实验七基于频域的线性控制系统设计

1、华北电力大学实验报告实验名称基于频域的线性控制系统设计课程名称专业班级：学生姓名：学 号：成 绩：指导教师：实验日期：一.了解基于奈氏曲线进行稳定性判别的方法从之前的学习中可以知道，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判断系统 是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很困难， 奈奎斯特(Nyquist)稳定判据(简称奈氏判据)是判断系统稳定性 的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性G( j® )H( j )与复变函数F(s) = 1+G(s)H(s)位于S平面右半部的零、极点数目联系起来 的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依

2、据的是系统的开环频率特 性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏 判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。下面，应用奈氏判据判断系统的稳定性。奈奎斯特稳定性判据为 ： 若系统的开环传递函数在右半平面上有 P个极点，且开环频率特性曲 线对(-1,j0)点包围的次数为N(N>0顺时针,N<0逆日t针),则闭环系统在 右半平面的极点数为：Z=N+P。若Z=0,则闭环系统稳定，否则不稳定。 下面用实例进行验证：已知一单位负反馈系统的开环传递函数为： 12G(S)H(s) = (S + 6)(S7)，使用nyquist曲线判定其闭环

3、稳定性。 clc;clear all ;num=12;den=1 5 -1;nyquist(num,den);得奈奎斯特曲线如下6N/q list Diagram4 2 0 XV AJEEEEE 一从这里可以看出，奈奎斯特曲线包围（-1J0）点得次数为1次，而开 环传函在右半平面上的极点个数为 1个，可得到结论系统稳定。F面对其进行验证：该系统的特征根方程为：s2+5s+6=0。其特征根为Si=-2,S2=-3。可以得出系统稳定。此时增加系统的一个极点p=4,此时系统的开环传递函数变为：G(s)H(s) =12(s 6)(s-1)(s-4)绘制系统的奈奎斯特曲线与阶跃输入相应clc;clear

4、 all ;num=12;den=conv(1 5 -6,1 -4);nyquist(num,den);num,den=feedback(num,den,1,1);figure;step(num,den);奈奎斯特曲线见下图，可以看出系统的奈奎斯特曲线包围（-1,j0）点0 次，开环传函在右半平面由2个极点，系统不稳定。3 2 10 12 3 0 00.65一左后L 6HE-04Nyquist Diagram-0.5。0.5系统的阶跃输入相应为VA 4 5 3Step ResponseU 3 5 2 5 1 5 0 2 1 Q wpn=db<1.6810121416 1KTime (se

5、conds)可以看出系统不稳定，与之前的结论相符。还有一种情况比较特殊，当系统的奈奎斯特曲线刚好穿过（-1,j0） 时，认为系统临界稳定例如，某系统开环传递函数为为：、1G(s) = 1，绘制其奈奎斯特曲线可以看出其经过了(-1,j0)点，对该系统闭环后输入阶跃信号，得到系统的输出:2Stp Rgwpcn号自Q246glQ12Time seconds)可以看出系统输出出现等幅振荡，这是一种临界稳定状态，工程上 常认为其不稳定。还应考虑一种情况，当系统中串联有积分环节，即坐标原点处有 K(1s 1).极点，此时其开环传函可表示为：Gk(s)=(/，在8=0时曲线Sv(T1s 1).不连续，无法说

6、明是否包围(-1,j0)点,c此时可以以0 =0为圆心，以 无穷小量名为半径，在s右半平面绘制一很小的半圆，这样可以将坐 标原点处的开环极点划归到左半平面，视其为稳定根，下面举一例子：_. 一 K(s 3)已知非最小相位系统开环传函为 ：gh=:二，用奈奎斯s(s-1)特曲线判定系统的稳定性。首先绘制系统的奈奎斯特曲线：clc;clear all ;num=1*1 3;den=conv(1 0,1 -1);nyquist(num,den);I-405$ 口 5/-151050对该系统的奈奎斯特曲线局部放大：开环传函在s平面原点存在极点，故要添加辅助线：从0 =0一的映射点开始顺时针转动 180

