几何变换思想

1、几何变换思想变换是数学中一个带有普遍性的概念， 代数中有数与式的恒等变换、 几何中 有图形的变换。 在初等几何中， 图形变换是一种重要的思想方法， 它以运动变化 的观点来处理孤立静止的几何问题， 往往在解决问题的过程中能够收到意想不到 的效果。1.1. 初等几何变换的概念。初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换， 在中小学教材中出现 的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为 1 1 的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反 射( (轴对称 ) ) 变换等。(1)(1) 平移变换。将平面上任一点 P P 变换到 PP,使得：(1)

2、(1)射线 PPPP 的方向一定；(2)(2)线段 PPPP 的长度一定，则称这种变换为平移变换。也就是说一个图形与经 过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。平移变换有以下一些性质：1把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。2在平移变换下两点之间的方向保持不变。如任意两点A A 和 B,B,变换后的对应点为A和E,则有AE/AE。3在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点A A 和 B,B,变换后的对应点为A和E,则有AE = AE。在解初等几何问题时, 常利用平移变换使分散的条件集中在一起, 具有更紧 凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。(2)(2) 旋转变

3、换。在同一平面内，使原点 0 0 变换到它自身，其他任何点 X X 变换到 XX,使得： (1)0X(1)0X=0X=0X/XOXXOX = =9( (定角) )；则称这样的变换为旋转变换。0 0 称为旋转 中心，定角9为旋转角。当900 时，为逆时针方向旋转；当900,K0,且为常数）, ,则称为相似变换。通俗地说就是一个图形按照一定比例放大或缩小，图形的 形状不变。其中的 K K称为相似比或相似系数，当 K K= 1 1 时，即为合同变换。相似变换有以下一些性质：1两个图形的周长的比等于相似比。2两个图形的面积的比等于相似比的平方。3两条直线的夹角保持不变。生活中的很多现象都渗透着相似变换

4、的思想，如物体和图形在光线下的投 影、照片和图片的放大或缩小、零件的图纸等等，因而利用相似变换能够解决生 活中的一些几何问题。2.2. 几何变换思想的重要意义。课程改革以来，几何的教学已经由传统的注重图形的性质， 周长、面积和体 积等的计算、演绎推理水平转变为培养空间观点、计算水平、推理水平及观察、操作、实验水平并重的全面的、和谐的发展。其中推理不但仅重视演绎推理，还 特别强调合情推理。也就是说，新课程的理念在几何的育人功能方面注重空间观 点、创新精神、探索水平、推理水平、计算水平、几何模型等全面、和谐的发展。 而图形变换作为几何领域的重要内容和思想方法之一， 在几何的育人功能方面发 挥着非常

5、重要的作用。图形变换来源于生活中物体的平移、 旋转和轴对称的这些 运动现象，因而了解图形的变换，有利于我们理解生活中丰富多彩的生活空间和 形成初步的空间观点。利用图形变换设计美丽的图案，有利于感受、发现和创造 生活的美，有利于理解图形之间的关系和发展空间观点。 利用图形变换把静止的 几何问题通过运动变换，找到更加简捷的解决问题的方法。3.3. 几何变换思想的具体应用。图形变换作为空间与图形领域的重要内容之一，在图形的性质的理解、面积公式的推导、面积的计算、图形的设计和欣赏、几何的推理证明等方面都有重要 的应用。小学数学中几何变换思想的应用如下表。思想方法知识点应用举例轴对称画简单的轴对称图形理

6、解轴对称图形，画出一个简单图形的轴对称图形平移变换理解平移，把简单图形判断生活中物体的运动哪些是平移现象平移画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形旋转变换感知旋转现象判断生活中物体的运动哪些是旋转现象把简单图形旋转 9090画出一个简单图形顺时针或逆时针旋转9090后的图形合同变换图形的性质、面积的计算平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式的推导等都渗透了几何变换思想图案的欣赏和设计判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的； 利用平移、旋转和轴对称等变换，设计美丽的图案相似变换把简单图形放大或缩小画出长方形、正方形、三角形等简单的图形按照一定的比例放大或缩小后的图形4.4. 几

