数学归纳法在高等代数中的应用

1、.数学归纳法在高等代数中的应用容摘要 ：文章主要通过实例介绍了数学归纳法在多项式、排列、行列式、矩阵、二次型、线性空间、 线性变换等方面的应用简单的做了汇总， 说明了数学归纳法在解决高等代数实际问题中的重要作用 .关键词 ：数学归纳法高等代数应用在高等代数课本中我们经常用第一数学归纳法和第二数学归纳法来证明许多的定理，但是课本中却没有数学归纳法明确的定义. 因为在上高等代数课老师讲到数学归纳法时讲数学归纳法有好几种（查看附录），我就对这个课题产生了兴趣，所以写了这个课题. 数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它是用来证明与自然数n 有关的命题 . 而在高等代数中，行列式的阶、多项式的元、

2、矩阵的行与列、线性方程组的未知量、二次型的元、线性空间的维数均与自然数有关, 因此数学归纳法在高等代数中的应用非常重要. 本文将第一数学归纳法和第二数学归纳法在高等代数中的应用做叙述.一数学我归纳法概念【 18】【 19】1第一数学归纳法：设 P(n) 是关于自然数n 的命题，若（1） P(n) 在 n1 时成立；（2）在 P( k) （ k 是任意自然数）成立的假定下，可以推出P( k1) 成立，则P( n) 对一切自然数n 都成立 .2第二数学归纳法：设 P(n) 是关于自然数n 的命题，若，（1） P(n) 在 n1 时成立 ;.（2）在 P( k) （ 1nk , 其中 k 是任意自然

3、数）成立的假定下，可以推出P(k1) 成立，则 P(n) 对一切自然数n 都成立 .二、数学归纳法的应用（一）数学归纳法在多项式中的应用例 1 【7】【12】【14】 每个次数 1 的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 .证明：对次数n 作第二数学归纳法.对一次多项式显然成立.假设对次数n 的多项式已经证明.设 f ( x) 是 n 次实系数多项式. 有代数基本定理，f ( x) 有一个复根. 如果是实数 ,那么f ( x) (x) f1( x) ，其中 f1 ( x) 是 n 1次实系数多项式 . 如果不是实数， 那么也是 f(x) 的根且. 于是 f (

4、 x)( x)( x ) f2 ( x) .显然 (x)( x)x2() x是一实系数二次不可约多项式. 从而 f2 ( x)是 n2 次实系数多项式 . 由归纳法假定，f1( x) 或 f2 (x) 可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因之f ( x) 也可以如此分解 .例 2【9】【 10】【 17】 已知 f1 (x), f2 ( x),L , fs 1 ( x) 是不全部为零的多项式, 其中( f1( x), f 2 ( x),L, f s 1 (x), f s( x)( f1 (x),L , fs 1 (x),f s ( x) （ 1），存在多项式u1( x), u2 ( x),

5、L,us (x) ，使 u1 (x) f1 (x) Lus (x) fs (x)( f1 (x),L , fs ( x) .证：对 s 用第二数学归纳法当 s2 时 ， 结 论 显 然 成 立 . 假 定 对 s 1 个 多 项 式 结 论 成 立 ， 即 存 在 多 项 式k1( x),L, ks 1 ( x)， 使 k1 (x) f1 ( x)Lks 1( x) fs 1 (x)( f1 ( x),L , fs 1 ( x)d1( x)(2)（ d1 ( x) 为 f1 ( x),f 2 ( x),L , f s 1 (x) 的一个公因式） .再证对 s 个多项式结论也成立 .由 于 (d

6、1( x), fs( x)d ( x)（ d ( x)为 f1 (x),L , fs ( x) 的 一 个 公 因 式 ）， 故 存 在u( x), us( x) ，使 u( x)d1( x)us ( x) fs ( x)d( x) ( f1 (x),L , fs (x) .把（ 2）式代入（ 1）式，得1u( x)k1( x)f1( x)Lu( x) ks1 (x)fs1 (x)us( x) f s( x)( f1 (x),L, fs (x)或 u1 (x) f1 ( x) Lus 1 (x) f s 1 ( x)us (x) fs (x)( f1( x),L, f s(x) .其中 ui(

7、 x)u(x)ki ( x), i 1,2,L , s 1.例 3 【8】设 f1 (x),L,fm ( x) 及 g1 ( x),L, gn ( x) 为 mn 个多项式，而且( fi ( x) g j( x)1,i1,L, m; j 1,L, n .证明 : ( f1 ( x) f2 (x)Lfm 1 (x) fm (x), g1( x) g2 (x)Lgn 1( x) gn (x)1 .证：对 m 用第二数学归纳法 .当 m1时，再对 n 用第二数学归纳法 .当 n1 时，结论当然成立，因为有( f1 ( x), g1 (x) 1.假定 n1时，结论成立，即有( f1 ( x), g1

