九年级下数学名师专项练习题汇编2018专题42综合性问题

1、名校名师推荐,综合性问题.选择题1.（2018重庆市B卷）（4.00分）如图，菱形ABCM边AD）±y轴，垂足为点E,顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=k（kw。，x>0）的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=3DE则k的值为（）AB.3C.D.524【分析】由已知，可得菱形边长为5,设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出解：过点D做D。BC于F由已知，BC=5 四边形ABCD菱形DC=5,.BE=3DE ,设DE=x，贝UBE=3xDF=3x,BF=x,FC=5-x在RtDFC中,d+fC=dC(3x)2+(5-x)2=52，解得x

2、=1DE=3,FD=3设OB=a则点D坐标为（1,a+3）,点C坐标为（5,a） 点D.C在双曲线上1xaa+3）=5aa=4点C坐标为（5,国）.-.k=4故选：C.【点评】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质.解题关键是通过勾股定理构造方程.2（2018湖北咸宁3分）如图，已知/MON=120,点A,B分别在OMON上，且OA=OB=a将射线0喉点O逆时针旋转得到OM,旋转角为a（0°Va<120°且a60°）,作点A关于直线OM的对称点C,画直线BC交OM于点D,连接AC,AR有下列结论：AD=CD/ACD的大小随着a的变化而变

3、化；当a=30°时，四边形OADCJ菱形；4ACD面积的最大值为/a2;其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）.【答案】【解析】【分析】根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断；以。为圆心，以OA为半径作。0,交AO的延长线于E,连接BE则A.B.C都在O0上，根据四点共圆的性质得：/ACDWE=60°,说明/ACD是定值，不会随着a的变化而变化；当a=30°时，即/A0D=C0D=30,证明A0B等边三角形和ACD是等边三角形，得OC=OA=AD=CM作判断；先证明ACD是等边三角形，当AC最

4、大时，ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断.【详解】:A.C关于直线0M对称，0M是AC的垂直平分线，CD=AD故正确；连接0C由知：0M'是AC的垂直平分线，0C=0AOA=OB=0C以O为圆心，以OA为半径作。0,交AO的延长线于E,连接BE,则A.B.C都在。0上，MON=120,BOE=60,.0B=0E，4OBE是等边三角形，/E=60,.A.C.B.E四点共圆，ACD=E=60°,故不正确；当&=30°时，即/AOD=COD=30,./AOC=60, .AOC是等边三角形，./OAC=60,OC=OA=AC由得：CD=

5、AD /CADWACDWCDA=60,.ACD是等边三角形， .AC=AD=CD-.OC=OA=AD=,CD.四边形OADCJ菱形，故正确；-.CD=ADZACD=60,.ACD是等边三角形，当AC最大时，ACD勺面积最大，.AC是。0的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2aa=90°, .ACD面积的最大值是：yAC2=x(2a)2=5a2,故正确，所以本题结论正确的有：，故答案为：.【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.二.填空题1.(2

6、018?莱芜？4分)如图，若ABC内一点P满足/PAC=ZPCBhPBA则称点PAABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知ABC中，CA=CBZACB=120,P为ABC的布罗卡尔点，若PAV3,贝UPB+PC=壬退一【分析】作CHLAB于H.首先证明BC=/3BC,再证明PA/PBC可得骂=理迪=、n,PBPCBC即可求出PB.PC;【解答】解：作CHLAB于H. .CA=CBCHLAB,/ACB=120, .AH=BHZACH=/BCH

7、=60,/CABhCBA=30, .AB=2BH=2?BC?cos30=BCCBC, /PAC=/PCB=/PBA/PAB=ZPBG .PAKPBC.奥里整后PBPCBC.PA=/3,.PB=1,PC也，3 .PB+PC=1四.3故答案为i+逅.3【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题.三.解答题1.(2018湖北十堰10分)已知正方形ABCDW正方形CEFGM是AF的中点，连接DMEM(1)如图1,点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DMEM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；(2)如图2

