直线的交点坐标与距离公式

1、§ 3.3直线的交点坐标与距离公式§ 两条直线的交点坐标一、教材分析本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意 两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入 到准确描述这三类情况在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.二、教学目标1 知识与技能(1) 直线和

2、直线的交点.(2) 二元一次方程组的解.2 .过程和方法(1) 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法(2 )掌握数形结合的学习法(3) 组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程3 .情态和价值(1) 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系(2) 能够用辩证的观点看问题三、教学重点与难点教学重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点教学难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解四、课时安排1课时五、教学设计(一) 导入新课思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直

3、线的位置关系课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标？这节课我们就来研究这个问题 (二) 推进新课、新知探究、提出问题 已知两直线 h:A1X+B1y+C1=0,l2：A2X+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系? 如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ 解下列方程组(由学生完成)："3x +4y _2 =0,（1）2x +y 十2 =02x6y 3 二 0,2x6y 二

4、 0,（ii H1 丄1；（说 H1 丄 1y= x 十一y = x+I 32/ 32如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？当入变化时，方程3x+4y-2+入(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标 讨论结果：教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空几何兀素及关系代数表示点AA(a , b)直线ll: Ax+By+C=0点A在直线上直线丨1与12的交点A 学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系设两条直线的方程是h:Aix+B iy+Ci=O,l 2：A2X+B2y+C2=0,如果这两条直线相交

5、，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线li和12的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方At x + Bt y +G = 0,程组11 y 11是否有唯一解.A2X + B2 y +C2 = 0(i )若二元一次方程组有唯一解，则li与12相交；(ii )若二元一次方程组无解，则li与12平行；(iii)若二元一次方程组有无数解，则li与12重合即唯一解 1相交，转化直线li、12联立得方程组无穷多解二 也、1重合，'无解Ji'l平行.(代数问题)(几何问题) 引导学生观察三组方程对应系数比的

6、特点：3(i )2丰一-6-1-61工一-112般地，对于直线 l1：A 1X+B 1y+C 1=0, 12：A2X+B2y+C2=0(A 1B1C1 0，AB2C2 0有方程组A1 x + B1 y +G、A2x + B2 y +C2唯一解二乞h虫二l1l2相交，A2b2无穷多解二4=宝=乞二l1l2重合，.=0代 B2 C2无解二A =虫=幺二|山平行.A2B 2 C 2注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导，因为过程比较繁杂，重在应用.(b) 如果A1，A2，B1，B2，C1，C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定 (a)可以用信息技术，当入取不同值时，通过各

7、种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论(C)结论：方程表示经过这两条直线l1与12的交点的直线的集合(三) 应用示例 例1 求下列两直线的交点坐标 4： 3x+4y-2=0,l2: 2x+y+2=0.解:解方程组3x + y2=°，得x=-2 , y=2，所以l1与l2的交点坐标为M(-2 , 2). Zx+y+2=0,变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程i:x-2y+2=0,l 2：2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得 x=2,y=2,所以li与

8、l2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评：此题为求直线交点与求直线方程的综合运用，求解直线方程也可应用两点式例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标x-y=0 , l2: 3x+3y-10=0. 3x-y+4=0 , l2: 6x-2y-1=0.3x+4y-5=0 , l2: 6x+8y-10=0.教师让学生自己动手解方程组，(1) l1(2) l1(3) l1活动 讲评.解：(1)解方程组丿'x _ y = o,3x +3y _10 =0,55所以l1与l2相交,交点是(5,5).

9、3 3(2)解方程组"3x _ y + 4 =0,6x _2y _1 =0,看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行5x ,35(1) X2-得9=0,矛盾，,l 1 l2.方程组无解，所以两直线无公共点解方程组3+4八5",Qx+8y 10=0, X2 得 6x+8y-10=0.,即和表示同一条直线,l1与l2重合因此,和可以化成同一个方程变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点(1)l 1：7x+2y-1=0,1 2：14x+4y-2=0.(2)11：(3- 2 )x+y=7,l 2：x+( 、3+2 )y-6=0.(3) l 1：3x+5y-

