利用振动研究单壁碳纳米管力学性能

1、第 26卷第 12期 高分子材料科学与工程Vol. 26, N o. 122010年 12月POLYMER MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERINGDec. 2010利用振动研究单壁碳纳米管力学性能张 华 , 赵稳军 , 刘同平(重庆大学资源及环境科学学院 , 重庆 400030摘要 :单壁碳纳米管的力学性能是碳纳米管增强复合材料 和碳纳米 管器械的基 本问题之 一 。 文中根据 分子结 构力学 方 法建 立单壁碳纳米管的有限元模型 , 通过振动频率计算单 壁碳纳米 管的弹性模 量和剪切 模量 。 详细讨 论了用 不同阶 数 弯曲 振动固有频率和扭转振动固有频率求得的

2、弹性模量和剪切 模量结果 的准确性 , 并分析 了单壁碳纳 米管的 直径对 弹 性模量及剪切模量的影响 。关键词 :单壁碳纳米管 ; 振动 ; 弹性模量 ; 剪切模量中图分类号 :T B383 文献标识码 :A 文章编号 :1000 7555(2010 12 0156 04收稿日期 :2010 05 26通讯联系人 :张 华 , 主要从事计算力学研究 , E mail:zhanghuacqu. edu. cn1991年日本 NEC 公司的 Iijima 1使用电弧法意 外地发现了碳纳米管 (CNTs , 碳纳米管具有很多优异 而独特的光学、 电学和力学性能而有着广泛的应用前 景。所以 , 碳纳

3、米管基础力学行为的研究引起了人们 的极大兴趣 , 但首先面临的困难是如何对单个碳纳米 管的力学行为进行描述。对碳纳米管的力学行为 , 许多学者在理论和实验 两方面都 进行了 研究 2, 3, 得到了 不同的 研究 方法。 在用有限元法计算碳纳米管基本力学 属性弹性模量 E 和剪切模量 G 方面 , Giannopoulos 等 4针对碳纳米 管中碳原子间的作用势 , 分别用杆单元和弹簧单元进 行模拟 , 而 Li 和 Chou 5将碳纳米管中碳 碳化学键等 效为梁单元 , M ir 等 6和 Sakhaee Pour 等 7采用上述 方法对单壁碳纳米管的振动特性进行了分析。在文献 4和 5中

4、, 通过对碳纳米管施加拉伸力和扭矩 , 并根 据轴向拉伸变形和扭转变形计算了碳纳米管的弹性模 量 E 和剪切模量 G 。本文采用分子结构力学方法建立了单壁碳纳米管 的分子结构力学模型 , 计算出碳纳米管的振动固有频 率 , 然后 , 通过连续体悬臂梁的固有频率计算公式 , 求 得碳纳米管的弹性模量 E 和剪切模量 G 。 1 碳纳米管有限元模型的建立碳纳米管可被看作由碳原子组成的大分子。原子 核可作为物质点 , 它们的运动是由力场来定义的 , 力场又由电子核与原子核以及原子核与原子核的相互作用 构成。一般情况下 , 力场被表示为空间势函数的形式 , 它依赖于原子核的相对位置。本文利用 Li 和

5、 Chou 5的方法 , 将碳 碳化学键等效为一圆形截面的梁单元 , 碳原子等效为连接梁单元的节点 , 再根据梁单元的拉 伸、 弯曲和扭转应变能分别与分子化学键能的伸缩能、 键角的弯曲能以及二面角的扭转能和面外扭转能的等 效关系 , 获得等 效梁 单元 的力 学 参数 弹性 模量 E 、 剪切模量 G 和梁单元截面面积 A 。于 是 , 就可以 在通用有限元软件 ABAQU S 中建立单壁碳纳米管有 限元模型 , 在 ABAQU S 中有多种梁单元 , 此处选用欧 拉梁单元 B33。 2 碳纳米管的振动分析2. 1 碳纳米管振动固有频率的获取为了对应连续体悬臂梁模型 , 将单壁碳纳米管一 端完

6、全约束 , 另一端自由 , 在有限元软件 ABAQUS 中 计算结构固有频率。在无阻尼情况下 , 碳纳米管自由 振动的运动方程为 :M +K u =0(1 式中 :M , K 总质量矩阵和总刚度矩阵 , 分别由碳 原子单元质量矩阵和等效梁单元刚度矩阵组集而成。 碳原子节点的质量矩阵为 :M e=diagm m m 000(2式中 , 碳原子质量为 m =1. 9929 10-26kg , 然后通过下面的公式计算碳纳米管圆频率 ,|K - 2M |=0(32. 2 单壁碳纳米管的振动分析在获得了单壁碳纳米管的各阶固有频率后 , 将整 个单壁碳纳米管 等效为连续体厚度为 0 34nm 的薄 壁圆筒