7、度到"0 + 半径为无穷大 的圆弧。从开环传函可以知道，其在右半平面有一个极点，故P=1.从奈奎斯特曲线可以知道：当K>1时，包围(-1,j0)点1 次，Z=0闭环系统稳定；当K<1,包围-1次,Z=2闭环系统不稳 定，当K=1奈奎斯特曲线穿越(-1,j0)点，闭环系统临界稳定。二.了解基于伯德图进行稳定性判别的方法对于一个系统，若开环传函Gk(s)有P个右半平面极点，当仍从0 变化至无穷，其开环对数幅频率特性L伽)>0dB的所有频段内，对数相 频特性曲线中陵)对于-江线的正，负穿越次数之差为P/2时,系统稳定， 否则系统不稳定。下面结合实例进行验证：2某系统的开环

8、传递函数为：G(s)=-(s 1)(s- 2)绘制其波德图与阶跃输入的响应曲线： clc;clear all ;num=2;den=conv(1 1,1 -2);num,den=feedback(num,den,1,1);step(num,den);figure;bode(num,den);得到bode图如下:田口) aJz曾w 各省)案?口tJDife L>aiam1Q-110&10心和即cv彳曲汁用10该系统的bode图中,0次正穿越,0次负身越，正负穿越之差为0,而右半平面开环极点数为1,故系统不稳定。0.5010203040Time (sfvondsi5060St口p R

9、pspons?2严.2MpnMdt:符合之前的判断F面分析另一系统，具开环传递函数为：G(s) =4s(s 1)(s 2)1.8Step Response1.61.41.20.40.20Time (seconds)e 1pm 0.80.6clc;clear all ;num=4;den=conv(conv(1 1,1 2),1 0);num,den=feedback(num,den,1,1);step(num,den);figure;bode(num,den);从图上看出，其正负穿越次数皆为绘制其bode图与阶跃响应曲线：0,两者之差也为0,而系统的开环传函右半平面零极点个数也为0,故系统稳定

10、。从上图的阶跃响应曲线看 符合结论，其为稳定系统三.了解基于奈氏曲线和伯德图判断系统相对稳定性的方法根据稳定性判据可以判定一个系统是否稳定，但要使一个实际的 控制系统系统能稳定可靠的工作，刚好满足稳定条件是不够的，还必 须留有余地。稳定裕度可以很好的确定一个系统的稳定程度。其包括相位裕度和幅值裕度。我们可以用matlab中的margin函数得出系统的相角裕量与幅值 裕量。我们任意举一例子：某一系统的开环传函为：G（s）=s(s 1)(s 2)用margin函数计算其幅值裕量（Kg）与相角裕量（?），得到其幅值裕量为2.0,相角裕量为20.0381。从上面的出，Kg>1, ¥&g

11、t;0故系 g统稳定。可以做出系统的阶跃响应曲线进行验证 ，从阶跃响应曲线中可以看出系统稳定。相角裕量的含义为在剪切频率8c处使系统达到临界稳定状态所 要附加的相角滞后量，相角裕量不越大，系统的相对稳定性越好。若要 评价系统是否稳定，可以知道当¥>0时，奈氏曲线不包围（-1,0j）,系 统稳定。当尸=0时，通过（-1,0j）,系统临界稳定。当尸<0时，曲线包围 （-1,0j）,系统不稳定。幅值裕量的含义为在相角穿越频率0g处,使闭环系统达到临界稳 g定状态,需将开环幅相特性 淤g ）增大或减小的倍数。当Kg >1时，闭环系统稳定，当Kg =1时,系统临界稳定，Kg

