生产线问题论文——数学建模

1、大连海事大学2012年数学建模竞赛乙组论文生产线问题 2012年11月11日摘 要本题是一个生产线问题，要求通过题目给出的表格数据对其生产模式的各方面进行研究讨论。第一问要求生产工序、各机器的布局和生产速度，对不同的机器布局来说，其生产速度与生产线生产速度之间关系也不同，再由各机器速度档级组合与生产线速度之间的限制关系（表2）可以推理出此题。第二问要求各机器速度档级组合与整条生产线生产速度的关系式也可以由第一问的推理答案得出。第三问要求找出一种既赚钱又节能的生产模式，通过对比各速度档级组合的能耗与相应整条生产线生产速度，剔除生产速度相同但能耗多的档级组合，再对剩余档级组合的生产效率（生产速度/

2、能耗）进行比较分析，确定一种既赚钱又节能的生产模式。第四问要求制定一个“重要性指标”来评价每台机器对整条生产线的重要性，则根据“部分速度对整体速度限制越大越重要，部分能耗在整体能耗比重越小越有价值”的原则，对每个档级组合分别按速度、能耗的比例分配单位重要性，从而得到重要性指标集，再通过运算得到各机器的重要性指标。关键词：生产线问题，速度关系，生产效率，重要性 1. 问题重述：生产线问题自动化生产线上生产设备的布局，既要考虑工序的安排，又要考虑生产效率。现有一条小型的日用品自动生产线，它由A、B、C三台机器组成，每台机器具有23个档级的生产速度(产品数/小时)，每个速度档级的能耗也有较大差异。已

3、知三台机器的速度档级和相应的能耗如表1所示，各机器速度档级组合与整条生产线生产速度(产品数/小时)之间的关系如表2所示。问题一：请指出这种日用品生产的工序安排，以及三台机器在整条生产线上的布局，并求出各机器每个档级的生产速度。问题二：请给出各机器速度档级组合与整条生产线生产速度之间的关系式。问题三：建立数学模型，并求出一种既赚钱又节能的生产模式。问题四：你能否制定一个“重要性指标”，以这个指标来评价每台机器对整条生产线的重要性？表1 各机器的速度档级及相应能耗机器ABC生产速度第档级3千瓦/小时3千瓦/小时2千瓦/小时第2档级5千瓦/小时6千瓦/小时3千瓦/小时第3档级/4千瓦/小时表2 各机

4、器速度档级组合与生产线生产速度之间的关系A机器B机器C机器整条生产线生产速度(产品数/小时)1档1档1档3001档1档2档4001档1档3档4001档2档1档3001档2档2档6001档2档3档6002档1档1档3002档1档2档5002档1档3档5002档2档1档3002档2档2档6002档2档3档7002. 基本假设与符号约定为了简化问题和方便讨论，除问题中给出的假设外，我们进一步做如下的假设和说明：(1) 假设各机器各档级的生产速度和能耗都是相互独立的，不受外界自然因素和人为因素的影响，各机器彼此之间也没有影响。(2) 假设各生产品在各机器之间的运输不花费时间和能耗。(3) 假设生产线生

5、产速度和能耗仅由各机器的生产速度和能耗决定，没有额外生产速度的损失和能耗的增加。(4) 假设各机器的生产速度以及整条生产线的生产速度不会影响产品利润，产品数与利润呈线性关系，即赚钱多少只由产品数来衡量。在此，我们也约定文中所用符号如下：(1) Ai、Bi、Ci（i=1，2，3）分别表示第i档级的机器A、B和C。(2) vA、vB、vC分别表示机器A、B、C的生产速度。(3) v表示整条生产线的生产速度。(4) vAi、vBi、vCi（i=1,2,3）分别表示第i档级的机器A、B、C的生产速度。(5) Vi（i=1，2，11，12）表示第i组档级组合的整条生产线生产速度。3. 问题的分析本题是一

