真空中的静电场

1、关于真空中的静电场1第一页，共62页幻灯片2电荷的基本性质电荷的基本性质1. 1. 两种电荷两种电荷2. 2. 电荷守恒定律电荷守恒定律 在一个与外界没有电荷交换的系统在一个与外界没有电荷交换的系统内，不管发生什么物理过程，正负电内，不管发生什么物理过程，正负电荷的代数和保持不变。荷的代数和保持不变。1 1 电荷电荷 库仑定律库仑定律3. 3. 电荷量子化电荷量子化 物体带电量的变化是不连续的，物体带电量的变化是不连续的，它只能是元电荷它只能是元电荷 e 的整数倍的整数倍, ,即粒子即粒子的电荷是量子化的。的电荷是量子化的。, 3, 2, 1nneqe = 1.602 10-19C(库仑库仑)

2、，为电子电量，为电子电量。密立根密立根1923年诺贝尔物理学奖授予美国年诺贝尔物理学奖授予美国科学家密立根，表彰他对基本电科学家密立根，表彰他对基本电荷和光电效应的工作。荷和光电效应的工作。第二页，共62页幻灯片3库仑定律库仑定律, , 静电力的叠加原理静电力的叠加原理041k)m/(NC1085. 822120真空介电常量真空介电常量4. 库仑定律库仑定律1785年，法国库仑（年，法国库仑（C.A.Coulomb)叠加性叠加性iiiiiiiirrqqkrrqqkF2030123121221rrqqkF有理化单位制有理化单位制1221221 rrqqkFq1q2rq0q2r2q1r12F1FF

3、第三页，共62页幻灯片4 我曾经把库仑的文章拿来看了一看，发现他写出的那个我曾经把库仑的文章拿来看了一看，发现他写出的那个公式同实验的公式同实验的误差达到误差达到30%30%以上以上，估计他写这个公式，一部，估计他写这个公式，一部分是分是“猜猜”出来的。出来的。猜测的道理是因为他已知道牛顿的公式。猜测的道理是因为他已知道牛顿的公式。 所以要和大家讲这一点，是因为所有物理和数学最前沿的所以要和大家讲这一点，是因为所有物理和数学最前沿的研究工作，很大一部分力量要花在猜想上；在别的方面可能也研究工作，很大一部分力量要花在猜想上；在别的方面可能也是这样，不过我不太熟悉罢了。当然这并不是说可以乱猜，猜是

4、这样，不过我不太熟悉罢了。当然这并不是说可以乱猜，猜必须建筑在过去的一些知识上面，你过去的知识愈正确、愈广必须建筑在过去的一些知识上面，你过去的知识愈正确、愈广泛，那么猜到正确答案的可能性就愈大。泛，那么猜到正确答案的可能性就愈大。扬振宁：上海物理学会演讲，扬振宁：上海物理学会演讲，19781978年年7 7月月6 6日。日。历史上的库仑实验历史上的库仑实验221rmmGF 第四页，共62页幻灯片52 电场与电场强度电场与电场强度电场：电场：1. 电场概念的引入电场概念的引入2. 场的物质性体现在：场的物质性体现在：a. 力的作用力的作用,b. 电场具有能量电场具有能量,c. 电场具有动量。电

5、场具有动量。历史上：超距作用历史上：超距作用（不需时间、不需媒介质）。（不需时间、不需媒介质）。变化的电磁场以有限的速变化的电磁场以有限的速度（光速）传播。度（光速）传播。场和实物是物质存在场和实物是物质存在的不同形式。的不同形式。同：能量、动量、质量。同：能量、动量、质量。异：实物不可入性，异：实物不可入性， 场可以场可以叠加叠加。电荷电荷 电场电场 电荷电荷第五页，共62页幻灯片63.3.电场性质电场性质(1)(1)力的性质：力的性质：对处于电场中的其他带电体有作用力；对处于电场中的其他带电体有作用力；(2)(2)能量的性质：能量的性质：在电场中移动其他带电体时，电场力要对它在电场中移动其

