2018无锡市一模数学试题含答案

1、江苏省无锡市2018届高三年级第一次模拟考试数 学试题(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 已知集合A1，3，B1，2，m，若ABB，则实数m_ 2. 若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a_ 3. 某高中共有学生2 800人，其中高一年级有960人，高三年级有900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级的学生人数为_ 4. 已知a，b1，2，3，4，5，6，直线l1：2xy10，l2：axby30，则直线l1l2的概率为_ 5. 根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为_

2、6. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，AB3，BC4，AA15，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 7. 已知变量x，y满足目标函数z3xy的最小值为5，则c的值为_ 8. 若函数ycos(2x)(0<<)的图象向右平移个单位长度后，与函数ysin的图象重合，则_ 9. 已知等比数列an满足a2a52a3，且a4，2a7成等差数列，则a1·a2··an的最大值为_10. 过圆x2y216内一点P(2，3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，则四边形ACBD的面积为_11. 已知双曲线C：1(a>0，b>

3、0)与椭圆1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为_12. 在平行四边形ABCD中，AB4，AD2，A，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|，则·_13. 已知函数f(x)g(x)x22x2.若存在aR，使得f(a)g(b)0，则实数b的取值范围是_14. 若函数f(x)(x1)2|xa|在区间1，2上单调递增，则实数a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)如图，已知四边形ABCD是菱形，DE平面ABCD，AFDE，DE2AF.(1

4、) 求证：AC平面BDE；(2) 求证：AC平面BEF.16. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A，C2A.(1) 求cos B的值；(2) 若ac24，求ABC的周长17. (本小题满分14分)如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，CAB，ABBD，是以A为圆心，1km为半径的圆弧形小路该市拟修建一条从点C通往海岸的观光专线PQ，其中P为上异于点B，C的一点，PQ与AB平行，设PAB.(1) 证明：观光专线PQ的总长度随的增大而减小；(2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍当取何值时，观光专线PQ的修建总成本

5、最低？请说明理由18. (本小题满分16分)已知椭圆E：1(a>0，b>0)的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别为左、右顶点，原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限，且PBx轴，连结PA交椭圆于点C.(1) 求椭圆E的方程；(2) 若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程；(3) 求过点B，C，P的圆的方程(结果用t表示)19. (本小题满分16分)已知数列an满足，nN*，Sn是数列an的前n项和(1) 求数列an的通项公式；(2) 若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；(3) 是否存在kN*，使得为

6、数列an中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由20. (本小题满分16分)已知函数f(x)ex(3x2)，g(x)a(x2)，其中a，xR.(1) 求过点(2，0)且和函数yf(x)的图象相切的直线方程；(2) 若对任意xR，有f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<g(x0)，求实数a的取值范围2018届高三年级第一次模拟考试(八)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A，若矩阵A属于特征值1的一个特征

7、向量为a1，属于特征值2的一个特征向量为a2，求矩阵A.C. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是4sin，且直线l与圆C相交，求实数m的取值范围22. (本小题满分10分)某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车已知A，D两辆汽车每天出车的概率为，B，C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆

8、限行日0和5星期一1和6星期二2和7星期三3和8星期四4和9星期五(1) 求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；(2) 设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望23. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，DAB90°，ADBC，E是线段AB的中点，PE底面ABCD，已知DAAB2BC2.(1) 求二面角PCDA的正弦值；(2) 试在平面PCD上找一点M，使得EM平面PCD. 2018届无锡高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 32. 63. 474. 5. 216. 507. 58. 9. 1

9、 02410. 1911. 812. 613. (2，0)14. (，115. 解析：(1) 因为DE平面ABCD，所以DEAC. (2分)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.(4分)因为DEBDD，(5分)所以AC平面BDE.(6分)(2) 设ACBDO，取BE的中点G，连结FG，OG，所以OGDE且OGDE.(8分)因为AFDE，DE2AF，所以AFOG且AFOG，从而四边形AFGO是平行四边形，FGAO. (10分)因为FG平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF. (14分)16. 解析：(1) 因为cosA，所以cosCcos2A2cos2A12×

10、;1. (3分)在ABC中，因为cosA，所以sinA.(4分)因为cosC，所以sinC，(5分)所以cosBcos(AB)sinAsinBcosAcosB. (7分)(2) 根据正弦定理，所以.又ac24，所以a4，c6.(10分)b2a2c22accosB25，b5.所以ABC的周长为15. (14分)17. 解析：(1) 由题意，CAP，所以，又PQABAPcos1cos，所以观光专线的总长度f()1coscos1，0<<.(3分)因为当0<<时，f()1sin<0，(5分)所以f()在上单调递减，即观光专线PQ的总长度随的增大而减小(6分)(2) 设翻新