8、,点E在DC的延长线上，点G在BC上，(1)中结论是否仍然成立？请证明你的结论；(3)将图1中的正方形CEF微点C旋转，使D,E,F三点在一条直线上，若AB=13,CE=5请画出图形，并直接写出MF的长.D隅1)僵2)【分析】(1)结论：DMLEMDM=EM只要证明AM中FME推出MH=MEAH=EF=EC推出DH=DE因为/EDH=90,可得DMLEMDM=ME(2)结论不变，证明方法类似；(3)分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【解答】解：(1)结论：DMLEMDM=EM理由：如图1中，延长EM交AD于H.AHBCG喇 四边形ABCD正方形，四边形EFG

9、B正方形, ./ADEMDEF=90,AD=CD .AD/EF,/MAH=MFE, .AM=M,F/AMH=FME.AM降AFMEMH=MEAH=EF=EC.DH=DE ./EDH=90, DMLEMDM=ME(2)如图2中，结论不变.DMLEMDM=EM霞)理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H. 四边形ABCD正方形，四边形EFGB正方形, ./ADEMDEF=90,AD=CD .AD/EF, ./MAHgMFE .AM=M,F/AMH=FME.AM降AFMEMH=MEAH=EF=EC.DH=DE ./EDH=90, DMLEMDM=ME(3)如图3中，作MRLDE于R.在RtCDE中

10、，DE*铲_52=12,.DM=NEDMLME.MRnDEMR=DE=6,DR=RE=6在RtFMR中，FM=Jmr2+fr2=62+Z=VI而如图4中，作MRLDE于R.图4在RtMRF中，FM=/1*+屋2=国，故满足条件的MF的值为/诉或杆.【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键.2.（2018浙江省台州12分）如图，在RtABC中，AC=BC/ACB=90，点D,E分别在AC,BC上，且CD=CE(1)如图1,求证：/CAEWCBD(2)如图2,F是BD的中点，求证：AE!CF;(3)如图3,

11、F,G分别是BDAE的中点，若AC=2叵,CE=1,求4CGF的面积.【分析】(1)直接判断出AC监ABCD即可得出结论；(2)先判断出/BCF至CBF.,进而得出/BCF至CAE即可得出结论；(3)先求出BD=3,进而求出Cf£,同理：EG上，再利用等面积法求出ME进而求出GM22最后用面积公式即可得出结论.'AC=BC【解答】解：(1)在4ACE和4BCD中，ZACB=ZACB=90°,lCE=CD.AC且ABCD ./CAEWCBD(2)如图2,在RtABCD中，点F是BD的中点，.CF=BF /BCFhCBF由(1)知，/CAEWCBD /BCFhCAE /

12、CAE廿ACFhBCF吆ACFhBAC=90,/AMC=90, .AE!CF;(3)如图3,AC=2/2,.BC=AC=2/2,.CE=1,.CD=CE=1在RtBCD中，根据勾股定理得，BDycE)Z+bc2=3, 点F是BD中点，13.CF=DF=BD=-22同理：eg=Lae2，22连接EF,过点F作FHLBG./ACB=90，点F是BD的中点,.fh=Lcd=L,22sACEF=1ce?fh=LxixJL=JL,2224由（2）知，AE!CF,sACEF=1cf?me=-x-1me=Lme2224ME=l,44.-.me=L,3.GM=EGME=L-1.=L,236SACFg=CF?G

13、M=X工X2=1.22268【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出CFG的边CF上的是解本题的关键.3.(2018浙江省台州14分)如图，ABC是。0的内接三角形，点D在京上，点E在弦AB上(E不与A重合)，且四边形BDC助菱形.(1)求证：AC=CE(2)求证：BC2-AC2=AB?AC(3)已知。0的半径为3.若妲=3,求BC的长；AC3【分析】(1)由菱形知/D=ZBEC由/A+/D=ZBEC廿AEC=180可得/A=/AEC据此得证；(2)以点C为圆心，CE长为半彳5作。C,与BC交

14、于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG=AC=CE=CDffiBEMBGA得理=弛，即BF?BG=BE?AB各BF=BC-CF=BC-BFBAAC.BG=BC+CG=BC+ACW得；(3)设AB=5KAC=3k,由BC2AC2=AB?AC知BC=2k,连接ED交BC于点M,RtADMC中由DC=AC=3kMC=-BC=/6k求得DMqfCp=Tk,可知OM=ODDM=3-V3k,在2COM中，由oM+mC=oC可得答案.设OM=d则MD=3-d,MC=OCOM=9d：继而知BC=(2MC2=364d2.AC=Dd=DM+CM=(3-d)2+9-d：由(2)得AB?AC=B&AC2,