6、他带电体时，电场力要对它作功。作功。电场强度电场强度从力的角度研究电场从力的角度研究电场0qFE它与检验电荷无关，反映电场本身的性质。它与检验电荷无关，反映电场本身的性质。单位正电荷单位正电荷（检验电荷）（检验电荷）在电场在电场中某点所受到的力。中某点所受到的力。 电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。力。第六页，共62页幻灯片7场点场点源点源点qFEr0q电场强度的计算电场强度的计算电场强度的计算电场强度的计算（1）点电荷的电场点电荷的电场（2）场强叠加原理和点电荷系的电场场强叠加原理和点电荷系的电场（3）连续分布电荷的电场连

7、续分布电荷的电场点电荷的电场点电荷的电场rrqqF41200rrqqFE41200电场强度叠加原理和点电荷系的场强电场强度叠加原理和点电荷系的场强 nFFFF21niiF10qFE021qFFFnqiq2q0q12FiFinEEEE21球对称性球对称性第七页，共62页幻灯片8电场强度叠加原理电场强度叠加原理iEE电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的场强的场强的矢量和矢量和。这就是场强叠加原理。这就是场强叠加原理。电偶极子电偶极子( (Electric dipole) )电偶极子电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点一对靠得很近的

8、等量异号的点电荷。电荷。 l 0, a)sinddEExcosd)cos(ddEEEy21)(ctg al.csc222ar .dcscd2al d4d0aE第十二页，共62页幻灯片130aLxypyEdxEdEdrldl21dcos4d0aEydsin4d0aExd4d0aE)cos(cos4dsin4d210021aaEELxx)sin(sin4dcos4d120021aEELyy.,确定的大小和方向可由yxEEE第十三页，共62页幻灯片14讨论讨论 若 L , 1 0, 2 ,aEx020yEL ,aE02)cos(cos4210aEx)sin(sin4120aEy无限长均匀带电直线的场

9、强无限长均匀带电直线的场强轴对称性轴对称性第十四页，共62页幻灯片15解：解：LLLxqrrqEEd4coscos4dd20202322020)(44cosxRqxrqE204xqE讨论：讨论：x R204ddrqEcos ddEEx例：例： 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为 q ，半径为，半径为R。xRLxPqdrEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。场矢量构成了一个圆锥面。由对称性由对称性0zyEE0zxyEd0Rqd第十五页，共62页幻灯片16例例: 均匀带电圆盘轴线上一点的场

10、强。均匀带电圆盘轴线上一点的场强。 设圆盘带电量为设圆盘带电量为 q ，半径为，半径为R。解：解：rrqd2d)(1 221220 xRxRxxrrrxpE023220)(d2)(rqd23220)(4ddxrqxExPx讨论：讨论：1.当当 x R2020244xqxRE 在远离带电圆面处，在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。相当于点电荷的场强。 附录附录 泰勒展开：泰勒展开：.)(211)1 ()(221222122xRxRxRx分析方向！R第十六页，共62页幻灯片17练习：计算半径为练习：计算半径为R均匀带电量为均匀带电量为q 的半圆环中心的半圆环中心0点的场强。点的场强。 xyjRq

11、E202220d41dRqEcosddEExsinddEEyddRq cosd410Rsind410RxxEEd04dcos00RyyEEd004dsinR2022RqoR d dqEd或者分析对称性！或者分析对称性！Ed第十七页，共62页幻灯片18aE012qEFddxxd2201abaxxFbaaln2d2021201a12bxdx 均匀带电长直线（电荷线密均匀带电长直线（电荷线密度为度为 2 2）长度为长度为b，与另一均匀带与另一均匀带电电长长直线（电荷线密度为直线（电荷线密度为 1）共共面放置，如图所示，求该面放置，如图所示，求该均匀带电均匀带电直线受的电场力。直线受的电场力。解：取解