6、个生产线问题，要求通过题目给出的两个表格数据对其生产模式的进行讨论研究。显然，机器在整条生产线上布局的不同导致了各机器生产速度对整条生产线生产速度的影响的不同，即它们的速度间有不同的函数式，而机器在整条生产线上的布局种类又是少量、可列的，速度间的函数式也是简单可求的。因此，可以通过各机器速度档级组合与生产线速度之间的关系（表2）对这几种布局方式进行定量的推理，得出一种或几种符合函数关系的布局方式即生产模式，各机器各档级的速度，为下面问题的求解提供基础，再根据各问题的具体要求进行讨论求解。4. 模型的建立根据分析，类比于电路的连接方法，机器有4种布局种类：3个机器串联，3个机器并联，2个机器串联

7、再与第3个机器并联，2个机器并联再与第3个机器串联。机器相当于电路元件，生产速度相当于允许通过电路的最大电流。如图所示为所有的连接方式和相应的函数关系：V=minvA，vB，vC V=vA+vB+vC V=vA+minvB，vCV=vB+minvA，vCV=vC+minvA，vBV=minvB+vC，vAV=minvA+vC，vBV=minvA+vB，vC5. 模型的求解5.1 问题一 串联方式对于串联方式，参照表2，由函数关系得：V6=minvA1，vB2，vC3=600；V9=minvA2，vB1，vC3=500；V11=minvA2，vB2，vC2=600；相应可得，vA1600；vB1

8、500；vC2600，则必有minvA1，vB1，vC2500。然而由表2，V2=minvA1，vB1，vC2=400，与此矛盾，所以三台机器不是串联方式。 并联方式对于并联方式，参照表2，由函数关系得：V2= vA1+vB1+vC2 =400； V3= vA1+vB1+vC3=400；这显然是不成立的，所以三台机器不是并联方式。 先串后并方式若B、C串联后与A并联，则有函数式V=vA+minvB，vC。参照表2，V1=vA1+minvB1，vC1=300； V2=vA1+minvB1，vC2=400； 可得 V1=vA1+vC1=300。同理，V7=vA2+minvB1，vC1=300； V

9、8=vA2+minvB1，vC2=500； 可得 V7=vA2+vC1=300。显然是矛盾的，所以三台机器不是此种连接方式。同理可得A、C串联后与B并联，以及A、B串联后与C并联都不符合条件。 先并后串方式若B、C并联后与A串联，则有函数式V=minvB+vC，vA。参照表2，V1=minvB1+vC1，vA1=300； V2=minvB1+vC2，vA1=400；可得V1=vB1+vC1=300。同理，V4=minvB2+vC1，vA1=300； V5=minvB2+vC2，vA1=600；可得V4=vB2+vC1=300。显然是矛盾的，所以三台机器不是此种连接方式。同理可得A、C并联后与A

10、串联也不符合条件。最后推理A、B并联后与C串联的连接方式。有函数式V=minvA+vB，vC。参照表2，V1=minvA1+vB1，vC1=300； V2=minvA1+vB1，vC2=400； V3=minvA1+vB1，vC3=400；可得V1=vC1=300； V2=vA1+vB1=400。同理可得V11=vC2=600； V5=vA1+vB2=600； V8=vA2+vB1=500。对于第12组档级组合，V12=minvA2+vB2，vC3=700，无论vA2+vB2=700还是vC3=700，都可以解由上面的等式所组成的线性方程组，得到vA1=600-x； vA2=700-x； vB

11、1=x-200； vB2=x。所以，此种产品的工序为先经过A或B再经过C，或者先经过C再经过A或B，三台机器在整条生产线上的布局如图所示，它们各个档级的生产速度为vA1=600-x； vA2=700-x； vB1=x-200； vB2=x； vC1=300； vC2=600； vC3700。（200<x<600）5.2 问题二由问题一的解可得，三台机器在整条生产线上的布局为A与B的并联再与C串联，它们的生产速度关系为V=minvA+vB，vC，具体到每个机器的每个档级为：V1=minvA1+vB1，vC1= vC1=300； V2=minvA1+vB1，vC2= vA1+vB1=4

12、00； V3=minvA1+vB1，vC3= vA1+vB1=400；V4=minvA1+vB2，vC1= vC1=300； V5=minvA1+vB2，vC2= vA1+vB2=600； V6=minvA1+vB2，vC3= vA1+vB2=600；V7=minvA2+vB1，vC1= vC1=300； V8=minvA2+vB1，vC2= vA2+vB1=500； V9=minvA2+vB1，vC3= vA2+vB1=500；V10=minvA2+vB2，vC1=vC1=300； V11=minvA2+vB2，vC2=vC2=600； V12=minvA2+vB2，vC3= vA2+vB2