8、( x) g2 ( x) Lgn 1( x)1 .但是 ( f1 ( x), gn ( x)1 ,故由 ( 若 ( f ( x), g( x)1,( f (x), h( x)1得 ( f ( x), g( x)h( x) 1) 知，有 ( f1 ( x), g1( x)g2 ( x)Lgn 1 ( x) gn ( x)1 .即 m1时结论成立 .假定结论对 m 1成立，即有 ( f1( x)Lf m 1( x), g1 ( x) g2 ( x) Lgn 1( x)gn ( x) 1 .再根据m时成立的结论 , 有( fm( x), g1( x) g2 ( x) Lgn 1( x) gn ( x

9、)1, 得1( f1( x) f2 (x)Lfm 1(x) fm (x), g1( x) g2 ( x) Lgn 1( x) gn ( x)1 . 即结论对 m 成立。从而有数学归纳法原理知，结论对任意正整数m, n 均成立 .（二）数学归纳法在行列式中的应用例 4 【6】【 9】【13】 设 i1 L in 及 j1 L jn 为数码 1,2,L ,n 得任意两个排列 .证明：总可以通过对换把一个变成另一个，且若二者奇偶性相反（相同），则必须用奇 ( 偶）数个对换 .证：对数码个数n 用第二数学归纳法 .当 n2 时结论显然成立 .假定对 n1个数码结论已成立 . 下证对 n 个也成立 .若

10、 i1j1 ,则 i2 L in 与 j2 L j n 是 n 1 个数码的排列，按归纳假设他们可以通过对换互2化，亦即 i1i2 L in 与 j1 j 2 Ljn 可通过对换互化 .如果 i1j1 , 设 iij1 , 则 i1i2L in 通过对换（ i1ii ）化成 iii 2 L i1Lin , 它与 j1 j2 L j n 就是上面情形 . 所以又可通过对换把 iii 2 L i1Lin 化为 j1 j2 Lj n .又由于对排列每施行一次对换都改变排列的奇偶性，故当 i1i 2 Lin 与 j1 j 2 L jn 的奇偶性相反时，只能通过奇数个对换把一个变成另一个；而当二者奇偶性

11、相同时，只能通过偶数个对换把一个变成另一个.111L1a1a2a3Lan例 5 【14】【17】行列式 da12a22a32Lan2（ 1）称为 n 级的德蒙德行列式 . 证MMMMa1n 1a2n 1a3n 1Lann 1明：对 任 意 的 n(n2) ， n 级 德 蒙 德 行 列 式 等 于 a1, a2 ,L , an 这 n 个 数 的 所 有 可 能 的 差ai aj (1 jin) 的乘积 .我们对 n 作第一数学归纳法 .当 n 2 时，11a2 a1 ，结论是对的 .a1a2设对于 n1级的德蒙德行列式结论成立，现在来看n 级的情况 .在（ 1）中，第 n 行减去第 n1行的

12、 a1 倍，第 n1 行减去第 n 2行的 a1 倍 . 也就是由下而上依次的从每一行减去它上一行的a1 倍，有111L10a2a1a3a1Lana1d 0a22a1a2a32a1a3Lan2a1anMMMM0a2n 1a1a2n 2a3n 1a1a3n 2L ann 1a1ann 2a2a1a3a1Lana1a22a1a2a32a1 a3Lan2a1anMMMa2n 1a1a2n 2a3n 1a1a3n 2Lann 1a1ann 23111L1a1a2a3Lan(a2a1 )( a3a1 )L(ana1 )a12a22a32Lan2. 后面这行列式MMMMa1n 2a2n 2a3n 2Lan

13、n 2是一个 n 1级的德蒙德行列式，根据归纳假设，它等于所有可能差ai a j (2j i n)的乘积；而包含a1 的差全在前面出现了. 因之，结论对级德蒙德行列式也成立. 根据数学归纳法，完成了证明 .例 6【11】【12】 设 a1a2 Lan0,证明：1 a111L1111a21L11n1 ) .n111a3 L11 = a1a2 Lan (1+MMMMMi 1ai111L11an证：对行列式的阶数n 用第二数学归纳法 .当 n2时可以直接验算结论成立 .假定对这样的 n1阶行列式结论成立，进而证明对阶数为n 时结论成立 .按n 的最后一列，把n 拆成两个 n 阶行列式相加：1 a11

