函数的奇偶性专题复习(绝对原创!)

1、【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数的定义域内任意一个： 是偶函数； 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；可逆性：是偶函数；是奇函数；等价性：；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查是否与、 相等，判断步骤如下：定义域是否关于原点对称；数量关系哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1

2、） （2） （3） （4） （5） （6）； （7） （8）； （9） 例2：判断函数的奇偶性。第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的6个结论。结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。结论2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。结论3 是任意函数，定义域关于原点对称，那么是偶函数。结论4

3、函数是偶函数，函数是奇函数。结论5 已知函数是奇函数，且有定义，则。结论6 已知是奇函数或偶函数，方程有实根， 那么方程的所有实根之和为零； 若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。.结论7型如f(x)= -f(x+a)（a0） 则f(x)的周期是2a. 结论8.型如f(x)=1/ f(x+a) （a0）则f(x)的周期是2a. 结论9若则的周期为。 结论10若则的周期。结论11.定义在R上的f(x)关于（a、0）和（b、0）都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a) 是一个周期。结论12定义在R上的f(x)关于（a、0）和x=b对称，周期是4|a-b

4、|六、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例1：（1）已知且，求的值 （2）已知的最大值,最小值为,求的值2、利用奇偶性比较大小例2：（1）已知偶函数在上为减函数，比较，的大小。 （2）已知函数是上的偶函数，且在上是减函数， 若，求的取值范围. （3）定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则 A. B. C. D. 3.利用奇偶性求解析式例3：（1）已知为偶函数，求解析式？ （2）已知为奇函数，当时,，当时，求解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若是偶函数，讨论函数的单调区间？ 5、利用奇偶性判断函数的奇偶性例5：已知是偶函数，判断的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值例6

5、：（1）定义上的偶函数在单调递减，若恒成立，求的范围.（2）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围.（4）已知在定义域上为增函数，且满足，求不等式解.7、利用图像解题例7：（1）设奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时,f(x)的图象如右图,则不等式的解是 . （2）若函数在上为奇函数，且在上单调递增,则不等式的解集为_.8.利用定义解题例8：已知为奇函数，则_。已知为偶函数，则 _。9.利用性质选图像x0y1x0y1x0y1x0y1例9：（1）设，实数满足，则关于的函数的图像形状大致是A B C D （2）函数的图象大致为 （A） （B） （C） （D）例1 

6、;f(x) 是R上的奇函数f(x)= - f(x+3) ，x0，3/2时f(x)= x，则 f(2003) = ？ 例2 f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) = -f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调。求a的值。 1.(2009山东)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. B. C. D. 2.（2009江西）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为A B C D3. （2009辽宁）已知函数满足：x4,则

7、；当x4时，则（ ）A B C D【奇偶性专题】训练2、（1）如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_ （2）若为奇函数，则实数_ （3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_ （4）已知函数在R是奇函数，且当时，则时，的解析式为_ （5）定义在上的奇函数，则常数_,_ （6）函数是偶函数的充要条件是_ （7）已知，其中为常数, 若，则_ 3、若是奇函数，则下列各点中，在曲线上的点是 A. B. C. D. 4、设是上的奇函数，当时，则等于A. 0.5 B. C. 1.5 D. 4、若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于 A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 以上均不对6、函数是偶函数，且不恒等于零，则 A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数7、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是 A. B. C. D. 8、已知函数 Ab Bb C D9、设是定义在实数集R上的函数，且满足， 如果，求10、设是定义在上的奇函数，且，又当时， （1）证明：直线是函数图象的一条对称轴： （2）当时，求的解析式。【变题】 设是定义在上的奇函数，且它的图象