12、<1,系统不稳定。K 对上述系统Gk(s)=,当K发生变化时，系统稳定s(s 1)(s 2)性会发生变化。我们对K进行变化，绘系统的尸与为变化图：6040200-20-40-6020406080100765432020406080100系统的¥随K的变化左图，的变化见右图。我们查看工作空间 中的数据，发现0<K<6时系统稳定，在6-7之间某一点系统临界稳 定,K>7系统不稳定。下面绘制系统图进行验证：先绘制K为1-6时的系统图：clc;clear all ;for i=1:6den=conv(conv(1 0,1 1),1 2);num=i;num,den=f

13、eedback(num,den,1,1);subplot(2,3,i);step(num,den);endL k . T o 5 15 0 t ft«pn±ldE<Step Response51015Trne (seconds)5 o考含E<05101520250Time (seconds)Slep Response51015202530Time (seconds).51 5 1o.出a一二EH«prmldE<Step Response20406080100120Time (semncte)2 5 1$ 1o.考一运E<Slep Respo

14、nse11 Illi IMl20406000100 1 20Time (secends)140可以看出，系统的K增大时，系统的调节时间变长，超调量增大, 系统稳定性增大。我们继续增大 K,可以看出系统不稳定.2M 却0 000800100012001400Time Isa cm dsl-D5IBg 10ft 200300400500 flOO TOO下卬用fSWETI电j四.基于频域方法设计超前补偿系统与根轨迹方法的对比在设计串联超前矫正的过程中，遵循以下几个步骤：1）计算原系统的动态指标，此时要计算出穿越频率与相角裕量，当两者都不满足要求且穿越频率在-40dB/dec的折线或附近时可以选择

15、串联超前矫正网络。2）计算超前网络补偿角，即4=丫 * -丫 + ，其中丫为系统原有指标, 丫 *为设计指标，为计算时保留的裕量。3）计算校正装置的参数a,由超前校正网络最大超前角的计算公式得：1 sina 二1 - sin4）计算校正后的穿越频率：L（0j） + 10lga =0得到校正后的穿越频率c15）计算校正装置的时间常数T。T=7八 Ts 16）获得超前校正网络传递函数为为 Gc = Ts + 1 。7）动态性能校验。此时应当计算校正装置后的开环传函的bode图,然后计算校正后的相角裕量与穿越频率检验其是否满足设计指标 若满足校正结束否则增加重复上述过程。下面举一例子进行说明：设单位

16、负反馈系统的开环传递函数为KG（s）= +八,试用频率法设计串联超前校正装置，使系统的s（0.1s 1）相对裕度为¥之45 ,静态误差系数为Kv = 200 ,截止频率不低于15rad/s。首先分析校正前函数，由静态误差系数Kv=200,该系统为I型一，、 一一 一、一，,、200、系统，可得K=200，故开环传递函数为G(s) = k一- o先判断该 s(0.1s 1)系统的稳定性。该系统的特征方程为：0.1s sin 由“二T就得到+s+200=0，用matlab辅 助计算得出系统的特征根为：-5±44.441i,特征根都在左半平面 系统稳定。利用matlab得到bod

17、e图计算系统的幅值裕量，相位裕量，幅 值穿越频率和相位穿越频率。ms-罂a三缗三时-160 ,1012310101011010Frequent/ (rad/s)- EMP)巨射府 qCL可知校正前的相位裕度为12.8度小于45度，穿越频率为 %二44.16rad /s大于15rad/s故知原系统不满足要求待校正由期望的相位裕度得二45 -12.8C 8 = 40.21 sin37.25° r) 4.651-sin 37.25”计算校正后的穿越频率：L( c') 10lg： =01 ，一可得 0c'= 65.3rad / s,由 T = 丁方一得至 口 t=0.0071

18、c得到校正环节传递函数为：Gc(s)=二 Ts 10.033s 1Ts 10.0071s 1故校正后的开环传递函数为：G(s)Gc(s)=2000.033s 1s(0.1s 1) 0.0071s 1然后分析校正后的系统：-烟90BoJfl Diagram0-60135-1S01001Q1/Id110JFrequency rad/s)相位裕度为48.94度，穿越频率为65.26rad/s符合题目要求下面列举基于根轨迹法的超前补偿系统进行对比分析：某典型二阶系统开环传递函数为G(s)=Ys(s 2)要求性能指标:。% 士 20%, ts42s ,用根轨迹法确定串联超前矫正装置。使用matlab辅助