14、L111 a11L101 1 a2L111 1 a2L10nMMMMMMMM11L1 an 1 111L 1 an 1011L1111L1an= a1a2an-1an n 1.a1a2 Ln11) ，从而有但由归纳假定，n1an 1 (1+aii1na1a2 Lan1an a1a2 L an 1 (1+n11 )i1ai=a1a2 Lan1 an (1+n1 ) .i 1ai例 7证明：4123Ln1nx12Ln2n 1D nxx 1 Ln 3 n 2( 1)n( x 1)nxn MM MMMxxxL12xxxLx1证：对 n 用第一数学归纳法.当 n2时显然成立 .假定对 n1成立，下证对n

15、 也成立 .按第一列把 Dn 表示成两个行列式相加，再由归纳假设即得x 23Ln1 x 23Lnx 12Ln 1012Ln 1Dn xx x L n 20x 1L n 2MM MMMM MMxxxL10xxL1123Ln1 2 3 L n 11 1 2 L n 1x 1 2 L n 2= x 1 x 1Ln 2( x 1) x x 1L n 3M M MMM M MM1 x xL1xxxL1= x( 1)n 1 xn 2(x 1)( 1)n 1 ( x 1)n 1xn 1 =( 1)n( x 1)nxn .（三）数学归纳法在矩阵中的应用注：数学归纳法不仅可以在证明题中运用还可以在计算题中运用.

16、 在计算题中用到时首先用不完全归纳法猜想出结果，再用数学归纳法证明其结果正确.1n0例 8【7】【 12】【14】计算01 .0010nnn n 1n(n1)n 2n2n 1解：利用不完全归纳法可猜想到010n，0000n5下面用第一数学归纳法证明.10222 11当 n2时，有 01022 1 ，即结论成立 .00002假设对于 n1，结论成立，1n 1n1(n1)n 2(n1)(n 2)n 302即 010n 1(n 1) n 2.0000n 11n10n 1100则对于 n ，有 010101000000n 1(n 1)n 2(n 1)(n2)n 310n12n 20(n 1)0100n

17、100nn n 1n(n1)n 2n2n10n.00n1nnn n 1n(n 1)n 202故 010nn n 1.0000n例 9【12】【14】设 A 是一 nn矩阵， A1，求证： A 可以表成 P(i , j( k) 这一类初等矩阵的乘积 .证明：用第一数学归纳法.当 n2 时，结论成立 .假定对于 n1结论成立，可推证当n 时的结论 .6a11La1na11 La1n 若 a110，则 Aa21L a2 nr2r11 a211 L a '2nMMaMMuuuuuuuuuuuuuur11an1Lannan1 Lann1La '1n10L0r1r2 (1 a11 )1 L

18、a '2n L0 b22L b2 n.uuuuuuuuuuuuurMMuurMMMan1Lann0bn2Lbnn10B . 即 A 可以通过一系列第三种初等变换化成B ，由于第三种初等变0B1换不改变行列式的值，因此ABB11. 又 B1 是 n1级矩阵，由归纳假设有，B1 可以用第三种初等变换化成单位矩阵E ，因而 B 也可以用第三种初等变换化成E ，这就是说，A 可以用一系列第三种初等变换化成E ，所以 A 可以表示成 P(i, j ( k) 这一类初等矩阵的乘积 . 若 a110 ，则由A1 0 可知， A 的第一列至少有一个ai1 0(i1) ，不妨设a11La1n1La &#

19、39;1na21 0 ，则 Aa21La2 nr1r2(a211(1 a11 )a21La2n这就化成了 的情形，MMuuuuuuuuuuuuuuuuuuurMMan1Lannan1Lann结论也成立 .综上，结论成立.（四）数学归纳法在二次型中的应用例 10【7】【 12】【 14】数域p 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和d1 x12d2 x22Ldn xn2 的形式 .证明：我们对变量的个数n 作第二数学归纳法.对于 n1 ，二次型就是f ( x1 )a11x12 . 已经是平方和了. 现在假定对n1 元的二次型，定理的结论成立.nn再设 f ( x1 , x2 ,L

20、, xn )aij xi xj (aija ji ) .i 1j1分三种情况来讨论：1） aii (i1,2,L , n) 中至少有一个不为零，例如a110 . 这时7, xn ) a11x12nnnnf ( x1 , x2,La1 j x1 xjai1xi x1aij xi xjj2i 2i 2 j2a11x12nnn2 a1 j x1x jaij xi xjj 2i2j2nnnna11( x1a111a1 j x j ) 2a111( a1 j xj )2aij xi x jj2j2i 2 j2a11( x1na111a1 j x j ) 2nnbij xi xjj2i2j2nnnnn这里