7、何变换思想的教学。(1)(1)课程标准关于图形变换的教学要求。课程标准关于图形变换的内容和目标分为以下几个层次:学段内容和目标第一学段结合生活实例，感知平移、旋转和轴对称现象。在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形理解轴对称图形，在方格纸上画出简单图形的轴对称图形第二学段理解图形的平移和旋转，体会图形的相似确定轴对称图形的对称轴，在方格纸上画出一个图形的轴对称图 形在方格纸上画出简单图形平移或旋转 9090后的图形；在方格纸上 画出简单图形按一定比例放大或缩小后的图形判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的，利用平移、 旋转和轴对称等变换，设计图案 教学中需要注意的问

8、题图形变换在大纲时代的小学几何中只学习了轴对称， 而且不是几何中的主要 内容。课程标准与大纲相比，在第一、二学段的空间与图形领域的图形变换方面， 新增加了平移、旋转和相似变换。这些内容虽然难度不大， 但是对概念的准确性 和教学要求比较难把握， 给一些教师的备课和教学带来一定困惑。下面谈一谈如 何把握相关的概念和教学要求。第一，对一些概念的准确把握。平移、旋转、轴对称变换与生活中物体的平移、 旋转和轴对称现象不是一个 概念。数学来源于生活，但不等于生活，是生活现象的抽象和概括。生活中的平 移和旋转现象往往是物体的运动，如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物 体的运动， 都能够称之为平移现象或旋

9、转现象。 而中小学中的几何变换都是指平 面图形在同一个平面的变换， 也就是说原图形和变换后的图形都是平面图形， 而 且都在同一个平面内。 几何中的平移、 旋转和轴对称变换来自于生活中物体的平 移现象、 旋转现象和轴对称现象， 如果把生活中这些物体画成平面图形， 并且在 同一平面上运动，就能够说成是几何中的平移、旋转和轴对称变换了。一个变换是不是合同变换或相似变换， 要依据概念实行判断。 如课程标准要 求小学阶段的平移限于水平方向和竖直方向，实际上平移也能够沿斜线方向平 移，只要满足平移的两个条件。如高山索道、滑雪等都能够看成平移现象，画成 平面图形就是平移变换。再如旋转，象旋转门、螺旋桨、水龙

10、头等都能够看成旋 转现象，但是要注意它的严密性：一是旋转中心必须固定，二是物体不能变形， 三是旋转的角度可大可小， 能够是 1 1 度，也能够是 300300 度。这样的旋转运动画成 平面图形在同一平面的运动才是旋转变换。 另外，几何意义上的变换都是从图形 的对应点及其连线的几何性质实行描述的，与图形的颜色等无关。案例 1 1：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，这辆汽车的运动是平移吗？如 果这辆汽车急刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？分析：严格来说，物体的平移应该保证物体不变形而且物体上的点在物体上 的位置是固定的， 轮胎在转动时汽车的运动就不是平移了， 轮胎抱死滑行就是平 移。所以，前者不是

11、平移，后者是平移。案例 2 2：一架直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在 陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？分析：直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨在转动， 但是它的旋转中心一直 在移动，没有固定，所以不能看成几何意义上的旋转， 只能说它是生活中的旋转 现象。当它停在陆地上时螺旋桨的转动就能够看成旋转了。案例 3 3：下面的图形是轴对称图形吗？田田 田遥图分析：一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，这样的图 形才是轴对称图形，而光有四周或轮廓重合是不够的。图 （1 1）从三角形的顶点向 底边作一条垂线，垂线两边的轮廓能够重合，但是小方格没有对应的重合的部分， 所以，它

