中考数学专题复习-圆压轴八大模型题(6)-圆外一点引圆的切线和直径的垂线

1、精选优质文档-倾情为你奉上圆压轴题八大模型题（六）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型5 圆外一点引圆的切线和直径的垂线如图， 点P是O外的一点，过点P作PA与O相切于点A，POBO于点O，交AB于点C.(1)求证：CPAP；(2)延长BO交O于点D，连结AD，过点P作PEAB于点E，找出与BOC相似的三角形.

2、图2图1(3)若O的半径为，OC1，求PA的长.图3【分析】(1)如图3连接OA得OAOB,OABB,由等角的余角相等得PCAPAC,PCPA.(2)由APECPEB得：BOCBADPCEPAE.(3)在RtOPA中，设PCPAx，则有（x1）21x2.解得PAx2.基本图形及其变式图图(2)图(1)1. 如图16，PA与圆O相切于点A，PDBO（或BO的延长线）于点D，直线AB与PD相交于点C，求证：PAPC.图(3) 图(6)图(5)图(4)【典例】（2018×湖北随州）如图，AB是O的直径，点C为O上一点，CN为O的切线，OMAB于点O，分别交AC、CN于D、M两点（1）求证：

3、MDMC；（2）若O的半径为5，AC4，求MC的长【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；图6-1（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可解：（1）连接OC，CN为O的切线，OCCM，OCAACM90°，OMAB，OACODA90°，OAOC，OACOCA，ACMODACDM，图aMDMC；（2）由题意可知AB5×210，AC4，AB是O的直径，ACB90°，BC，AODACB，AA，AODACB，即，可得：OD2.5，设MCMDx，在RtOCM中，由勾股定理得：（x2.5）2x252，解得：x， 即MC【点拨】连半径，造等腰三角形，

4、借等角的余角相等再证边等。由切线的性质、直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形三线合一找直角三角形、等腰三角形、相似三角形，运用比例线段、勾股定理和相似三角形面积关系解决问题.【变式运用】1 (2018 × 江苏连云港)如图，AB是O的弦，点C在过点B的切线上，且OCOA，OC交AB于点P，已知OAB22°，则OCB_44°_图6-2图6-32.（2016兰州）如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，ODAB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DEDC（1）求证：CF是O的切线；（2）若O的半径为5，BC，求DE的长证明：连接OC，OAOC，AOCA，ODA

5、B，AAEO90°，DEDC，DECDCE，AEODEC，AEODCE，OCEDCE90°，OCF90°，OCCF，CF是O切线（2）作DHAC于H，则EDHA，DEDC，EHHCEC，O的半径为5，BC，AB10，AC3，图bAEOABC，AE，ECACAE，EHEC，EDHA，sinAsinEDH，DE3.如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA5，OA与A相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC2，求O的半径和线段PB的长；（3）若O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰

6、三角形，求O的半径r的取值范围.解：（1）ABAC理由如下：如图c，连接OB，AB切O于B，OAAC，OBAOAC90°，图6-4OBPABP90°，ACPCPA90°，OPOB，OBPOPBOPBAPC，ACPABC，ABAC（2）如图d，延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA5得，OPOBr，PA5r又PC2，AB2OA2OB252r2，图cAC2PC2PA2（2）2（5r）2，由（1）知ACAB，52r2（2）2（5r）2，解得：r3，即O的半径是3；ABAC4.PD是直径，PBD90°PAC.DPBCPA,DPBCPA., 即,解得PB.图d（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，则OEACAB又圆O要与直线MN有唯一交点，OEr，r，又圆O与直线l相离，r5.O的半径r的取值范围为r5.图e4.(2018·湖北黄冈) 如图，是