21、bij xi xja111 ( a1 j xj )2aij xi x ji 2j 2j 2i2 j2ny1x1a111a1 j x j ,j 2是一个 x2 , x3 ,L, xn 的二次型 . 令y2x2 ,Mynxn ,n1axyaxj,11111 jj2即x2y2Mxnynf (x1, x2 ,L , xn ) a11 y12nn这是一个非退化线性替换，它使biji 2j 2z2c22 y2nnz3c32 y2由归纳假定，对bij yi yj 有非退化线性替换i 2j 2zncn2 y2能使它变成平方和 d2 z22d3 z32L dn zn2.yi y j .c23 y3Lc2n yn

22、 ,c33 y3Lc3n yn ,Mcn3 y3Lcnn yn ,z1y1,于是非退化线性替换z2c22 y2Lc2n yn , 就使 f ( x1, x2 ,L , xn ) 变成Mzncn2 y2 Lcnn yn ,f ( x1 , x2 ,L , xn ) a11z12d2 z22d3z32 L dn zn28即变成平方和了. 根据归纳法原理，得证.2） 所有 aii0 ，但是至少有一a1 j0( j1) ，不失普遍性，设a120 .x1z1z2 ,x2z1z1,令x3 =z3 ,. 它是非退化线性替换，而且使Mxn =zn .f ( x1 , x2 ,L , xn )2a12 x1x2

23、L2a12 ( z1z2 )( z1z1 )L2a12 z122a12 z22 L , ，这时上式右端 z1, z2 ,L , zn 是的二次型，且z12 的系数不为零，属于第一种情况定理成立.3） a11a12La1n0 .nn由于对称性， 有 a21a31Lan10 这时 f ( x1 , x2 ,L , xn )aij xi x j . 是 n1 元i2 j2二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.这样我们就完成了证明.（五）数学归纳法在线性空间中的应用例 11【12】设 W 是数域P 上 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，1, 2 ,L , m 是 W 的一组基

24、，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是说，在V 中必定可以找到nm 个向量m 1,m 2 ,L , n ，使得1,2 ,L , n 是 V 的一组基 .证明：对维数差nm 作第一数学归纳法，当nm0 ，定理显然成立，因为1 ,2 ,L , m 已经是 V 的基 . 现在假定 nmk 时定理成立，我们考虑nmk1的情形.既然1,2 ,L , m 还不是 V 的一组基，它又是线性无关的，那么在V 中必定有一个向量 am 1 不能被1 , 2 ,L , m 线性表出， 把 am 1 添加进去1,2 ,L , m , am 1 必定是线性无关的. 由于，子空间L( 1 ,2,L , m ,

25、am 1 ) 是 m 1维的 .因为 n(m1)(nm)1k11k ，由归纳假设， L ( 1 ,2 ,L ,m, am 1 ) 的基1,2 ,L , m , am 1 可以扩充为整个空间的基.根据归纳法原理，定理得证.9例 12【17】证明：如果集合M 的代数运算 o满足结合律，则对M 中任意 n(n3) 个元素a1, a2 ,L , an ，只要不改变元素的前后次序，无论怎样结合，其结果都是相等的.证:对元素的个数n 用第二数学归纳法.当 n3 时，结论当然成立.假定对元素的个数少于n 时结论成立，来证明对n 个元素 a1 , a2,L , an 也成立 .令 A 是由元素 a1, a2

26、,L , an 按某种结合方法算得的结果. 但由于不论怎样结合，其最后一步总是把两个元素结合起来，因此可设Ab1 ob2 ，其中 b1 是前 k 个元素a1, a2 ,L ,ak (1kn1) 按某种加括号方法算得的结果，b2 是后 nk 个元素 ak 1,L , an按某一种加括号算得的结果. 由于，故 1k，nkn 由归纳假定，b1a1 oa2 oL oak ,b2ak 1 oak 2 oL oan于是再由结合律及归纳假定可得Ab1 ob2(a1 oa2 oL oak ) o(ak 1 oak 2 oL oan )(a1 oa2 oL oak ) o( ak 1 oL oan 1 oan