12、：取dx第十八页，共62页幻灯片19电场线电场线1. 用一族空间曲线形象描述场强分布用一族空间曲线形象描述场强分布 电场线电场线(electric field line)或或电力线电力线 2. 规定规定 方向：方向：力线上每一点的切线方向；力线上每一点的切线方向； 大小：大小：定性定性定量定量疏密疏密垂直面积垂直面积 规定条数规定条数定量规定：定量规定：在电场中任一点处，通过垂直于场强在电场中任一点处，通过垂直于场强 E 单位面积的单位面积的电场线数等于该点电场强度的数值。电场线数等于该点电场强度的数值。ES第十九页，共62页幻灯片20第二十页，共62页幻灯片21SEedd非均匀电场非均匀电场

13、 任意曲面任意曲面 SeeSEdd不闭合曲面：不闭合曲面： 面元的法向单位矢量可有两种相反取向面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通量可正也可负；，电通量可正也可负；n n E闭合曲面：闭合曲面： 规定面元的法向单位矢量取规定面元的法向单位矢量取向外为正。向外为正。SdSn E第二十一页，共62页幻灯片220穿出：穿出：0d ,20e穿入：穿入：0d ,2e闭合曲面：闭合曲面： 规定面元的法向单位矢量规定面元的法向单位矢量取向外为正。取向外为正。SEed通过整个封闭曲面的电通量就通过整个封闭曲面的电通量就等于穿出和穿入该封闭曲面的等于穿出和穿入该封闭曲面的电力线的条数之差。电力线的条数之差。

14、n n E穿入穿入穿出穿出cosdSESEedd第二十二页，共62页幻灯片23+qSrrqSESSed41d20S20d4Srq22044rrq0q（1 1） 当点电荷在球心时当点电荷在球心时SdEr2.高斯定理高斯定理S第二十三页，共62页幻灯片24（2） 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷 在闭合曲面上任取一面积元在闭合曲面上任取一面积元dS，通过面元的电场强，通过面元的电场强度通量度通量SEeddSrrqd420Srqdcos42020d4rSqcosddSS 是是dS在垂直于电场方向的投影。在垂直于电场方向的投影。dS对电荷所在点的立体角为对电荷所在点的立体角为S+qSdE

15、d2ddrSd4d0qeSeqd40440q0q 半径为单位长度的半径为单位长度的球面球面S44dd12 RSSRRRS锥体的顶角第二十四页，共62页幻灯片25（3） 闭合曲面闭合曲面S不包围该电荷不包围该电荷闭合曲面可分成两部分闭合曲面可分成两部分S1、S2，它们对点电荷张的立体角绝，它们对点电荷张的立体角绝对值相等而符号相反。对值相等而符号相反。0d40Seq+qd1S2S2dSE1dS0d20:d22S0d2:d11S0ddd21S2cosddrS第二十五页，共62页幻灯片26第二十六页，共62页幻灯片270dqSESe（1） 当点电荷在当点电荷在球心球心时时（2） 任一闭合曲面任一闭合

16、曲面S包围该点电荷包围该点电荷0dqSESe（3）闭合曲面闭合曲面S不包围不包围该点电荷该点电荷0dSESe（4）闭合曲面闭合曲面S内内包围包围多个多个电荷电荷q1, q2, qk ，同时面同时面外外也也有有多个多个电荷电荷qk+1, qk+2, qn .内SiSeqSE01d总总 结结第二十七页，共62页幻灯片28高斯定理高斯定理: : 表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。虽然电通量只与闭合曲面内电荷有关，但是面上电虽然电通量只与闭合曲面内电荷有关，但是面上电场却与面内、面外电荷都有关。场却与面内、面外电荷都有关。注意：注意：VSeVSEd1d0内

17、SiSeqSE01d 在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。点电荷系点电荷系连续分布带电体连续分布带电体高斯定理高斯定理第二十八页，共62页幻灯片29 古希腊的阿基米德，英国的牛顿，和德国的高斯古希腊的阿基米德，英国的牛顿，和德国的高斯. .他们三个对数学的发展做出他们三个对数学的发展做出了不可估量的贡献了不可估量的贡献, ,是其他人无法相比的是其他人无法相比的. .有一个共同点有一个共同点-都是通才都是通才, ,也都在物理上也都在物理上有很大的贡献有很

