AB = OM AB =丸04 +A 1 OB) (O B - 0A) = (OB2 - OA2) = - 6故选 B.【答案】B二、填空题6. (2014-北大附中高一检测)向量“与方的夹角为120。，01=1,血1 = 3,则15“bl=.3【解析】 因为(i9b = lallZilcos 120° = -# 所以 15“ - b2 = 25a2 - 0a b + b2 =25 - 10x(-寻 + 9二49 ,所以 15“ -洌二7.【答案】77. 已

18、知“丄方，1“1 = 2,切=3,且3a+2b与加_b垂直，则人等于.【解析】(3“ +乃)丄(肋)(肋-by (3a + 2b) = 0 f.32 + (2X-3)a b - 2b2 = 0.又."1 = 2 , b = 3 , a-Lb ,/. 12A + (22 - 3) X 2 X 3 X cos 90° - 18 = 0 z 東!扌隹3.-.12A - 18 = 0 f .".2 = y【答案】I&(2014温州高一检测)已知“是平面内的单位向量，若向量b满足b ab)=0,则I勿的取值范围是.【解析】 设a , b的夹角为6 ,由b (a -

19、b) = 0 ,得11- lalcos 0 -血卩二0.解得01 = 0或I拥二I“lcos0二cos0Wl ,所以创的取值范围是0,1.【答案】0,1三、解答题9. 已知向量“、0的长度51=4, 01=2.(1) 若“、b的夹角为120°,求13“一4勿；(2) 若"+勿=2羽,求“与的夹角0.【解】(1M方二 I“l0lcos 120°= 4X2X(-扣-4.又 13“ - 4D卩=(3a - 4b)2 = 9a2 - 24a b + 16b2= 9 X 42 - 24X(-4)+ 16 X 22 = 304 ,.13“ -4勿二 4侮.(2)-.1

20、1; + 刿2 二 + 方)2 = “2 + 加.方 + b2= 42 + 2a b + 22 = (2y3)2 ,.,“ ab -41Sb 二4,.cos"丽二而二 2-7jr又0曰0 ,兀,二亍10. 已知“丄氐且l“l=2, I勿=1,若有两个不同时为零的实数k, t,使得“+(一30与一ka+tb垂直，试求k的最小值.【解】'"丄b , :.ab = 0 ,又由已知得“ + (r - 3问(- ka + tb) = O ,/. - ka2 + /(/ - 3)b2 = 0.= 2 t b= ,- 4k + t(t - 3)二 0.ii 39k 二 (r2 -

21、 3r) = 4(/ - j)2 -厉(fH0)故当t = j , k取最小值-点11.(2014-淄博高一检测)设向量“，b 满足a = b= 1,且3a2b=y7.(1)求“与b夹角的大小；求“+与b夹角的大小；小13“+洌八w叫3“ 一勿的值【解】 设与b的夹角为3 t (3a - 2b)2 = 9lal2 + 4b2 - 2ab = 7 z又l“l = b= , ：4rb - g ,.kdlblcos 0 二 * ,又G0 , ti , :.a与b的夹角为专.13(2)设与b 的夹角为 a , a + bb=b2+a b= 1 + J = 2 1a+b = yju，+ b? + 2ab

22、 二羽，b = 1 f(“ +bb.-.cos a =a+bb3一心一 2又aG0 x 71 f :M + b与b的夹角为彳.(3)(3“ + b)2 = 91“卩 + 6a-b + 血卩= 9 + 3+1 = 13 ,(3a - b)2 = 90卩-6a-b + IZ>I2 = 9 - 3 + 1 =7 z91713“ + b13" - bV13蔑站展因材施数庶視野”(教师用书独具)»备选例题已知向量“、b不共线，且12“+洌=0 + %1,求证：(“+盯丄(“一盯.【思路探究】 证明a + b与“-方垂直，转化为证明a+b与“-b的数量积 为零【自主解答】'.-2a+b = a + 2b ,.'.(2a + b)2 = (a + 2b)2 ,：.(r +