27、)(a1 oL oak ) o(ak 1 oL oan 1) oan(a1 oa2 oL oan 1 ) oan .这就是说，这n 个元素无论怎样结合，其结果都等于(a1 oa2 oL oan 1 ) oan ，从而它们是相等的 .例 13【2】【 3】证明下面各组多项式都是次数低于n 的多项式空间Fx n 的基：（1） fi ( x)( xa)i , i0,1,L, n1,aF ，为定数 .（2） fi ( x)( xa1 )( xa2 )L( xai ), i0,1,L, n 1, f0 ( x)1.aia j (ij ) .证：（ 1）因为 Fx n 是 n 维的，故只需证f i ( x

28、)(i0,1,L, n 1) 线段无关即可. 对 n 用第二数学归纳法 . 当 n1 时， f 0 ( x)1显然线段无关 . 假设 n1个 fi (x)(i 0,1,L, n2) 线性无关. 设 k0 1k1 ( xa)k2 ( x a) 2Lkn 1 (xa)n 10 ，取 x a ，则上式得 k0 0 .把 k0 代入上式后等式两端约去因式x a 得 k1 1k2 ( xa) Lkn1 ( x a)n20 .10按归纳法假设n 1个 (xa)i(iL,n1) 线段无关，所以上式得0,1,k1 k2 L kn 10 .因此 fi (x)(i0,1,L,n 1) 线性无关，从而是F x n

29、的一组基.（ 2）对 n 用第二数学归纳法证明fi ( x)(i0,1,L , n 1)线性无关 . 当 n 1 时， f 0 ( x) 1显然线性无关 . 假设 n1个 f i ( x)(i0,1,L , n 2) 线性无关 . 设k0 1 k1 ( x a1 ) k2 (x a1 )( x a2 ) Lkn 1 (x a1 )( x a2 )L (x an 1 ) 0 ，（ 1）比较等式两端xn 1 的系数，得到 kn 10 . 把它代入（ 1）有k0 1 k1( x a1) Lkn 2 ( x a1 )( x a2 )L ( x an 2 ) 0 .由归纳假设 n1个 fi (x) 线段

30、无关，因此得k1 k2L kn 2 0 .于是 f0 (x), f1( x),L, f n 1 (x) 线性无关 . 从而是 Fx n 的一组基 .例 14【6】【8】 设 V1,V2 ,L,Vs 是线性空间 V 的 s 个非平凡的子空间. 证明： V 中至少有一个向量不属于 V1,V2 ,L,Vs 中任何一个 .证：对 s 用第二数学归纳法 .当 s 2 时，结论成立 .假定对 s1个非平凡的子空间结论成立，即在V 中存在向量，使Vi ,i1,2,L, s1.对第 s个子空间Vs ，若向量Vs ，结论已对；若Vs ，则由于 Vs 为非平凡子空间，故存在向量使Vs . 对任意数 k ，向量 k

31、Vs（如果 kVs ,(k)(k)Vs 与Vs 矛盾），且对不同的数 k1, k2 ，向量k1, k2不属于同一个Vi (1is1) （如果 k1, k2不属于同一个 Vi ，则 (k1)(k2)(k1k2 )V ，得Vi 与Vi 矛盾） .取 s 个互不相同的数k1, k2 ,L , ks ，则 s 个向量k1, k2,L , ks 1, ks中至少有一个不属于任何V1,V2 ,L,Vs 1，这样的向量即满足要求 .11（六）数学归纳法在线性变换中的应用例 15【12】【14】 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.证明：对特征值的个数作第二数学归纳法.由于特征向量是不为零的，所以单个的特征

32、向量必然线性无关. 现在设属于 k 个不同特征值的特征向量线性无关，我们证明属于k1 个不同特征值1,2 ,L,k1 的特征向量1, 2,L ,k 1 也线性无关 .假设关系式 a11a22 Lakkak 1k10 （1）成立 . 等式两端乘以，得 a1 k 1 1a2 k 1 2L ak k 1 kak 1 k 1k 10（2）.（1）式两端同时施行变换，即有a1 11a222Lakkkak 1k1 k 10（3）.（ 3）减去（ 2）得到 a1 ( 1k 1 )1Lak (kk1 ) k0.根据归纳假设，1, 2,L,k 线性无关，于是 ai ( ik 1)0, i1,2,L, k .但 ik 10(ik ) ，所以 ai0, i1,2,L , k . 这时（1 ）式变成 ak 1k10.又因为k 10 ，所以只有 ak 10 .这就证明了Lk1线性无关 .1,2, ,根据归纳法原理，得证 .例 16【9】【10】【11】设 T 是线性空间 V 的线性变换 . 证明：如果 T k1，但 T k，则,