18、大的贡献. .可见可见, ,物理和数学是分不开的。物理和数学是分不开的。 高斯高斯（Carl Friedrich Gauss,17771855）德国数学家、天文学家、物理学家。童年时德国数学家、天文学家、物理学家。童年时就聪颖非凡，就聪颖非凡，1010岁发现等差数列公式而令教师惊叹。因家境贫寒，父亲靠短工为生，靠岁发现等差数列公式而令教师惊叹。因家境贫寒，父亲靠短工为生，靠一位贵族资助入格丁根大学学习。一年级（一位贵族资助入格丁根大学学习。一年级（1919岁）时就解决了几何难题：用直尺与圆规岁）时就解决了几何难题：用直尺与圆规作正十七边形图。作正十七边形图。17991799年以论文年以论文所有

19、单变数的有理函数都可以解成一次或二次的因所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次的因式这一定理的新证明式这一定理的新证明获得博土学位。获得博土学位。18071807年起任格丁根大学数学教授和天文台台年起任格丁根大学数学教授和天文台台长，一直到逝世。长，一直到逝世。 在物理学的研究工作，他涉及诸多方面。在物理学的研究工作，他涉及诸多方面。18321832年提出利用三个力学量：长度、质年提出利用三个力学量：长度、质量、时间（长度用毫米，质量用毫克，时间用秒）量度非力学量，建立了绝对单位制，量、时间（长度用毫米，质量用毫克，时间用秒）量度非力学量，建立了绝对单位制，18351835年在年在量纲原理量

20、纲原理中给出磁场强度的量纲。中给出磁场强度的量纲。18391839年在年在距离平方反比的作用引距离平方反比的作用引力与斥力的一般理论力与斥力的一般理论中阐述势理论的原则，证明了一系列定理，如高斯定中阐述势理论的原则，证明了一系列定理，如高斯定理，并研究了将其用于电磁现象的可能性。理，并研究了将其用于电磁现象的可能性。 为纪念他在电磁学领域的卓越贡献，在电磁学量的为纪念他在电磁学领域的卓越贡献，在电磁学量的CGSCGS单位制中，磁感应强度单位制中，磁感应强度单位命名为高斯。单位命名为高斯。第二十九页，共62页幻灯片30高斯定高斯定理和库仑定律的关系理和库仑定律的关系 高斯定理和库仑定律二者高斯定

21、理和库仑定律二者并不独立并不独立。高斯定理可以由库。高斯定理可以由库仑定律和场强叠加原理导出。反过来，把高斯定理作为基本仑定律和场强叠加原理导出。反过来，把高斯定理作为基本定律也可以导出库仑定律。定律也可以导出库仑定律。 两者在物理涵义上并不相同。库仑定律把场强和电荷直接联系两者在物理涵义上并不相同。库仑定律把场强和电荷直接联系起来起来, ,在电荷分布已知的情况下由库仑定律可以求出场强的分布在电荷分布已知的情况下由库仑定律可以求出场强的分布。而高斯定理将场强的。而高斯定理将场强的通量通量和某一区域内的电荷联系在一起，和某一区域内的电荷联系在一起，在电场分布已知的情况下，由高斯定理能够求出任意区

22、域内的在电场分布已知的情况下，由高斯定理能够求出任意区域内的电荷。电荷。 库仑定律只适用于静电场库仑定律只适用于静电场, ,而高斯定理不但适用于静电场和静而高斯定理不但适用于静电场和静止电荷止电荷, ,也适用于也适用于运动电荷运动电荷和和变化的电磁场变化的电磁场。第三十页，共62页幻灯片31答答: :当带电体电荷分布具有当带电体电荷分布具有对称性对称性时时, ,可以用高斯定理求场强。可以用高斯定理求场强。答答: :通过高斯面的电场强度通量通过高斯面的电场强度通量仅与仅与高斯面内电荷有关高斯面内电荷有关, ,但高斯面上各点的场强却与高斯面内外电荷但高斯面上各点的场强却与高斯面内外电荷都有关都有关