10、1= 0,1 2：4x+3y=5.答案：(1)重合，平行，相交，交点坐标为(2, - 1).例3 求过点A(1 , - 4)且与直线2x + 3y+ 5=0平行的直线方程解法一：22直线2x+ 3y + 5=0的斜率为-,所求直线斜率为-.又直线过点 A(1 , 4),由直线方33程的点斜式易得所求直线方程为2x + 3y+ 10=0.解法二：设与直线2x + 3y + 5=0平行的直线l的方程为2x + 3y+ m=0,：T经过点A(1 , 4), 2X1 + 3X( 4) + m=0.解之，得 m=10. 所求直线方程为 2x + 3y+ 10=0.点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌

11、握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax + By+ C=0中系数A、B确定直线的斜率.因此，与直线 Ax + By + C=0平行的直线方程可设为 Ax + By + m=0 ,其中m待定经过点A（xo, y°）,且与直线 Ax + By + C=0平行的直线方程为 A（x xo）+ B（y yo）=O. 变式训练5求与直线2x + 3y+ 5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线方程6答案：2x+3y-仁0.（四）知能训练课本本节练习1、2.（五）拓展提升问题：已知a为实数，两直线 h：ax+y+仁0,1 2：x+y-a=0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及 x轴

12、上. 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围a十1解:解方程组丿x _ _ a a2 1 ：1 若 a一1 >0,则 a> 1.a21 a -1y .a 1a +1当a> 1时，一 v 0,此时交点在第二象限内a -1又因为a为任意实数时，都有 a2+i >> 0,J）不在x轴上.a -1因为1否则两直线平行，无交点）,a +1所以交点不可能在 x轴上，交点（a 1（六）课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节

13、学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以特殊”到一般”培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.（七）作业课本习题3.3 A组1、2、3,选做4题.§ 3.3.2 两点间的距离、教材分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、 两条平行线间的距离的概念 ,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、的距离

14、等 .其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离点到平面的距离、 两个平面间.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离， 它为以后学习圆锥曲线、 动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础 .解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充 分利用 “数形 ”结合的数学思想和方法 . 在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任 意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系

15、对于解决 问题的重要性 .课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生 主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生 个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法： 主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法 .二、教学目标1知识与技能： 掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2过程与方法： 通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 ；3情态和价值： 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。三、教学重点与难点教学重点： 平面

16、内两点间的距离公式 . 如何建立适当的直角坐标系 .教学难点： 如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 .四、课时安排1 课时五、教学设计(一) 导入新课思路1已知平面上的两点Pi(xi,y”,P2(X2,y2),如何求Pi(xi,yi),P2(X2,y2)的距离IP1P2I?思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是Xa、xB>y°，那么|AB|、|CD|怎样求？(2)求 B(3，4)到原点的距离.(3)设 A(x i,yi)，B(X2,y2)，求 |AB|.(二) 推进新课、新知探究、提出问题 如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两

17、点，它们坐标分别是Xa、Xb、yc、yD，那么|AB|、|CD|怎样求 ? 求点 B(3， 4)到原点的距离 . 已知平面上的两点Pi(xi,yi),P2(X2,y2)，如何求 Pi(xi,yi),P2(x2,y2)的距离 |PiP2|. 同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果： |AB|=|XB-XA|,|CD|=|yc-yD|. 通过画简图，发现一个Rt BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.0° -图1在直角坐标系中，已知两点Pi（xi,yi）、P2（X2,y2）,如图1,从Pi、P2分别向x轴和y轴作垂线PiMi、P1N1和 P

18、2M2、P2N2,垂足分别为 Mi（xi, 0）、Ni（O, yi）、M2（X2, 0）、N2（0，y2），其中直线 PiNi 和 P2M2相交于 点Q.2 2 2在 Rt PiQP2 中，|PiP2| =|PiQ|+|QP2| .因为 |PiQ|=|MiM2|=|X2-xi|,|QP2|=|NiN2|=|y2-yi|，2 2 2所以 |PiP2| =|x2-xi| +|y2-yi| .由此得到两点Pi（xi,yi）、P2（X2,y2）的距离公式：|PiP2|=.（X2-Xi ）2 （y2-yi）2 . （a）我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.（b）又问了 B（3,4）到原点的距离，发现了直

