阶跃函数和冲激函数

1、§ 1.4阶跃信号和冲激信号函数本身有不连续点跳变点或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇 异函数。主要内容：? 单位斜变信号? 单位阶跃信号? 单位冲激信号? 冲激偶信号一单位斜变信号t ：o2 有延迟的单位斜变信号t _0t :tot _tooR(t切=冷t to由宗量t -to=0可知起始点为3 三角形脉冲ft=KRto单位阶跃信号1.定义t：ot o0点无定义或2.有延迟的单位阶跃信号u(tto)=甲(t _to)1t ：0, to 0t > to'U(t +to)1-to Ot _to 1=0可知t二记0 ,即时间为-to时，函数有断点，跳变点宗

2、量0 函数值为1 宗量0函数值为03 用单位阶跃信号描述其他信号门函数：也称窗函数11ft)GT t)J 022符号函数：Signumu(t) =jsgn(t)t 0t :0其他函数只要用门函数处理 乘以门函数，就只剩下门内的局部。广1sgn(t) =<sgn(t) - -u( -t) u(t)二 2u(t) -1三.单位冲激难点概念引出定义1定义2冲激函数的性质定义1:狄拉克(Dirac)函数J'(t)dt =1五)=0 t =0函数值只在t = 0时不为零;积分面积为1;t =0时，t 厂：，为无界函数。定义2P(t)二面积1;脉宽J；脉冲高度T；那么窄脉冲集中于t=0处三个

3、特点：面积为1宽度为0.片一宀无穷 t =0幅度0t H0L描述i (t) =lim.0oOJL(1)、(t -t。)cdt(1)时移的冲激函数假设面积为k,那么强度为k。.>0极限，都可以认为是冲激函数。三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取 冲激函数的性质为了信号分析的需要，人们构造了t函数，它属于广义函数。就时间 t而言，：t可以当作时域连续信号处理，因为它符合时域连续信号运算的某些规那么。但由于t是一个广义函数，它有一些特殊的性质。1抽样性2.奇偶性3 冲激偶4.标度变换抽样性(筛选性)如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，那么有(0)对于移位情况:、；(t)f (

4、t 亠0)=f (to)J.(t)；：、.(t-to)f(t)dt rf(to)2.奇偶性(t)乞(t)利用分部积分运算")f(0)dC)f(0)3冲激偶s(t)(t)冲激偶的性质二、(t)f(t)dt 二f (0)7- (t)f(t)dtft)二- f (t)、(t)dt一f (0)对：t的k阶导数:cO少 t f t dt=T kf(k) 0时移，那么:qQ：、(t _to)f(t)dt=f (to)qQI (t)dt =0,(t)dt t(to _t) _ _、(t_t°)(t)二一 (t).所以 (t)是奇函数f t、(t) =f 0、(t) f (0)、t ,(与

5、 f (t)、：(t) =f 0t 不同)4.对J(t)的标度变换1 6(at)=6(t)a冲激偶的标度变换1 16 '(at )=6 '(t)a a、(k)atfk)t|a| aR(t)，u(t)，、(t)之间的关系u(t)1-t(t)f(1)tI_ tR(t)求u(t)积(-:<t< :)导分(t)冲激函数的性质总结(1)抽样性f(t)、.(t)二 f(O)、.(t)；f(t)、.(t)dt=f(O)D =3(t)(2) 奇偶性1(3) 比例性'3)匚|门(4) 微积分性质6化)=迎f/(E)di=u(t)dtJ(5) 冲激偶ft t "t(t)資(t)dt=0d'(t)dt=6(t)；_f(t)、.(t)dt -f (0)(6)卷积性质f(t)T(t)=f(0)T(t)-f(0)、；(t)冲激函数抽样性质证明分t和t =0讨论