工程数学线性代数第三章

1、设有设有 n 个未知数个未知数 m 个方程的线性方程组个方程的线性方程组) 1 (,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa(1) 式可以写成以向量式可以写成以向量 x 为未知元的向量方程为未知元的向量方程Ax = b , (2)以后线性方程组以后线性方程组 (1) 与向量方程与向量方程 (2) 将混同使用而将混同使用而不加区分，解与解向量的名称亦不加区别不加区分，解与解向量的名称亦不加区别.线性方程组线性方程组 (1) 如果有解，就称它是如果有解，就称它是，如果无解，就称它如果无解，就称它. 利用系数矩阵利用系数矩阵 A 和增和增

2、广矩阵广矩阵 B = (A , b) 的秩，可方便地讨论线性方程的秩，可方便地讨论线性方程是否有解是否有解 (即是否相容即是否相容) 以及有解时解是否唯一等以及有解时解是否唯一等问题问题. 证证明明证证明明只只需需证证明明条条件件的的充充分分性性， 因因为为(i)、(ii) 、(iii)中中条条件件的的必必要要性性依依次次是是(ii) (iii)、(i) (iii)、(i) (ii)中中条条件件的的充充分分性性的的逆逆否否命命题题.设设 R(A) = r .为为叙叙述述方方便便，无无妨妨设设 B = (A , b)的的行行最最简简形形为为.000000000000000001000100011

3、,12, 2211, 111rrrnrrrnrnddbbdbbdbbB对于线性方程组对于线性方程组 Ax = b 当当 R(A) = R(B) n 时时,由于含由于含 n r 个参数的解个参数的解0010011, 1111111rrnrrnrnrnrrddbbcbbcxxxx( (4)4)可表示线性方程组可表示线性方程组,112, 212121, 11111rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx( (3)3)的任一解，的任一解，,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa( (1)1)因此解因此解 (4)

4、 称为线性方程组称为线性方程组 (1) 的的.定理定理 3 的证明过程给出了求解线性方程组的的证明过程给出了求解线性方程组的步骤，归纳如下：步骤，归纳如下：从而也可表示线性方程组从而也可表示线性方程组的任一解，的任一解， 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034,0222,022432143214321xxxxxxxxxxxx解解施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A 341122121221A13122rrrr 463046301221 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方

5、程组 , 0342, 0352432431xxxxxx ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx例例1111 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增

6、广矩阵B进行初等变换，进行初等变换， 322122351311321B13122rrrr 10450104501132123rr 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR显然，显然，故方程组无解故方程组无解 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换 2132111311101111B 2121001420001111.00000212100211011 , 2 BRAR由于由于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 4244

7、2342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321 xxxxxx.,42任意任意其中其中xx所以方程组的通解为所以方程组的通解为 设有线性方程组设有线性方程组,)1 (,3)1 (,0)1 (321321321kxkxxxxkxxxxk问问 k 取何值时，此方程组取何值时，此方程组 (1) 有唯一解；有唯一解；(2) 无解无解;(3) 有穷多解？并在有无穷多解时求其通解有穷多解？并在有无穷多解时求其通解.解法评注解法评注解法评注解法评注本例本例中的两种解法是求解这类问题常用的两中的两种解法是求解这类问题常用的两种种方法方法. 比较起来，解法二较简

8、单，但解法二只适比较起来，解法二较简单，但解法二只适用于系数矩阵为方阵的情形用于系数矩阵为方阵的情形. 若若系数矩阵不是方阵系数矩阵不是方阵则则只能用解法一即初等行变换只能用解法一即初等行变换. 要注意的是，在对要注意的是，在对含含参数的矩阵作初等变换时，例如在本例中对矩参数的矩阵作初等变换时，例如在本例中对矩阵阵 B 作初等变换时，由于作初等变换时，由于 k + 1，k + 3 等因式可等因式可以以等于等于 0 ，故不宜作诸如，故不宜作诸如, ) 1(,11212krrkr)3(3 kr这样的变换这样的变换. 如果确需作这样的变换，则如果确需作这样的变换，则要要讨论讨论.设有三元非齐次线性方

