直线与双曲线地相交弦问题

1、实用标准直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 AB J（XX2）2（y1 y2）2 （两点之间的距离） AB. 1k2X2xi(1k2)(xiX2)24x1X2 abJi1y2yi. (ik，2) (yiy?)2Ayy例i 过双曲线X2一、已知双曲线方程和直线方程求弦长i的左焦点Fi，作倾斜角为石的弦AB，求AB ;（2） F2AB的面积（F2为双曲线的右焦点）。4弋入艰曲蜒方诅 * 得 8j 4je 13=0* 谡 A（j：i »x ），方法一订人= /i+F /（X, +a-2）23.才灌二=很攥圖雉曲感的其同悝膚得EFi I =口+才劝= 1+2工j=2+Z（Xi

2、 +益）=£22 yi、求直线y x i被双曲线x2i截得的弦长;42 22、过双曲线i6x 9y i44的右焦点作倾斜角为 一的弦AB，求弦长 AB3文档大全2 23、已知斜率为2的直线L被双曲线 y 1截得的弦长为2 5，求直线L的方程;544、过双曲线x2 y2 1的左焦点F2，作倾斜角为 一的直线与双曲线相交于 A,B两点，求:3（1）弦长|AB（2） FiAB的周长（F2为双曲线的右焦点）、已知弦长求双曲线方程2被双5、已知焦点在x轴上的双曲线上一点 P，至U双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线y x曲线截得的弦长为 20-. 2，求此双曲线的标准方程.2 26、已知倾斜

3、角为一的直线l被双曲线x 4y460截得的弦长 AB &；'2，求直线l的方程.例2、已知双曲线方程为3x2 y23，求以定点A（2,1）为中点的弦所在的直线方程.方淫一；罡然蚪半不存在的直处不将合希帛 t 丫一1=肌壬2设所求也既方程为$亠1=肌二一2h由* ?整理得*幽一严3企-对疋+2就1 一鮎）工+】一2硏+3=0_设挨的谒端点为C3）Mxt4昇U羽+胡二爷牙 由M*zi-r=4. A二打理=4.解帚26.我人有沪丽X32>0T 所以斑求直氛才理芳>-l = fi（x-2>.即6j7-U = O*法二:谊过A4J的直霾导琛曲践,V- y-3相吏于PCj

4、,讣】人<Xh.胆）商点.j 3d -y 3 *_, r 、两丸相减屛3a-+益）3忌）一®+E®Q=°®禺诟朋_3_Tr &=4旳+风=2.代人式埒勺二出缶即“也一氣才卫則直找PQ的方程为r>x-y 110 41 = 2人航一护=矢香刖-七玄化点A12J）才親曲线的內部*眨过A的直盛赴蛾与双0践廁屯庆面所求的直促方虽为取工一.¥】1二a解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的 关系或“平方差法”求解此时，若已知点在双曲线的部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验, 若已知

5、点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解, 若用待定系数法时，只需求出 k值对判别式 >0进行验证即可.例3、双曲线方程为3x2 寸 3.问：以定点B（1,1）为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由.逞迂出（1* 1的Juk与駅曲直3j y =3知更于VRjj*凹、w丢订*濟点*S' J' J"序貞.柑出掙旅ju+站 Mjv Ji ） " Gi -i'j/i > CjTj ' _y3宰DtlM.V ttj中咸.抚疽助+仇=趴小+加-总.找入辽璀里二竺匸乩帥点

6、坤一3叫创E MN的才桎为3jt $2-仇兄M丧JR曲脱药外部.扳要诲址一W 是石与匙扫疑珈交”jSx-2-KA 3z*-/«=3. $jr'2Lr-i-7a=OT；1<0,几直氏岛服档域无變点负眄以BflD加心気曲弦用冷虚”7、已知中心在原点，顶点 &,A2在x轴上，离心率为 21的双曲线经过点 P(6,6)3(I)求双曲线的方程；(n)动直线l经过 AiPA，的重心G ,与双曲线交于不同的两点 M , N，问是否存在直线I使G平分线 段MN。试证明你的结论。解®设祈求朗黴曲绒方程为冷-斗=且应(3线经过点円(6启几观曲谿T屋为兰一疋二服ti bi

7、3o 12由务件苗坐标分别为伶上),、.仆卜n讥二&盒坐林为匕二】屈窗锂直钱;使024平分弐反闷 讪耐血呃坐标介别为一心得-0 (比+码)0(-码呛I ya)U -ra：又血+ %二2严4”)=厶即4% = 4+必=丄:、戸一用=兰=临 =&22'阳一咼 312 疋*A <0 J.所求直线K存在-.订程为$ 2 =由擁潯J_1忙+丄$二0i>-2 = (x-2题型三:料一制;7=甩扌迄亠扮 m2、広再云声-：工云爲两求曲ti方戰肖扌一¥=1掘*一爷=Lx29、设双曲线c：-y y21 a 0与直线I : x y 1相交于不同的点 A、B.a求双曲线

8、C的离心率e的取值围；一 5设直线l与y轴的交点为P，且PA 一 PB，求a的值。12、x2解：(1)将y = x+ 1代入双曲线 二一 y2= 1中得(1 a2)x2 + 2a2x 2a2 = 0由题设条件知，a1 a204a4 + 8a22 ，解得 0<a<Q2且 a11 a2 >0-0<a<rj2且 aM 1/ e-6且 eM 2.设 A(X1, y1), B(x2, y2), P(0,1)./ PA= 12PB,'(X1 , y1 1)=y2 1)-_5_ X1= 12X2, X1、X2是方程的两根，且 1 a2M0.172a212X2= 1 a2