7、悬臂梁模型 , 可以通过弯曲振动固有频率和扭 转振动固有频率来分 别计算碳纳米管的弹性模量 E 和剪切模量 G 。根据振动力学的知识 , 连续体悬臂梁 的弹性模量 E 和剪切模量 G 可通过弯曲振动固有频 率和扭转振动固有频率的公式进行计算。8E =4 3f 2i Dt ! 4i I(i =1, 2, ! (4G =4f 2i l 2(i -0. 5(i =1, 2, ! (5 式中 :f i 第 i 阶弯曲固 有频率 和扭转 固有 频率 ; l 梁 的 长 度 ; 梁 的 密度 ; D 梁 的 直 径 ; t 圆筒的壁厚 ; I 梁横截面的惯性矩 ; ! i l (i =1, 2, 3, 4

8、 依次为 1 875, 4 694, 7 855, 10 996。 3 计算结果及分析 3. 1 弹性模量 E 的计算由于是采用梁的振动理论求取弹性模量 E , 梁的 纵向尺寸比横向尺寸大得多 , 所以需要考虑碳纳米管 长 径比 L /D (L 是纳米 管的长 度 , D 是 纳米管 的直 径 对计算结果精度的影响 , 为了能得到足够精度的长 径比 , 初始取较小的长径比 , 然后保持直 径和手性不 变 , 增加长度 , 以达到逐渐增大长径比的要求 , 并计算 弹性模量 E 。由文献 5知道 , 管径对弹性模量有影响。对较小 直径的纳米管 , 例如直径小于 1 0nm 时 , 弹性模量强 烈地

9、依赖于管径。但是当管径大于 1 0nm 时 , 弹性 模量受管径的影响较小。这是由于 , 一方面 , 考虑到碳 纳米管是由石墨片卷曲而成 , 卷曲过程中 , 模拟 C-C 化学键的梁单元发生弯曲 , 引起初始内力的产生。而 在建模时 , 并没有考虑初始内力在内 , 当直径较小时 , 梁单元的曲率较大 , 引起较大的初始内力。另一方面 , 当直径较小 , 碳原子间相互作用的形式也更复杂。因 此 , 在考虑长径比求取弹性模量值时 , 为了消除管径对 弹性模量 的影响 , 此 处取 D 大于 1 0nm 。 Armchair 型碳纳米管管径 D 取值约为 1 356nm, Zigzag 型碳纳 米管

10、管径 D 取值约为 1 331nm , Chiral 型碳纳米管管 径 D 取值约为 1 336nm 。计算结果见 Fig. 1(图中 E i 表示第 i 阶弯曲固有频率所求的弹性模量 。 Fig. 1 The elastic modulus of the carbon nanotu bes vs. aspect ratio从 Fig. 1可以发现 , 对于直径 D =1 356nm 的 Armchair 型碳纳 米管 , 直径 D =1 331nm 的 Zigzag 型碳纳米管 , 直径 D =1 336nm 的 Chiral 型 碳纳米 管 , 根据梁的弯曲振动理论计算出的各种类型碳纳米

11、管的弹性模量 E , 由于第一阶弯曲固有频率求的弹性 模量 E 1能很快地收敛 , 即只要更小的长径比就能求 得精确的弹性模量值。随着弯曲固有频 率阶数的增 加 , 计算结果收敛速度越慢 , 也就是需要更高的长径比 才能求得稳定的解。随着长径比的增大 , 用不同阶固 有频率求得的弹性模量值会逐渐趋于一致。这说明 , 利用弯曲振动的固有频率求碳纳米管的弹性模量是可行的。但是 , 为了求得准确弹性模量所需要的长径比 会随着固有频率阶数的升高而显著增大 , 而第一阶要 求长径比最小 , 所以计算速度更快。因此在后面的章 节中利用梁的弯曲振动理论求不同直径碳纳米管取弹 性模量 E 时 , 均使用第一阶

12、固有频率。对 Fig. 1进行比较 , 可以发现 , 在直径大约相同的 时候 (Armchair 型 D =1 356nm, Zigzag 型 D =1 331nm, Chiral 型 D =1 336nm , 不同 手性的碳纳米管 , 由弯曲固有频率求取弹性模量收敛速度也接近 , 即计 算相同直径不同手性的碳纳米管弹性模量值时 , 得到 稳定值时的长径比是基本相同的。再考察 直径对碳纳米 管的弹性模量的 影响。为 此 , 在长径比 L /D 大约为 35时 , 采用了不同直径单 壁碳纳米管 , 取它们的第一阶弯曲固有频率分别计算 其弹性模量。本文取 Armchair 型 (3, 3 , (5

