第3章 3.4 3.4.1　基本不等式的证明

1、.3.4根本不等式a0，b03.4.1根本不等式的证明学习目的：1.理解根本不等式的内容及证明重点2.能运用根本不等式证明简单的不等式重点3.能用根本不等式求解简单的最大小值问题难点自 主 预 习·探 新 知1算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数2根本不等式假如a，b是正数，那么当且仅当ab时取“，我们把不等式a0，b0称为根本不等式考虑如何证明不等式a>0，b>0?提示ab2222·20，当且仅当ab时，等号成立，ab2，当且仅当ab时，等号成立根底自测1考虑辨析1对任意a，bR，都有ab2成立2不等式a2

2、44a成立的条件是a2.答案1×22假设两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，那么a_，b_.解析由题意可知a2，b2.答案22合 作 探 究·攻 重 难用根本不等式证明不等式a，b，c为不全相等的正数1求证：abc>；2求证：abc. 【导学号：57452095】思路探究1利用ab2，ac2，bc2求证；2利用b2；c2；a2求证解1a>0，b>0，c>0，ab2，ac2，bc2.又a，b，c为不全相等的正数，abc.又a，b，c互不相等，故等号不能同时取到，所以abc>.2a，b，c，均大于0，b22a，当且仅当b时等号成立c22

3、b，当且仅当c时等号成立a22c，当且仅当a时等号成立相加得bca2a2b2c，abc.规律方法利用根本不等式证明不等式的条件要求：1利用根本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和或“积式，通过将“和式转化为“积式或将“积式转化为“和式，从而到达放缩的效果.2注意屡次运用根本不等式时等号能否取到.跟踪训练1a，b，c0，且abc1.求证：9.证明法一：a，b，c0，且abc1，332229.当且仅当abc时等号成立法二：a，b，c0，且abc1，abc332229，当且仅当abc时等号成立.应用根本不等式应注意的问题探究问题1不等式“x22成立吗？为什么？提示不成立如当x<0时，

4、x<0，显然不成立2当x<0时，能否应用根本不等式求解，x的范围是多少？提示可以，当x<0时，x>0，x22.当且仅当x，即x1时等号成立，x，23当x0时，如何求“x的最小值？提示xx1121211，当且仅当x1，即x0时等号成立求函数yx>1的最小值，并求相应的x值思路探究解yx15，x>1，x1>0，y25459.当且仅当x1，即x1时，等号成立函数yx>1的最小值为9，此时x1.母题探究：1.变条件本例条件改为当x1时，求y的最大值，并求相应x的值解yx15x<1，x1<0，yx15451，y1，当且仅当x1，即x3时，等号成

5、立函数yx<1的最大值为1，此时x3.2变条件本例条件改为当x>1时，求y的最大值，并求相应x的值解y，x>1，x1>0，y，当且仅当x1，即x0时，等号成立yx>1的最大值为，此时x0.规律方法1根本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等，三个条件缺一不可在解题过程中，为了到达使用根本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、别离常数等变形手段，创设一个应用根本不等式的情境2应用根本不等式求函数最值，常见类型如下：1构造积为定值，利用根本不等式求最值；2构造和为定值，利用根本不等式求最值提醒：利用根本不等式求最值，千万不要无视等号成立的条件当 堂 达 标·固 双 基1a12a>0中等号成立的条件是_解析等号成立的条件是两项相等，即a1.答案a12函数fx2xx>0有最小值为_解析2x28，当且仅当x2时等号成立答案83x>0，那么函数fx7x的最大值为_解析因为x>0，那么函数fx7x7721，当且仅当x即x3时取等号答案14设b>a>0，且ab1，那么四个数，2ab，a2b2，b中最大的是_解析b>a>0，a2b2>2ab.又ab1，b>.