重庆大学复变与积分变换A答案2008-2009

1、复变函数与积分变换评分标准A一、单项选择题（每小题 2分，共30 分）B.D.1.复数z1 i的辐角主值是A.43C.42.下列等式恒成立的是A. z z Re(z z)B.z z lm(z z)2C. Lnz2Lnz,z 0D.3.不等式2z 3所表示的区域为A.角形区域C.有界、单连通闭区域14. 函数w把Z平面上的单位圆周zA.不过原点的直线C.椭圆5. 下列函数中，不解析的函数是B.有界、多连通闭区域D.无界区域1映射成W平面上的B.双曲线D.单位圆周A. W zB.z3C. wex(cos y i sin y)D.z cosz6.在下列说法中，错误的是A.sin z是以2为周期的函数

2、B.ez是周期函数C.D.cosz为无界函数In z在除去原点的复平面上解析A. z2B. z ln2 2 iC. z、2D. z ln2 iB 8若U2 ax22bxy cy为调和函数，则a,b,c满足的条件是A. ac 0,b任意B. a b c 0C. ac 0,b任意D. a,b,c均任意C 7在下列复数中，使得ez 2成立的是12.幕级数(1i)nzn的收敛半径为n 0A. 01B. .2C.2D.B 13.点z0为函数14的z sin zA.本性奇点B.可去奇点c.四阶极点D.三阶极点D 14.设 f (z)n 0anZn在Z平面上解析,k为正整数，则Resf(z)0k zA. a

3、k 1B.akC.ak 1D. (k1)!ak1C 15.设 f (t)(2t)ei 0t，则f(t)的傅氏变换为2 icA. e2(0 )2 iB. e2 (0 )2i小C. e2(0)2D. ei 2 (0)D 二、填空题(每小题 2分，共10分)9设C为正向圆周zr dz i)A. 0B. 27C. 2 iD. i10.对于复数项级数(z 1)nn 1 n以下命题正确的是A.级数的收敛半径R 0C.级数在z 0发散，在z 2收敛B.级数在D.仅在zz 0收敛，在z0收敛2发散11.设 an1 _e n，则 lim anA. 0B.不存在C. 1D.16. 设z- 2e7，贝U z的共轭复

4、数为 2e '"1 i2 217. f (z) (x y ) i 2xy 的导数 f (z)2x i 2y 2z18.设闭曲线C是区域D的边界，若函数f (z)在D内解析，在C上连续，则对于 D内任何一点z，按柯西积分公式 f (z)丄 丄Q d2 ic z19设 F f (t) F()，且 a 0,则 F f (at b).b i_a a()20.函数 F(p)的拉普拉斯逆变换P(P a)f(t)" 1)a三、计算题(每小题6分,3共18分)21计算1,3i1.3i22解：因为1、3i2ei,1.3i 2e32e 2i 334 i原式2 ii 3e12e2222.

5、 函数f (z) xy ix y在何处可导？何处解析？解：令 u xy2,vx2 y，贝yu 2 uvv 2y , 2xy, 2xy, xxyxy由，知 y x ,2xy 2xyx y y x即函数f (z)只在z 0处可导，复平面处处不解析23. 计算积分(x y iy2)dz，其中L为从原点到1 i的直线段L解：直线L的方程为z (1i)t,0 t 1，或写为x t,y t,0 t 11所以(x y iy2)dz (t t it2 )(1 i)dtL01(1 i)丄t330i1(1 i) 33(1 "四、计算题(每小题 8分，共24 分)24.已知 u(x, y)2 2x xy

6、y ,求解析函数u(x,y) iv(x,y)，使得 f(i) 1 i.解：f (z)i 2x y i(x 2y) y(2i)z所以f(z)z2由 f(i)故 f(z)p225.设C为正向圆周2，计算积分I2zec(z 1)2dz.解：z 1 是 f (z)e2z2的二阶极点,(z 1)2Resf(z)，1%2zedz(z 1)2 & 1)22e22zI ec(z产z 2i ReSf(z)J4e2 i.26.求函数2z 1f匸在以z1为中心的各个圆环域内的罗朗级数解：f (z)2z 1(z 1)(z2)1为中心的圆环域有两个:(2)f(z)31 (z 1) 313k3kf(z)z 11

7、3 (z 1)1)k7(z 1)k五、综合题(每小题 6分，共18分)27利用留数定理计算积分cosaxdx,0(a 0).解：Icosaxdxcosax ,dx1 x211 z2在上半平面只一个一阶极点，R(z)为有理函数，且分母的次数比分子的次数高2次，实轴上无奇点,cosax1 x2dx Re2iaz&zRe 2 iRes R(z)eiaz,iRe i2e28利用拉普拉斯变换解常微分方程初值问题:y y 0,y(0) 0,y(2 ) 1.解：方程两边施行拉氏变换,并注意初始条件，记L y y(p)，得2y py(0)y(0)2 0 p y y (0)y(0)t)y(0)y(2 )1 得 y (0)故原初值问题的解为:ttee2 2ee29.设f (z) u iv