19、计算 首先绘制原系统的根轨迹clc;clear allnum=4;den=1 2 0; sys=tf(num,den); rlocus(sys);151Root LoclsJ0.5-1-15 -JfiQ-15-1£5ReaJ Axis (seconds *1)超调量小于0.2,由于：.2即：e J w 0.2,得一之 0.456取二 0.5, 二 /3,二二e 二 3计算超调时间：ts 菖 2s，可取8 n = 4 n计算期望主导极点位置与,2 二 -'n - j ' n”得s1,2 = -2± j2«= -2±3.46j计算超前角：取一

20、点为s = -2 + j2J34/ Go(s) = -/冬-/(冬+2)二三几，超前角为兀/6 5用图解法确定极点与零点，得pc约为-5.4,zc约为-2.9.KJs 2.9)串联矫正网络后的开环传函为：G(s尸g：s(s 2)(s 5.4)me o+ 6 /曰“ s(s十2)(s+5.4)Ms= -2 + j2V3，得 Kg =g s+2.9Ka = -18.7916- 0.0325j =18.8原系统增益为4,故矫正装置的增益为：KgcMg：188jKg0 4故矫正网络为：Gc(s) =4.72冬s 5.4绘制矫正后的根轨迹：-3-2-1Rm目IRMt LOUIS5 0-5-sxlnM*

21、一 3芝2-Ee一印 E-n可以发现矫正环节使根轨迹发生变化，达到了要求。五.基于频域方法设计滞后补偿系统与根轨迹方法的对比下面描述串联之后矫正的一般步骤：1）计算原系统的动态指标，要根据静态指标的要求确定积分环节的个 数与开环增益的取值绘制bode图，计算出穿越频率与相角裕量。当 相角裕量小但穿越频率大时，可以选择串联滞后网络。2）利用满足静态指标的时的开环传递函数及bode图,计算校正后的8c,即日（%）=780 + "+淇中为5度-10度,主要是要考虑 计算精度的影响。3）计算校正装置的参数B，即L（九'）-20lga =0111,4）计算校正装置的时间常数t, t =

22、 （5 一行）® c5）得到校正后的传递函数，然后进行动态性能验证。F面结合实际例子进行验证：0.08设有一单位反馈系统的开环传函为G0（s）一,试用频S（S 0.5）率特性法设计一个滞后控制器，使得Kv之4,相位裕量为50度。由于要使Kv M ,故设滞后控制器传递函数为八 1 Ts定开环增益，人作为原系统Gc(s)= K"；TS(a>1),下面确kv = lim sGo(s) = 4 ,可知 K=25，将 G = K * G。= s >0绘制系统G的bode图并求出相应值。得出原系统的相位裕量为20度其不满足系统要求。Bode图如下:o o o o o 2-2

23、4-9使用matlab辅助计算: 由g("c') = 780%”+得校正后剪切频率在明处的相角为-118度试用matlab从图上可以看出° m为0.27rad/s原系统在° m处的幅值为20lga,可以求出a约为13。、1/11、，、一、由于一般取-=(-；7)Gc',由之前求出的° m可以求出T=18.8T 5 10、1 18.8s故滞后控制器为Gc-25*二50s 然后对其进行校验clc;clear all ;numc=18.8 1;denc=250 1;num=2;den=1 0.5 0;num=conv(num,numc);den=conv(den,denc);a,b,c,d=margin(num,den);bode(num,den);100oo 091 -LJUUe Uldyl dVI I- o o - 5 mpzpn=lBs得下图:(詈)可以看 出相位 裕量为51.3 度,denenumnumc值Inf 51.3450InfO.269S 250.126,0.50 250J 37,6000,2 (18.8000,11,J-4 限10 810T10-21010°Frequency (rad.-