19、角三角形（c）猜想了任意两点间距离公式.（d）最后求平面上任意两点间的距离公式这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应 用的方法同学们在做数学题时可以采用！（三）应用示例例1如图2,有一线段的长度是13,它的一个端点是 A（-4，8），另一个端点B的纵坐标是3,求这个端点的横坐标.解:设 B（x，3），根据 |AB|=13，即（x+4） 2+（3-8）2=132，解得 x=8 或 x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A（-4，8）点距离等于13的点的轨迹（或集合）是以A点为圆心、13为半径的圆上与y

20、=3的交点，应交出两个点.例2 已知点A（-1，2），B（2，,7 ），在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:设所求点 P（X，0），于是有.（x 1）2（0-2）2（X-2）2（0 - 7）2 .由 |PA|=|PB|,得 x2+2x+5=x 2-4x+11,解得 x=1.即所求点为 P（1，0）,且|PA|= . （11）2（0 - 2）2 =2 2.（四）知能训练课本本节练习.(五) 拓展提升已知 0< xv 1,0v y< 1,求使不等式.x2y2. X2(1 - y)2. (1 - x)2 y2 .(1 _x)2 (1 - y)2 >2 2中的

21、等号成立的条件.答案：1 x=y=.2（六）课堂小结通过本节学习，要求大家： 掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程； 能灵活运用此公式解决一些简单问题； 掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题（七）作业课本习题 3.3 A组6、7、8 ； B组6.§ 333点到直线的距离§ 334两条平行直线间的距离一、教材分析点到直线的距离是 直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究 直线与圆的位置关系的主要工具点到直线的距离公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法因此课程标准”对本节教学

22、内容的要求是：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一 般地研究数学问题，培养学生的发散思维根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合 学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生 展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的 乐趣.二、教学目标1 知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式2 .过

23、程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3 .情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题三、教学重点与难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用.教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(xo,yo),直线I的方程是Ax+By+C=O,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P到直线I的距离呢？这节课我 们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x

24、76;,yo)和直线I:Ax+By+C=0，求点P到直线I的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、BM 0).(二)推进新课、新知探究、提出问题 已知点P(xo,yo)和直线|：Ax+By+C=O，求点P到直线I的距离.你最容易想到的方法是什么 ？各种做法 的优缺点是什么？ 前面我们是在 A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？ 回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离 )活动： 请学生观察上面三种特殊情形中的结论：(i )xo=o,yo=o 时，d=C| 2Ja2 +B2；(”杆呎时，d=AxTF ；(iii )xo=o,

25、yo0时，d= | By CJJA2 +B2观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(xo,yo), d=?学生应能得到猜想：daB21启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点 P到特殊位置，从而可利用 前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质， 作平行线，把一般情形转化为特殊情形来 处理)C证明:设过点P且与直线I平行的直线Il的方程为Ax+By+C 1=0,令y=0，得P，+_丄，0).A P'G|A.(9 C|N=A2 2V A B1 C Ci IA2 B2(*)t P 在直线 Ii:Ax+By+C i=0 上，二 Axo+By o+

26、Ci=o. Ci=-Ax o-Byo.代入(*)得 |P ' N|LCAXo_Byo |Ja2+b2即 d=|Axo By0 C|、A2B2 可以验证，当 A=0或B=0时，上述公式也成立. 引导学生得到两条平行线li:Ax+By+C i=0与l2：Ax+By+C 2=0的距离d= " C1 C2 "#A2 + B2证明：设Po(xo,yo)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点Po到直线Ax+By+C i=0的距离为| Ax。Byo C | d=.A2B2又 Axo+Byo+C2=O,即 Axo+Byo=-C2，- d= | C-C2 |JA2 +B2，A2B

27、2讨论结果：已知点P(xo,yo)和直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线I的距离公式为d= 1B% C 1IC1 -C2 I当A=0或B=0时，上述公式也成立. 两条平行线 Ax+By+C i=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d= v'AB2(三)应用示例思路1例1求点Po(-1 , 2)到下列直线的距离:(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解：(1)根据点到直线的距离公式得d=|2 (-1) 2 -10|_ 10.5(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|= 5.33点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握; 性，并没有局限于公式变式训练点A(a，6)到直线3x 4y=2的距离等于4,求a的值.体现了求点到直线距离的灵活|3a -4 6 - 2 |,324=4= |3a-6|=20= a=20 或 a463例 2 已知点 A(1 , 3), B(3 , 1), C(-1 , 0)，求 ABC 的面积.1解:设AB边上的高为h,贝U S»bc= |AB| .