11、道路的单位成本为a(a>0)，则总成本g()aa，0<<，(8分)g()a(12sin)(9分)令g()0，得sin.因为0<<，所以.(10分)当0<<时，g()<0，当<<时，g()>0，(12分)所以当时，g()最小(13分)故当时，观光专线PQ的修建总成本最低. (14分)18. 解析：(1) 因为椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，所以a22c2，bc，(1分)所以直线DB的方程为yxb，又O到直线BD的距离为，所以，所以b1，a，(3分)所以椭圆E的方程为y21.(4分)(2) 设P(，t)，t>0

12、，直线PA的方程为y(x)，(5分)由整理得(4t2)x22t2x2t280，解得xC，则点C的坐标是，(7分)因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形BPC的面积，SAOC××，SPBC×t×，则，解得t.(9分)所以直线PA的方程为x2y0. (10分)(3) 因为B(，0)，P(，t)，C(，)，所以BP的垂直平分线为y，BC的垂直平分线为yx，所以过B，C，P三点的圆的圆心为(，)，(12分)则过B，C，P三点的圆方程为，(14分)即所求圆方程为x2xy2ty0.(16分)19. 解析：(1) 因为，nN*

13、，所以当n1时，1，a12，(1分)当n2时，由和，两式相除可得1，即anan11(n2)，所以数列an是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，ann1. (4分)(2) 因为ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，所以于是或(7分)当时，解得当时，无正整数解，所以p5，q9.(10分)(3) 假设存在满足条件的正整数k，使得am(mN*)，则m1，平方并化简得(2m2)2(2k3)263，(11分)则(2m2k5)(2m2k1)63，(12分)所以或或(4分)解得m15，k14或m5，k3或m3，k1(舍去)，综上所述，k3或14. (16分)20. 解析：(1) 设切点为(

14、x0，y0)，f(x)ex(3x1)，则切线斜率为ex0(3x01)，所以切线方程为yy0ex0(3x01)(xx0)，因为切线过(2，0)，所以ex0(3x02)ex0(3x01)(2x0)，化闻得3x8x00，解得x00或x0. (3分)当x00时，切线方程为yx2，(4分)当x0时，切线方程为y9ex18e. (5分)(2) 由题意，对任意xR有ex(3x2)a(x2)恒成立，当x(，2)时，aa，令F(x)，则F(x)，令F(x)0得x0，x(，0)0(0，2)F(x)0F(x)单调递增极大值单调递减F(x)maxF(0)1，故此时a1.(7分)当x2时，恒成立，故此时aR.(8分)当

15、x(2，)时，aa，令F(x)0x，xF(x)0F(x)单调递减极小值单调递增F(x)minF9e，故此时a9e.综上1a9e.(10分)(3) 因为f(x)<g(x)，即ex(3x2)<a(x2)，由(2)知a(，1)，令F(x)，则x(，0)0(0，2)(2，)(，)F(x)00F(x)单调递增极大值单调递减单调递减极大值单调递增(12分)当x(，2)，存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0)，等价于a<存在唯一的整数x0成立，因为F(0)1最大，F(1)，F(1)，所以当a<时，至少有两个整数成立，所以a. (14分)当x(2，)，存在唯一的整数x0使得

16、f(x0)<g(x0)，等价于a>存在唯一的整数x0成立，因为F9e；最小，且F(3)7e3，F(4)5e4，所以当a>5e4时，至少有两个整数成立，所以当a7e3时，没有整数成立，所有a(7e3，5e4. 综上：a(7e3，5e4. (16分)21. 解析：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为a1可得，1，即(2分)得a2b10，由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为a2，可得2，即(6分)得2a3b9，解得即A，(10分)22. 解析：由4sin，得24sin，所以x2y24x，即圆C的方程为x2(y2)24，(3分)又由消去t，得xym0，(6分)由直线l与圆C相交，所以

17、<2，即2<m<6.(10分)23. 解析：(1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，则A为该公司在星期四最多有一辆汽车出车P(A)CC. P(A)1P(A).(3分)答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.(2) 由题意，的可能值为0，1，2，3，4，P(0)；P(1)CC·；P(2)CC；P(3)CC；P(4).(8分)01234PE()2×3×4×.答：的数学期望为.(10分)24. 解析：(1)因为PE底面ABCD，过点E作ESBC，则ESAB，以E为坐标原点，EB方向为x轴的正半轴，ES方向为y轴的正半轴，EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(1，0，0)，D(1，2，0)，