9、程组设有三元非齐次线性方程组,22221111mmmmdzcybxadzcybxadzcybxa下面我们来讨论一下三元非齐次线性方程组下面我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义解的几何意义.这时方程组中的这时方程组中的 m 个方程所个方程所, 423, 32, 123zyxyxzx该方程组有唯一解该方程组有唯一解.817,21,47则方程组的解有以下三种情况则方程组的解有以下三种情况:这时方程组中的这时方程组中的 m 个方程所表示的个方程所表示的平面既不交于一点平面既不交于一点, 也不共线也不共线.表示的平面交于一点表示的平面交于一点. 例如例如如图如图 3.1 . 这时又可分为两种情

10、形这时又可分为两种情形: R(A) = R(B) = 1, 即保留方程组只有即保留方程组只有一个方程一个方程, 则有两个自由变量则有两个自由变量, 其通解中含有两个其通解中含有两个任意常数任意常数, 通解形式为通解形式为x = c1 1 + c2 2 + (c1 , c2 为任意常数为任意常数).这时这时 例如例如, 设保留方程组为设保留方程组为 x + y + z = 3,则可求得其通解为则可求得其通解为.11110101121ccx则过点则过点 P(1,1,1) 分别以分别以 (1,- -1,0)T , (1,0,- -1)T 为方向为方向,110111:,011111:21zyxLzyx

11、L则这两条相交直线则这两条相交直线L1 , L2 所确定的平面的方程即所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为向量的两直线的方程分别为为为 x + y + z = 3 . 如图如图 3.2 . , 694,13283, 542, 432zyxzyxzyxzyx R(A) = R(B) =2 , 即保留方程组有即保留方程组有两个方程两个方程, 这时方程组的通解为这时方程组的通解为x = c + ( c 为任意常数为任意常数 ).此时此时例如例如则其通解为则其通解为.021112 cx过点过点 (- -1,2,0) 以以 (- -2, 1, 1)T 为方向向量作直线为方向向量作直线 ,1122

12、1:zyxL则由方程组所确定的四个平面必交于直线则由方程组所确定的四个平面必交于直线 L.如图如图3.3 . , 694,13283, 542, 432zyxzyxzyxzyxL,11221:zyxL由由( (i) i) 无无无无解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是 R R( (A A) ) R R( (A A，b b) ;) ;定理定理定理定理 3 3n n 元线性方程组元线性方程组元线性方程组元线性方程组 AxAx = = b b( (ii)ii) 有有有有唯一唯一唯一唯一解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是R R( (A A) = ) = R R(

13、 (A A，b b) = ) = n n ; ;( (iii)iii) 有有有有无穷多无穷多无穷多无穷多解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是R R( (A A) = ) = R R( (A A，b b) ) n n . .容易得出线性方程组理论中两个容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理最基本的定理. 由定理由定理 4 可得如下推论：可得如下推论： 显然，定理显然，定理 4 是定理是定理 3 中中 (iii) 的特殊情形，的特殊情形，而定理而定理 5 就是定理就是定理 3 中中 (i) .为了下一章论述的需要，下面把定理为了下一章论述的需要，下面把定理 5 推广推广到矩阵

14、方程到矩阵方程. 定理定理定理定理 6 6矩阵方程矩阵方程矩阵方程矩阵方程 AXAX = = B B 有解的有解的有解的有解的充要条件是充要条件是充要条件是充要条件是R R( (A A) = ) = R R( (A A , , B B) .) .证明证明证明证明设设 A 为为 m n 矩阵，矩阵， B 为为 m l 矩阵矩阵,则则 X 为为 n l 矩阵矩阵.把把 X 和和 B 按列分块，记为按列分块，记为X = (x1, x2, 贩, xl)， B = (b1, b2, 贩, bl) ,则则矩阵方程矩阵方程 AX = B 等价于等价于 l 个向量方程个向量方程Axi= bi(i = 1 , 2 , 贩, l) .又，设又，设 R(A) = r，且且 A 的行最简形为的行最简形为,A则则A有有 r个非零个非零行，且行，且A的的后后 m r 行全为零行行全为零行.再设再设定理定理定理定理 6 6矩阵方程矩阵方程矩阵方程矩阵方程 AXAX = = B B 有解的有解的有解的有解的充要条件是充要条件是充要条件是充要条件是R R( (A A) = ) = R R( (A A , , B B) .) .证明证明证明证明设设 A 为为 m n 矩阵，矩阵， B 为为 m l 矩阵矩阵,则则 X 为为 n l 矩阵矩阵.把把 X 和和 B 按列分