13、=700；5.3 问题三由表1、表2得到各机器速度档级组合与生产线生产速度、生产线能耗的关系，如表3所示。表3：各机器速度档级组合与生产线生产速度、生产线能耗的关系A机器B机器C机器整条生产线生产速度(产品数/小时)能耗（千瓦/小时）1档1档1档30081档1档2档40091档1档3档400101档2档1档300111档2档2档600121档2档3档600132档1档1档300102档1档2档500112档1档3档500122档2档1档300132档2档2档600142档2档3档70015对于生产线生产速度相同的各种档级组合来说，生产线能耗多的显然是不符合题意要求的，剔除掉它们后可以得到表4。

14、定义效率=生产速度/能耗，表示生产线消耗每千瓦能生产的产品数量。由于我们假设了赚钱多少仅取决于产品的多少，因此我们认为在消耗相同能耗的时候生产产品数量多的生产模式更有效率也即“既赚钱又节能”。所以由表可得，机器A在第1档级，机器B在第2档级，机器C在第2档级的生产模式“既赚钱又节能”。各机器速度档级组合与生产线生产速度、生产线能耗、效率的关系A机器B机器C机器整条生产线生产速度(产品数/小时)能耗（千瓦/小时）效率（产品数/千瓦）1档1档1档300837.561档1档2档400944.442档1档2档5001145.451档2档2档6001250.002档2档3档7001546.675.4 问

15、题四要求制定一个“重要性指标”来评价每台机器对整条生产线的重要性，则根据“部分速度对整体速度限制越大越重要，部分能耗在整体能耗比重越小越有价值”的原则，对每个档级组合分别按速度、能耗的比例分配单位重要性1。由于A、B各档级的速度都是和x有关的数，在没有其他条件的情况下，x在（200，600）中等概率分布，则我们取x的期望E（x）=400来表示x，使x在运算中具体可用，简化运算。则此时A、B、C各档级速度为vA1=200； vA2=300； vB1=200； vB2=400； vC1=300； vC2=600； vC3=700。以档级组合第一组（A1，B1，C1）为例 。它的各机器速度、能耗与整

16、条生产线速度、能耗关系如图所示。对于生产速度而言，机器速度对整条生产线速度限制越大越重要，而整条生产线速度等于A、B速度之和与C速度的较小值，因此A、B的和重要性与C的重要性之比为它们速度之比的倒数。把A、B看做一个整体，它们的总生产速度与C的生产速度之比为4:3，则其重要性之比为3:4，可得其重要性分别为3/7:4/7。A、B的和重要性为3/7，A、B的重要性之比等于A、B的速度之比等于1:1，所以A、B、C的重要性分别为3/14:3/14:8/14。对于能耗而言，机器能耗越小越有价值，所以它们的重要性之比为能耗之比的倒数。A、B、C的能耗之比为3:3:2，则其重要性之比为2:2:3，其重要

17、性分别为2/7:2/7:3/7。所以对于第一组而言，A、B、C的重要性是它们各自在生产速度和能耗上重要性的加和。同样的，对其他十一种组合按照此种规则划分单位重要性1，使用Excel计算，得到A、B、C的重要性指标集，如下表所示。组序档级组合重要性指标集ABC速度类能耗类速度类能耗类速度类能耗类1A1 B1 C10.214 0.286 0.214 0.286 0.571 0.429 2A1 B1 C20.300 0.333 0.300 0.333 0.400 0.333 3A1 B1 C30.318 0.364 0.318 0.364 0.364 0.273 4A1 B2 C10.111 0.333 0.222 0.167 0.667 0.500 5A1 B2 C20.167 0.400 0.333 0.200 0.500 0.400 6A1 B2 C30.179 0.444 0.359 0.222 0.462 0.333 7A2 B1 C10.225 0.286 0.150 0.476 0.625 0.238 8A2 B1 C20.327 0.231 0.218 0.385 0.455 0.385 9A2 B1 C30.350 0.255 0.233 0.426 0.417 0.319 10A2