15、据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案.【解答】解：(1)二.四边形EBDC菱形，/D=ZBEC四边形ABDO圆的内接四边形，./A+/D=180,又/BEC廿AEC=180,.A=/AEC.AC=AE(2)以点C为圆心，CE长为半彳5作。C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG由（1）知AC=CE=CD.CF=CG=AC9名校名师推荐,.四边形AEFGOC的内接四边形，./G+/AEF=180,又/AEF吆BEF=180, /G之BER /EBF4GBA .BEQABGA.理=吗即BF?BG=BE?ABBFBA.BF=BG-CF=BOAC.BG=BC+CG=BC+

16、A(BE=CE=AQ(BC-A。(BC+AC=AB?AC即BC2-AC2=AB?AQ(3)设AB=5kAC=3K,.BC2-AC2=AB?AC.BC=2/6k,连接ED交BC于点M四边形BDCE菱形，DE垂直平分BC,则点E.O、MD共线，在RtADMO,DC=AC=3kMCiBCk,2DM=.OM=ODDM=3-7k,在RtACOM,由OM+MC=OC得(3加心2+(代k)2=32,解得：k=±/3或k=0(舍)，3.BC=2/6k=4V2;设OM=d则MD=3-d,MC=OCoM=9d：BC2=(2MC2=36-4d2,AC=DC=DM+CM=(3-d)2+9-d2,由(2)得a

17、b?ac=bCaC=-4d2+6d+18=-4(d-)2+,44.当x=3,即OM=L时，AB?AC最大，最大值为,444.DC2=1,16.ac=dc=2lH,4ab=/21此时丝_=丝.7AC7【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.4.（2018辽宁省沈阳市）（12.00分）已知：ABC是等腰三角形，CA=CB0°<ZACBC90°.点M在边AC上，点N在边BC上（点M点N不与所在线段端点重合），BN=AM连接ANBM射线AG/BG延长BM交射线AG于点D,点

18、E在直线AN上，且AE=DE（1）如图，当/ACB=90时求证：BC阵ACN求/BDE的度数；（2）当/ACB=c,其它多件不变时，/BDE的度数是a或180°a（用含a的代数式表示）（3）若ABC是等边三角形，AB=3用，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F,请直接写出线段 CF的长.【分析】（1）根据SAS证明即可;19想办法证明/ADE吆ADB=90即可;（2）分两种情形讨论求解即可，如图2中，当点E在AN的延长线上时，如图 3中，当点E在NA的延长线上时,（3）分两种情形求解即可，如图 4中,当BNBC=/i§时，作 Ah BC于K.解直角三角3形即

19、可.如图5中，当CNBC=/时,3作 AKL BC于 K, DHL BC于 H.【解答】（1）证明：如图1中, .CA=CBBN=AM .CB-BN=CAtAM即CN=CM /ACNhBCM .BC阵ACN解：如图1中， .BC阵ACN /MBCWNAC EA=ED /EAD4EDA.AG/BC, ./GAChACB=90,/ADB至DBC /ADB4NAC /ADB吆EDAMNAC廿EAD /ADB吆EDA=18090°=90°,/BDE=90.(2)解：如图2中，当点E在AN的延长线上时,易证：/CBM=ADB4CAN/ACB4CAD EA=ED /EAD4EDA /C

20、AN吆CADWBDE吆ADB /BDE"CB=x.易证：/1+/2=/CAN廿DAC /2=/ADM=CBDhCAN./1=/CADhACB=x,./BDE=180-a.综上所述，/BDE=a或180°-a.故答案为a或180-a.(3)解：如图4中，当BN工Bc/时，作AKaBC于K.3B1. AD/ BC,AB=M=1BC-CM"2.AD&JL, AC=3后,易证 ADC是直角三角形，则四边形2ADC愿矩形, AKN DCF . CF=NK=BK BN=?-后区22如图5中，当CNBC=/1；时，作 AK±BC于K, DHL BC于H. 31