9、,5 22a212X2= 1 a2,2 a2289消去X2 得,- Qp =莎，/ a>0 , a=17'13'10.已知双曲线的焦点为 £c,0,F2 C,0 ,过F2且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若-5OP OQ（其中O为原点），PQ 4，求双曲线方程。啸蓝幻険吉也吏二 f Mlw.A：讣：t乍也h= 仁艮r.a竟丄丸PQitF：.卄上舟帛我人4*曲宙収4F+耐让AJt jj? -jk ii%f H <*f-+柯円"n"呻吋上 t 心旷尬fT二+弗枷a刼严什z上兄凶为CQ丄P03灿鬲兀4加y三卩.即jjjj；Srtr.： +工

10、：）+护= if有加+討“ 酚严心呦'畑 n 为皿駅T漑希己“时 ttA钛坎能& 4 J1卜总*曾'“| *卫）> G丄,矿卫】$ 片再所朿過曲战牙戟幻护一£一1一11.双曲线的中心为原点 0，焦点在x轴上，两条渐近线分别为li, I2，经过右焦点F垂直于li的直线分uuuuuu别交l1, I2于A, B两点已知 OA、AB、uLurOB成等差数列，且uuu uuu BF与FA同向.（I）求双曲线的离心率;（n）设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.解：（I）设 OA md , AB m, OB由勾股定理可得：（m d）2m2 （m d）2

11、得：d - m4tanAOFAOB tan 2AOFABOA由倍角公式2bab 2解得-a1，则离心率e2（n）过F直线方程为c）,与双曲线方程2x2a2y_b21联立，将a 2b,c . 5b代入,化简有鸟x24b28、5xb21x1X2（X1X2）24x2将数值代入，有4532 云 2V 15 28b245x23故所求的双曲线方程为362y_91。12、已知双曲线名 £= 1（b>a>0）,o为坐标原点，离心率e= 2，点M仁5,3）在双曲线上.1 1（1）求双曲线的方程；（2）若直线l与双曲线交于P, Q两点，且OP OQ 0.求T3+ 乔的值.OP| lOQl、x

12、2 y2解：（1） T e= 2, c= 2a, b2 = c2 a2= 3a2,双曲线方程为 2一q 2= 1,即卩 3x2 y2= 3a2. a 3a/点 M（诵,V3）在双曲线上， 15 3= 3a2. a2= 4.所求双曲线的方程为4121.2(2)设直线0P的方程为y= kx(kz 0),联立乡2x2y123 k212k2|OP|2= x2+ y2=空则OQ的方程为y= kx,3 k212 1同理有|OQF =k212 k2+ 1 1 | 1 _ 3 k2+ 3k2 1 _ 2+ 2k2 _ 丄3k2 1， " jOP?+ |0Q|2 = 12 k2+ 1 = 12 k2+

13、 1 = 6.13. (2012)在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 C1： 2x2 y2= 1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；设斜率为1的直线I交C1于P、Q两点.若I与圆x2+ y2= 1相切，求证：OP丄OQ ；设椭圆C2： 4x2 + y2= 1若M、N分别是C1、C2上的动点，且 OM丄ON，求证：O到直线MN的距离 是定值.，渐近线方程为:y= 士，2x.2x 2解: (1)双曲线C1： 1 y 1，左顶点A2过点A与渐近线y= ,2x平行的直线方程为，即 y=, 2x+ 1.解方程组尸，得2x 1所求三角形的面

14、积为S=*OA|y|=¥.证明：设直线PQ的方程是y= x+ b,.直线PQ与已知圆相切， 曇=1,即b2= 2.y x b ccx x2 2b由 22 得 x 2bx b 1 = 0. 设 Pg, y“、Q(x2, y2)，贝V22x y 1x21 b又 y1y2 = (x1 + b)(x2+ b),uuu uur- OP OQ = X1X2+ y1y2= 2x1X2+ b(x1+ X2) + b2= 2( 1 b2)+ 2b2+ b2= b2 2 = 0.故 OP _L OQ.证明：当直线 ON垂直于x轴时，ON|= 1, |OM|=22，则O到直线MN的距离为撐.当直线ON不垂

15、直于x轴时，设直线 ON的方程为y= kx(显然k则直线OM的方程为y= xy kx4x2 y2x214 k2k24 k2设0到直线MN的距离为d.21 + k?_21 + k?- |ON|2= 4+2 .同理 OM|2= 2. (|0M |2+ |ON|2)d2= |OM|2|ON|2,1厂 OM|2|ON|2=¥+1= 3,即综上，0到直线MN的距离是定值.五、能力提升1.若不论k为何值,2直线 y=k（x-2）+b与双曲线x1总有公共点，则b的取值围是（(A)、3,3(B)3,3(C)2,2(D)2,22.过双曲线1的右焦点F作直线l交双曲线于两点，若|AB|=4 ,则这样的直

16、线l有（）(A)1 条(B)2(C)3 条(D)43.过点P1,2x 的直线I与双曲线 aa2y0,b0有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（(A)2(B)4(C) 1 或 2(D) 2 或 42x4.已知双曲线a2爲 1 a 0,b0的右焦点为bF,若过点F且倾斜角为45的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值围是（(A) (1 , 2(B) (1, 2)(C) 2 ,(D) (2 , +8)6 .直线 l : y kx22与双曲线C :x2y6的右支交于不同两点，则k的取值围是7.已知倾斜角为一的直线I被双曲线4x2 4y260截得的弦长|AB & 2，求直线I的方程.j'ri*（tt/-4X3C4+eo»0.ff点抑从人fir .j：灵方雜的构机-X. 4-J； = 'y * Jiit I ABF =（X - jj）1-2：Gn4的些=£；讐 魁气L型：