23、。当电荷分布已知时当电荷分布已知时, ,能否用高斯定理求场强分布能否用高斯定理求场强分布? ?如果能如果能, ,在什么情况下在什么情况下? ?高斯面上各点的场强与高斯面外的电荷有无关系高斯面上各点的场强与高斯面外的电荷有无关系? ? 1d 0iSeqSE内第三十一页，共62页幻灯片323. 高斯定理的应用高斯定理的应用只有只有当电荷和电场分布具有某种对称性时当电荷和电场分布具有某种对称性时, , 才可用高斯才可用高斯( (Gauss)定理求场强定理求场强.步骤步骤:关键关键: 选取合适的闭合曲面选取合适的闭合曲面（Gauss 面面）（3）应用高斯应用高斯(Gauss)定理定理计算场强计算场强（

24、1）由电荷分布对称性分析电场的对称性由电荷分布对称性分析电场的对称性（2）据电场分布的对称性选择合适的闭合曲面据电场分布的对称性选择合适的闭合曲面第三十二页，共62页幻灯片33o例：例： 求均匀带电球面的电场求均匀带电球面的电场 (R, q)解解: : 电荷分布球对称性电荷分布球对称性 电场分布球对称性，电场分布球对称性， 方向沿径向。方向沿径向。PSeSE d1dE2dE1dS2dS24 rE)(4120RrrqEoPrRoES0qrE)(0RrESESdSSEd第三十三页，共62页幻灯片34Rr例：均匀带电球体的电场（球半径为例：均匀带电球体的电场（球半径为R，体电荷密度为，体电荷密度为

25、）。）。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为作同心且半径为r 的高斯面的高斯面24drESES0qr R时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷334VdrqrE03r R时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷334Rq20313rRE解：解：204rqE 高斯定理的应用高斯定理的应用Er 关系曲线关系曲线EOrR03R2r第三十四页，共62页幻灯片35 计算真空中半径为计算真空中半径为R, ,电荷电量体密度为电荷电量体密度为 (r)=kr ( ( k是是常量常量 ) )球体的场强分布。球体的场强分布。dV=4r 2drrdr0rrrkVSESrSd41d1

26、d0200内内204rkERrrrkrSESRd41d020外2044rkRERrR r E402444rkrE思考思考o第三十五页，共62页幻灯片36例：求无限长均匀带电圆柱面的电场分布例：求无限长均匀带电圆柱面的电场分布(R, )解解:seSEd rlESE2d侧e =)(10l(r R)0E下底上底侧SESESEddd内q01(r R) 0 (r 0, Up 0, 离电荷越远离电荷越远, , 电势越低电势越低; ;若若 q 0, Up 0, 离电荷越远离电荷越远, , 电势越高。电势越高。Ur+rlddEqPrld第四十六页，共62页幻灯片47电场叠加原理电场叠加原理niiEE1 niP

27、iPniiPPlElElEU11ddd 电势叠加原理电势叠加原理. .如果电荷是连续分布在有限空间如果电荷是连续分布在有限空间, , 则电场中某点的电则电场中某点的电势势rqUUd41d0niiPU13.2 3.2 电势叠加原理电势叠加原理VSlqdddd、Pr第四十七页，共62页幻灯片48LLyxP(x, y)o解解: :lqddrqU04dd方法一、利用点电荷电势公式方法一、利用点电荷电势公式rqUd41d0及电势叠加原理求电势及电势叠加原理求电势ldlr3.4 电势的计算电势的计算rlUULLd4d0例例: : 电量电量 q 均匀分布在长为均匀分布在长为2L的直线上的直线上, , 求空间