21、. AD/ BC,.ab_o_9 =2,BCNIC .AD=6'/3,易证AC皿直角三角形，由ACQCDH可得CH=/3AK=-,2由AKN4DHF可得KN=FH注，2.CF=CIH-FH=4用.综上所述，CF的长为丑或4匹.2【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.5.（2018辽宁省沈阳市）（10.00分）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0,10）.点E的坐标为（20,0）,直线11经过点F和点E,直线11与直线12、y=_x相交于点P.（

22、1）求直线11的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABC两边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x轴，且AB=GAD=9将矩形ABCDg射线FE的方向平移，边AD始终与x轴平行.已知矩形ABCD以每秒巡个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t>0）.矩形ABC陈移动过程中，B.C.D三点中有且只有一个顶点落在直线11或12上，请直接写出此时t的值；若矩形ABCD移动的过程中，直线CD交直线11于点N,交直线12于点M.当PMN勺面积等于18时，请直接写出此时t的值.【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；（2

23、）分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线12上或在直线11上时的情况，利用AD.AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；设点A坐标，表示PMN可.【解答】解：（1）设直线11的表达式为y=kx+b直线11过点F（0,10）,E（20,0）fb=10'120k+b=O解得，2二10直线11的表达式为y=-x+102求直线11与直线12交点，得3 1x=-x+104 2解得x=8y=JLx8=64点P坐标为(8,6)(2)如图，当点D在直线上12时3巾八 .AD=9 点D与点A的横坐标之差为9 将直线1i与直线12交解析式变为x=20-2y,x=Ay

24、3Ay-(20-2y)=93解得y=；10则点A的坐标为：（1I,国工）510点A速度为每秒逐个单位.t=：-t10如图，当点B在12直线上时.AB=6，点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，直线1i的解析式减去直线12的解析式得-Xx+10-Jlx=624解得x=5则点A坐标为（巫，丝）55则AF=;点A速度为每秒泥个单位.t=5故t值为"或国105如图，设直线AB交12于点H设点A横坐标为a,则点D横坐标为a+9由中方法可知：MN=,j此时点P到MN®离为：a+9-8=a+1.PMNB勺面积等于18解得12V512Vs/、a1=-T，a2=1（舍去）55.AF=6-2则

25、此时t为封工芸52当t=/Jl_L时，PMN勺面积等于1852涉及到【点评】本题是代数几何综合题，应用待定系数法和根据函数关系式来表示点坐标,了分类讨论思想和数形结合思想.6(2018重庆市B卷)(12.00分)抛物线y=-返x2-&3x+泥与x轴交于点A,B(点63A在点B的左边)，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)如图1,连接CD求线段CD的长；(2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点，PF,x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OBgx轴左右平移，线段OB的对应线段是OB,当PE+1-EC的值最大时，求四边形2POBC周长的最小值，并求出对应的点O的坐标；(3)

26、如图3,点H是线段AB的中点，连接CH将OBC沿直线CH翻折至QBC的位置,再将QBC绕点B2旋转一周在旋转过程中，点Q,C的对应点分别是点O3,C1,直线O3G分别与直线AGx轴交于点M,N.那么，在QB2c的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AAMN以MNtt/腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段QM的长；若不存在，请说明理由.圄1都图3【分析】(1)分别表示C和D的坐标，利用勾股定理可得CD的长；(2)令y=0,可求得A(-3&,0),B(72,0),利用待定系数法可计算直线AC的解析式为：y=W*x+，,设E(x，乂,P(x，-x+V),表小PE的长，336

27、3利用勾股定理计算AC的长，发现/ CAO=30 ,得AE=2EF=戈+2泥，计算 PE+EC，禾U用配方法可得当PE+EC的值最大时，x=-2正，此时P(-2日，加)，确定要使四边形POBC周长的最小，即PO+BC的值最小，将点P向右平移加个单位长度得点P1(-加,加),连接P1B,则PO=PiBi,再作点P1关于x轴的对称点P2-捉),可得结论；(3)先确定对折后QC落在AC上，AMN以MN腰的等腰三角形存在四种情况:如图4,AN=MN证明GE®及QM,可计算QM的长；如图5,AM=MN此时M与C重合，OM=OC=V%;如图6,AM=MNN和H、C重合，可得结论；如图7,AN=M