12、不是轴对称图形。图 是轴对称图形。第二，注意图形变换与其它几何知识的联系。小学几何中的很多平面图形都是轴对称图形，如长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、圆等。一方面要在学习轴对称时增强对这些 图形的对称轴和轴对称的相关性质的理解；另一方面要在学习这些图形的概念和 性质时进一步体会它们的轴对称特点。在推导平行四边形、三角形和梯形的面积公式时，包括在计算组合图形的面 积时，都用到了变换思想。如三角形面积公式的推导，是把任意两个完全相同的 三角形拼成一个平行四边形，再利用三角形和平行四边形的关系， 求出三角形的 面积公式。这实际上是把任意一个三角形旋转 180180 度，再沿着一

13、条边平移，就组 合成了一个平行四边形。也就是说，把任意一个三角形经过旋转和平移变换，就 变换成了平行四边形。梯形面积公式的推导也是利用了这个原理。 我国古代数学 家刘徽利用出入相补原理求三角形和梯形的面积，实际上也用到了旋转变换。案例 4 4:小明家的院子里有一块长 3030 米、宽 2020 米的长方形菜地，地里有两 条相互垂直而且宽都是1 1 米的小路。这块地实际种菜的面积是多少？分析：此题对于小学生来说，并不是难题，能够有多种方法。这里能够应用 平移原理，把小路向底边和右边平移。这时实际种菜的面积就转化为求长 2929 米、 宽 1919 米的长方形的面积，用长乘宽就可求出面积。案例 5

14、 5:如图所示，三个同心圆的最大的圆的两条直径相互垂直，最大的 圆的半径是 2cm2cm 求阴影部分的面积。分析：此题从表面上看，阴影部分比较分散，没有充足的数据计算每部分阴 影的面积。根据两条直径相互垂直能够得出每个圆都被平均分成了4 4 份，每一份旋转 9090 度都能够与相邻的部分重合。所以，能够把最外圈阴影部分的四分之一 大圆绕圆心顺时针旋转9090 度，把中间阴影部分的四分之一圆绕圆心逆时针旋转 9090 度，使阴影经过旋转集中在右上角四分之一大圆里。阴影的面积为： X n X2 22= =n(cm(cm2) )。以上解题思路告诉我们，在计算一个图形尤其是组合图形的面积时， 利用变

15、换原理能够使原有的图形得到新的组合图形，转化为易于计算面积的图形，从而 简化计算的步骤。第三，对教学要求和解题方法的准确把握。如前所述，课程标准对图形变换的内容和教学要求有比较清晰的描述，尤其是要把握好两个学段的内容、教学要求和解题方法。首先像直观判断题，例如，一个平面内有若干图形，要判断哪些图形经过 平移能够互相重合，对于小学生来说很难用任何一对对应点的连线平行且相等来 判断，只能通过直观感受判断，也就是说直观感受原图形在没有任何转动的情况下，通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够与另一个图形重合，就是平移。同一平 面内的任何两个图形，如果通过平移后能够重合， 那么最多只需要通过两次水平 或者竖直

16、方向的平移就能够重合， 借助方格纸能够协助我们理解其中的道理。 如 在方格纸上原图形中的点A(2 , ,3)3)，经过平移后它的对应点为A(8(8 ,1010)。那 么原图形能够通过先向右平移 6 6 格，再向上平移 7 7 格；或者先向上平移 7 7 格，再 向右平移 6 6 格，得到平移后的图形。其次像作图题， 例如，画出一个图形沿着一个方向平移几格后的图形， 应让 学生明确， 一个图形沿着一个方向平移几格， 那么这个图形上的任何一个点和线 段都沿着相同的方向平移几格。 可重点掌握以下几个步骤： 找出图形的关键的几 个点；明确平移的方向和距离； 画出平移后关键点的对应点；按照原图形的顺序 连结各个点。再如，画出一个图形旋转 9090 度后的图形，应让学生明确，一个图 形绕一个点沿一个方向旋转多少度， 那么这个图形上的任何一个点和线段都围绕 该点沿着