13、, 5 , (7, 7 , (9, 9 , (11, 11 , (13, 13 , (15, 15 和 Zigzag 型 (5, 0 , (8, 0 , (12, 0 , (16, 0 , (19, 0 , (22, 0 , (26, 0 以 及 Chiral 型 (4, 2 , (6, 3 , (9, 4 , (12, 6 , (15, 7 , (17, 8 , (20, 10 的模型计算 , 计算结果如 Fig. 2所示。 从 Fig. 2中的曲线可以发现 , 直径较小时 (直径小 于 1 2nm , 管径对弹性模量值的影响比较大 , 当管径 大于 1 2nm 时管径对碳纳米管弹性模量值的

14、影响变 弱。而且管径小时 , 弹性模量值也小 , 直径增大 , 弹性 模量随着增大 , 当直径增大到约为 2nm 时 , 弹性模量 开始保持稳定。不同手性的碳纳米管的弹性模量在直 径小于 2nm 时有所不相同 , Armchair 型的弹性模量 要略大于 Chiral 型碳纳米管的弹性模量 , Chiral 型碳 纳米管的弹性模量大于 Zigzag 型碳纳米管的弹性模 量。当直径增大 , 而越靠近 2nm 时 , 三者的弹性模量 越接近。当直径大于 2nm 后 , 三者的弹性模量基本 相同 , 约为 1 005TPa 。3. 2 剪切模量 G 的计算对于剪切模量 G 的求取 , 如同弹性模量

15、E 一样 , 首先考虑长径比对计算结果的影响。分别考虑了不同 手性的碳 纳米管 (Arm chair 型 D =1 356nm, Zigzag 型 D =1 331nm, Chiral 型 D =1 336nm 的长径比对 剪切模量 G 的影响。计算结果如 Fig. 3(图中 G i 表示 第 i 阶扭转固有频率求得的剪切模量 。由 Fig. 3可以发现 , 对于不同手性碳纳米管 , 在长 径比小于 5时 , 结果有误差 , 但误差非常微小。当长径 比大于 5时 , 由不同阶数扭转固有频率求得的剪切模 量值已经稳定。Fig. 2 The elas tic modulus of carbon n

16、an otubes vs. tube diameter Fig. 4 The s hear modulus of carbon nanotu bes vs. tube diameterFig. 3 The s hear modulus of the carbon nanotubes vs. aspect ratio下面考虑碳纳米管管径对剪切模量影响。与前面的方法一致 , 取 L /D 35。分别计算不同手性的碳纳米管 (Armchair 型 , Zigzag 型 , Chiral 型 不同直径时的剪切模量 G 的值。计算结果见 Fig. 4。从 Fig. 4可以发现 , 当剪切模量在长径比一定

17、时 ,直 径对 Zig zag 型碳纳米管剪切模量的影响 甚微。而Armchair 型和 Chiral 型碳纳米管在直径小于 1nm 时 会随着直径的增大而增大 , 当直径大于 1nm 后 , 剪切 模量几乎不变。 Zig zag 型碳纳米 管的剪切模量 G 略 大于 Armchair 型碳纳米管的剪切模量 G 。4 结论对比分子动力学方法巨大的计算量 , 本文采用的 分子结构力学方法计算量小 , 且能得到比较准确的值。 从计算出的单壁碳纳米管的力学参数 , 可以得到如下 的结论 :(1 用弯曲振动固有频率求弹性模量 E 时 , 用第 一阶固有频率求解 , 只需较小的长径比就能得到稳定 的结果

18、。随着弯曲固有频率阶数的升高 , 求得稳定解 所需要的长径比逐步增大。但用扭转固有频率求剪切 模量 G 时 , 不同阶数弯曲固有频率求得稳定解所需要 的长径比基本相同。(2 不同手性的单壁碳纳米管 , 求得稳定的弹性模 量 E 和剪切模量 G 所需长径比大约相同。(3 用弯曲振动固有频率求得的弹性模量 , 在直径 小于 1 2nm 时 , 直径对弹性模量值的影响大 , 随着管 径的增大 , 影响逐渐变弱。当直径大于 2nm 后 , 不同 手性单壁碳纳米管弹性模量 E 值 , 不再随直径变化 , 约 等于 1 005TPa 。 用扭转固 有频率求 剪切模量 G 值 , 对于 Armchair 型

19、和 Chiral 型单壁碳纳米管 , 在直 径小于 1nm 时 , 直径对剪切模量值影响较大 , 随着管 径的增大 , 影响逐渐变弱。当直径增 加到大于 2nm 后 , 剪切模量 值趋于稳定 , 约为 4 91T Pa 。对 Zigzag 型单壁碳纳米管 , 直径对其剪切模量并无影响。其值 约为 4 91TPa 。(4 单壁碳纳米管弹性模量值 , 在直径小于 2nm 时 , Armchair 型 大于 Chiral 型 , Chiral 型 大 于 Zigzag 型 , 而剪切模量的值则相反。在直径大于 2nm 后 , 不 同手性单壁碳纳米管弹性模量值和剪切模量的值均趋 于相同。参考文献 :1

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