28、N过。作CELAC于E证明四边形GEOB是矩形，根据QM=EGEM可得结论.【解答】解：（1）如图1,过点D作DOy轴于K,当x=0时，y=/, .C（0,泥），y二.亚X2-还X+=-逅（X+泥）2+岖,6363 D（-听,%L）,3.DK=/2,CK=-遥=,33“嘴西铲而蓝§彳等（4分）（2）在y=-逅x2-2百x+述中,令y=0,贝卜在x2-织葭+泥=0,6363解得：xi=-3a,X2=&, A（-3脏,0）,B（加，0）,C（0,立），易得直线AC的解析式为：y£g什亚，设E（x,李工+）,P（x,-g_x2-P%x+证），363-PF=-平x2-竽x+

29、C,E哼，.ACO中，AO=3/2,OC=/6,.AC=27,/CAO=30,.ae=2ef=-.pe+Iec=（-寸或-名区乂+娓）-（2/lx+V）J（AC-AE）,26332=%x+/2戊-（m+2注），bNJT一心幸，63=-（x+2b）2+竽,（5分）当PE蒋EC的值最大时，x=-2在，此时P（-2&,巫）,（6分）名校名师推荐, -PC=2/2, .OBi=ObV2,，要使四边形POBiC周长的最小，即PO+BiC的值最小，如图2,将点P向右平移5个单位长度得点Pi（-版,遥），连接PiBi,则po=Pib,再作点Pi关于x轴的对称点P2（-加，-瓜,则PiBi=F2B,.

30、PO+bc=pb+bc, 连接P2c与x轴的交点即为使PO+BC的值最小时的点Bl,.旧（-返，0）,2将B向左平移加个单位长度即得点O,此时po+bc=rC=_+=亍，对应的点O的坐标为（-a返，0）,（7分）2 四边形POBC周长的最小值为+3日；（8分）（3） QM的长度为逅或«或2&+-几或2，57.（12分）3理由是：如图3,H是AB的中点， oh=三.oc=7, .CH=BC=2二， /HCOWBCO=30,/ACO=60, 将CO沿CH对折后落在直线AC上，即Q在AC上，/RCA=/CAB=30,.l.B2C/AB, B2（-2M,班），如图4,AN=MN ./

31、MANWAMN=30=/QB2Q,由旋转得：/CBC=/QB2Q=30°,rc=bc, ./BCC=/BCC=75,过C作CiE±BC于E, .B2C=BC=2近，C.一,、：=RQ,RE='， ./QMB=ZRMO=75°=/RCC,/B2QM=/CiEC=90,.GE8B2QMC2M=CE=2C-B2E=2北-班;如图5,AM=MN此时M与C重合，CM=CC=/£如图6,AM=MN .B2C=BG=26=RH,即N和HC重合， ./CAChAHMWMH2=30°,.QMAC=返；33如图7,AN=MN过C作CE±AC于E,

32、 /NMAWNAM=30, /QCB2=30°=/C3MA.C1B2/AC, ./CRQ=/ACR=90°, ./CEC=90, 四边形Cecb是矩形，.EQ=cb2=2&,C1E=B202=V2，.em=7, .QM=EC+EM=2丁+二2 1名校名师推荐,DynpoA图J【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题.7（2018辽宁省葫芦岛市）在AB/,AB=BC点。是AC的中点，点

33、P是AC上的一个动点（点P不与点A,0,C重合）.过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接0E，0F.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系；(2)如图2,当/ABC=90时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由(3)若|CF-AE|=2,EF=2j5，当POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长.图1图2备用图【解答】解：(1)如图1中，延长EO交CF于K.-.AE±BE,CF±BE,.AE/CR/EAOhKCOOA=OC/AOEhCOKAO监COKOE=OK,EFK是直角三角形，OFEK=OE2(2)如图2中，延长EO交C

34、F于K./ABC4AEB=ZCFB=90,./ABE-+ZBAE=90,/ABE吆CBF=90,./BAE土CBF,.AB=BCABEiBCF7,.BE=CFAE=BF.AO监COK，AE=CKOE=OKFK=EF,EFK是等腰直角三角形，/.OFlEK,OF=OE(3)如图3中，延长EO交CF于K/PHUOF于H.图3.|CFAE|=2,EF=2-/3,AE=CK.FK=2.在RtEFK中，tan/FEK盘，./FEK=30,3/EKF=60,EK=2FK=4OF=LEK=22.OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2在RtPHF中，PH=Lpf=1,HF/,2OH=2-正，OP