28、任求空间任一点一点 P 的电势。的电势。第四十八页，共62页幻灯片49LLylxl220)(d4LLylxlx220)()d(422220)()(ln8yLxLxyLxLxLqrlUULLd4d0Lq2LLyxP(x, y)oldlr第四十九页，共62页幻灯片50解解: :rqU04ddLrqU04dLqrd410220044xRqrqRqUx04 , 0则若Poxx22RxrRdq例：求均匀带电细圆环轴线上任意一点例：求均匀带电细圆环轴线上任意一点 P 的电势的电势。 (已知已知 R, q)第五十页，共62页幻灯片51例：半径为例：半径为R 的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。的均匀带电薄圆盘

29、轴线上的电势分布。解：解：以以0为圆心，取半径为为圆心，取半径为rr+dr的薄圆环，的薄圆环，带电带电 dq = ds = 2 rdr到到P点距离点距离P点电势：点电势：22rxllqU04dRrxrr0220d241)(2220 xxRrPR0 xxllqU04dd第五十一页，共62页幻灯片52方法二、方法二、求电势由已知场强分布参考点 d,PPlEU例：求均匀带电球面例：求均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布电场中电势的分布解解: :已知已知E =0 ( r R )ppprElEUdd当当 r R 时时, ,rprqrrqU0204d41当当 r RB时时由已知的由已知的均匀带电球

30、面电势均匀带电球面电势分布和分布和电势叠加原理电势叠加原理可得可得(2) 当当RA ( RA r RB ）时时BoBoARqrqU44rqqUoBA4结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。qBRARBorpqA+第五十三页，共62页幻灯片54例：求无限长均匀带电直线的电势分布例：求无限长均匀带电直线的电势分布. (已知已知电荷线密度为电荷线密度为 )rP当电荷分在无限远区域时当电荷分在无限远区域时, ,可令电场中任一点可令电场中任一点P0 0

31、为电势的零点为电势的零点解解:取取无限远处电势为零无限远处电势为零用场强的线积分来计算电用场强的线积分来计算电势，将得出电场任一点的电势值为无限大的结果势，将得出电场任一点的电势值为无限大的结果，显然是没有意义的。，显然是没有意义的。ppprElEUddrE02prrd20rrln20第五十四页，共62页幻灯片55例：求无限长均匀带电直线的电势分布例：求无限长均匀带电直线的电势分布. (已知已知电荷线密度为电荷线密度为 )rE02)()(dAPPlEU)()()()(ddAPPPlElE1d200rrrrrr10ln2A Ar1PrP当电荷分在无限远区域时当电荷分在无限远区域时, ,可令电场中

32、任一点可令电场中任一点P0 0为电势的零点为电势的零点解解:取取无限远处电势为零无限远处电势为零用场强的线积分来计算电势用场强的线积分来计算电势，将得出电场任一点的电势值为无限大的结果，显，将得出电场任一点的电势值为无限大的结果，显然是没有意义的。然是没有意义的。令令A为电势的零点为电势的零点由于由于ln1=0，所以本题中若选，所以本题中若选离直线为离直线为r1=1m处作为电势处作为电势零点，则很方便地表示零点，则很方便地表示P点点的电势。的电势。 rUPln20第五十五页，共62页幻灯片561. 等势面等势面5 等势面与电势梯度等势面与电势梯度在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。在

33、静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。点电荷的等势面点电荷的等势面电偶极子的等势面电偶极子的等势面电力线电力线与与等势面等势面垂直。垂直。等势面画法规定：相邻两等势面之间的电势间隔相等。等势面画法规定：相邻两等势面之间的电势间隔相等。+第五十六页，共62页幻灯片572. 场强与电势的关系场强与电势的关系 电势梯度电势梯度思考：思考：pplEUdUE EUxxxfd)()()()(xxf是否能通过电势求导是否能通过电势求导解出电场强度解出电场强度 2.1 2.1 电势梯度电势梯度 在电场中任取两相距很近的等势面在电场中任取两相距很近的等势面1 1和和2 2， 电势分别为电势分别为U和和U+dU，且，且dU0 等势面等势面