35、机4(2-百产展-近如图4中，当点P在线段OC上时，同法可得OP正-图4综上所述：OP的长为代-加.8（2018辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，ABC中，AB=BCBDLAC于点D,/FAC=-/2ABC且/FACAC下方.点P,Q分别是射线BD,射线AF上的动点，且点P不与点B重合,点Q不与点A重合，连接CQ过点P作PELCQ于点E,连接DE.BB（1）若/ABC=60,BP=AQ如图1,当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；25,名校名师推荐，,，如图2,当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由；（2）若/ABC=2cW

36、60。，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中的结论仍然成立（用含”的三角函数表示）.【分析】（1）先判断出ABC是等边三角形，进而判断出/CBP至CAQ即可判断出BPC0AQC再判断出PCQ是等边三角形，进而得出CE=QE即可得出结论；同的方法即可得出结论；（2）先判断出，/PAQ=90-ZACQ/BAP=90-/ACQ进而彳#出/BCPWACQ即可判断出进而判断出BP6AQC最后用锐角三角函数即可得出结论.【解答】解：（1）DE=LaQDE/AQ2理由：连接PC,PQ在ABC中，AB=ACZABC=60, .ABC是等边三角形，/ACB=60,AC=BC .AB=B

37、CBD±AC, .AD=CD/ABD4CBD=LzBAC /CAF/ABG2 /CBP4CAQrBC=AC在bpc和aqc中，/CBP=/CAQ,kBP=AQ .BPCAQC（SAS,PC=QC/BPC4ACQ /PCQhPCA-+ZAQCWPCA吆BCP玄ACB=60, .PCQ是等边三角形， .PE±CQ.CE=QE .AD=CD .DE=AQDE/AQDE/AQDE=AQ理由：如图2,连接PQPC,同的方法得出DE/AQDE=-AQ2(2)AQ=2BP?sin”理由：连接PQPG要使DE=LaQDE/AQ2 .AD=CD.CE=QE .PE±CQPQ=PC易

38、知，PA=PCPA=PE=PC，以点P为圆心，PA为半径的圆必过A,/APQ=ZACQ PA=PQ/ ACQ ./PAQ=/PQA=l(180°-ZAPQ=90°2 /CAF"BD/ABD吆BAD=90,/BAQ=90,/BAP=90-/PAQ=90-/ACQ易知，/BCPhBAR /BCP4ACQ/CBP4CAQ.BPSAQCAQAC2CD在RtABCD,sina=包,BC琶-卷=2sin.AQ=2BP?sina.27名校名师推荐,35RBBBCPh ACQ交于A, B【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质,全等三角形的判

39、定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出/是解本题的关键.9（2018辽宁省抚顺市）（14.00分）如图，抛物线y=-x2+bx+c和直线y=x+1两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点CAB向点B运动，点Q从点C出巳Q同时出发，当其中一点到达(2)点P从点A出发，以每秒加个单位长度的速度沿线段发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM使点N在直线x=3上.当t为何值时，矩形PQNM勺面积最小？并求出最小面积；直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM勺顶点落

40、在抛物线上.【分析】(1)利用待定系数法即可；(2)分别用t表示PE.PQEQ用PQ曰QNC1示NC及QN列出矩形PQN而积与t的函数关系式问题可解；由利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论MMQ在抛物线上时的情况，并分别求出t值.【解答】解：(1)由已知，B点横坐标为3A.B在y=x+1上A(T,0),B(3,4)把A(-1,0),B(3,4)代入y=-x2+bx+c得-l-b+c=O-9+3b+c=4解得fb=3，抛物线解析式为y=-x2+3x+4(2)过点P作PE!x轴于点E直线y=x+1与x轴夹角为45P点速度为每秒加个单位长度 .t秒时点E坐

41、标为（-1+t,0）,Q点坐标为（3-2t,0）EQ=4-3t,PE=t /PQE吆NQC=90/PQE+ZEPQ=90 /EPQhNQC .PQ曰QNCF二即一NQQC2 .矩形PQNM勺面积S=PQ?NQ=2pQ ,pcTpU+eQ .S=2(八2十(4_31)2)2=20t2-36t+18当t=时，2a5S最小=20X(2)2-36XA+18=1-555由点C坐标为(32t,0)P(1+t,t) .PQ曰QNC可得NC=2QO=86t .N点坐标为(3,8-6t)由矩形对角线互相平分 点M坐标为(3t1,8-5t)当M在抛物线上时8-5t=-(3tT)2+3(3tT)+4解得t=上:9当

42、点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2当N在抛物线上时，8-6t=4.t=士3综上所述当t=2、1°±收或2时,矩形PQNM勺顶点落在抛物线上.39【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，解答时应注意数形结合和分类讨论的数学思想.10（2018吉林长春9分）在正方形ABCD,E是边CD上一点（点E不与点C.D重合），连结BE.图图圜【感知】如图，过点A作AHBE交BC于点F.易证ABFBCE（不需要证明）【探究】如图，取BE的中点M,过点M作FGLBE交BC于点F,交AD于点G.（1）求证：BE=FG（2）连结CM若CM=1则FG的

43、长为2.【应用】如图，取BE的中点M连结CM过点C作CGLBE交AD于点G,连结EGMG若CM=3则四边形GMCE勺面积为9.【分析】感知：利用同角的余角相等判断出/BAF=ZCBE即可得出结论；探究：（1）判断出PG=BC同感知的方法判断出PG降CBE即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论.【解答】解：感知：二.四边形ABC虚正方形, .AB=BC/BCE=/ABC=90, /ABE吆CBE=90, .AFXBE, /ABE吆BAF=90,/BAF=ZCBE'上BAF=/CBE在ABF和BCE中

44、，此二BClZAB>ZBCE=90c .ABHBCE(ASA；探究：（1）如图,AGD图过点G作GMBC于P, 四边形ABC比正方形， .AB=BC/A=ZABC=90, 四边形ABPG矩形，PG=ABPG=BC同感知的方法得，/PGF=/CBE'NPGF=NCBE在4PGF和4CBE中，PG二BC,lZPFG=ZECB=90°.PG庭CBE（ASA,.BE=FG（2）由（1）知，FG=BE连接CM ./BCE=90，点M是BE的中点，BE=2CM=2FG=2,故答案为：2.应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6 .ME=3同探究（1）得，CG=BE=6 .BE

45、XCGS四边形CEG=C（G<MEX6X3=9,.一故答案为9.【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出CG=B累解本题的关键.11.018吉林长春12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC面对称中心为坐标原点O,AD)±y轴于点E(点A在点D的左侧)，经过E.D两点的函数y=-Lx2+mx+1(x>0)的图2象记为G,函数y=-x2-mx-1(x<0)的图象记为G,其中m是常数，图象G.G合起来2乃iAEP0BC得到的图象记为G.设矢I形ABCD勺周长为L.(1)当点A的横坐标为-1时，

46、求m的值；(2)求L与m之间的函数关系式；(3)当G与矩形ABC%好有两个公共点时，求L的值；(4)设G在-4WxW2上最高点的纵坐标为V。，当旦Wy0W9时，直接写出L的取值范围.2【分析】(1)求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题；(2)利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；(3)由G与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G的顶点M(-m,2m2-1)在线段2AE上，利用待定系数法即可解决问题；(4)分两种情形讨论求解即可；【解答】解：(1)由题意E(0,1),A(1,1),B(1,1)把B(1,1)代入y=Lx2+mx+1中，得至U1=-+m+1,22m.2(2)二.抛物线G的

47、对称轴x=-卫-=5-1.AE=ED=2m矩形ABCM对称中心为坐标原点O,.AD=BC=4mAB=CD=2L=8m+4.(3)二当G与矩形ABC聆好有两个公共点，抛物线G的顶点M(-m,，吊1)在线段AE上，m2-1=1,2.m=2或-2（舍弃），.L=8X2+4=20.（4）当最高点是抛物线G的顶点N（m,-Lmi+1）时,2若上品+1=色，解得m=1或-1（舍弃），22若J_m+l=9时，m=4或-4（舍弃），2又m<2,观察图象可知满足条件的m的值为iwmc2,当（2,2m-1）是最高点时,解得2<m<5,综上所述，1wme5, .12WLW44.【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分